求數(shù)列前n項和的七種方法

1、求數(shù)列前N項和的七種方法1. 公式法等差數(shù)列前n項和：特別的，當(dāng)前n項的個數(shù)為奇數(shù)時，即前n項和為中間項乘以項數(shù)。這個公式在很多時候可以簡化運(yùn)算。等比數(shù)列前n項和：q=1時，特別要注意對公比的討論。其他公式：1、 2、3、例1 已知，求的前n項和.解：由 由等比數(shù)列求和公式得 （利用常用公式） 1例2 設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得 ， （利用常用公式） 當(dāng) ，即n8時，2. 錯位相減法這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3 求和：解：由題

2、可知，的通項是等差數(shù)列2n1的通項與等比數(shù)列的通項之積設(shè). （設(shè)制錯位）得 （錯位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得： 例4 求數(shù)列前n項的和.解：由題可知，的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列的通項之積設(shè) （設(shè)制錯位）得 （錯位相減） 練習(xí)：求：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 解：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 兩邊同乘以x，得 x Sn=x+5 x2+9x3+·····

3、·+(4n-3)xn -得，（1-x）Sn=1+4（x+ x2+x3+······+ ）-（4n-3）xn 當(dāng)x=1時，Sn=1+5+9+······+（4n-3）=2n2-n 當(dāng)x1時，Sn= 1 1-x 4x(1-xn) 1-x +1-（4n-3）xn 3. 反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個. 例5 求的值解：設(shè). 將式右邊反序得 （反序） 又因為 +得 （反序相加）8

4、9 S44.54. 分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例6 求數(shù)列的前n項和：，解：設(shè)將其每一項拆開再重新組合得 （分組）當(dāng)a1時， （分組求和）當(dāng)時，例7 求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項和.解：設(shè) 將其每一項拆開再重新組合得 （分組） （分組求和） 練習(xí)：求數(shù)列的前n項和。解： 5. 裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的. 通項分解（裂項）如：（1） （2）（3） （4）

5、（5）(6)例9 求數(shù)列的前n項和.解：設(shè) （裂項）則 （裂項求和） 例10 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項的和.解： （裂項） 數(shù)列bn的前n項和 （裂項求和） 例11 求證：解：設(shè) （裂項） （裂項求和） 原等式成立 練習(xí)：求 1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63之和。 解： 6. 合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn. 例12 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179&

6、#176;的值.解：設(shè)Sn cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° （找特殊性質(zhì)項）Sn （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和） 0例13 數(shù)列an：，求S2002.解：設(shè)S2002由可得 （找特殊性質(zhì)項）S2002

7、（合并求和）5例14在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì) （找特殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 得 （合并求和）107. 利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.例15 求之和.解：由于 （找通項及特征） （分組求和）例16 已知數(shù)列an：的值.解： （找通項及特征） （設(shè)制分組） （裂項） （分組、裂項求和） 練習(xí)：求5，55，555，的前n項和。解：an= 5 9(10n-1)Sn = 5 9(10-1)+ 5 9(102-1) + 5 9(103-1) + + 5 9(10n-1) = 5 9（10+102+103+10n）-n = （10n1-9n-