物理學(xué)7章習(xí)題解答

1、物理學(xué)7章習(xí)題解答7-2 一個(gè)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系為 m ,其中x的單位是m，t的單位是s。試求：(1)周期、角頻率、頻率、振幅和初相位；(2)  t = 2 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度。解 (1)將位移與時(shí)間的關(guān)系與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的一般形式相比較，可以得到角頻率 s-1, 頻率 , 周期 , 振幅 ,初相位 .(2)  t = 2 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移.t = 2 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度 .t = 2 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度.7-3 一個(gè)質(zhì)量為2.5 kg的物體系于水平放置的輕彈簧的一端，彈簧的另一端被固定。若彈簧受10 n的拉力，其伸長(zhǎng)量為5.0 cm，求物體的振動(dòng)周

2、期。解 根據(jù)已知條件可以求得彈簧的勁度系數(shù) ,于是，振動(dòng)系統(tǒng)的角頻率為.所以，物體的振動(dòng)周期為.7-4 求圖7-5所示振動(dòng)裝置的振動(dòng)頻率，已知物體的質(zhì)量為m，兩個(gè)輕彈簧的勁度系數(shù)分別為k1 和k2。解 以平衡位置o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖7-5所示的坐標(biāo)系。若物體向右移動(dòng)了x，則它所受的力為圖7-5.根據(jù)牛頓第二定律，應(yīng)有,改寫(xiě)為.所以 , .圖7-67-5 求圖7-6所示振動(dòng)裝置的振動(dòng)頻率，已知物體的質(zhì)量為m，兩個(gè)輕彈簧的勁度系數(shù)分別為k1 和k2。解 以平衡位置o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖7-6所示的坐標(biāo)系。當(dāng)物體由原點(diǎn)o向右移動(dòng)x時(shí)，彈簧1伸長(zhǎng)了x1 ，彈簧2伸長(zhǎng)了x

3、2 ，并有 .物體所受的力為,式中k是兩個(gè)彈簧串聯(lián)后的勁度系數(shù)。由上式可得   ,  .于是，物體所受的力可另寫(xiě)為,由上式可得  ,所以 .裝置的振動(dòng)角頻率為 ,裝置的振動(dòng)頻率為  .7-6 仿照式(7-15)的推導(dǎo)過(guò)程，導(dǎo)出在單擺系統(tǒng)中物體的速度與角位移的關(guān)系式。解 由教材中的例題7-3，單擺的角位移q與時(shí)間t的關(guān)系可以寫(xiě)為q = q 0 cos (w t+j) ,單擺系統(tǒng)的機(jī)械能包括兩部分, 一部分是小物體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能,另一部分是系統(tǒng)的勢(shì)能，即單擺與地球所組成的系統(tǒng)的重力勢(shì)能.單擺系統(tǒng)的總能量等于其動(dòng)能和勢(shì)能之和

4、，即,因?yàn)?, 所以上式可以化為 .于是就得到,由此可以求得單擺系統(tǒng)中物體的速度為  .這就是題目所要求推導(dǎo)的單擺系統(tǒng)中物體的速度與角位移的關(guān)系式。7-7 與輕彈簧的一端相接的小球沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為a，位移與時(shí)間的關(guān)系可以用余弦函數(shù)表示。若在t = 0時(shí)，小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分別為(1)  x = -a；(2)過(guò)平衡位置，向x軸正方向運(yùn)動(dòng)；(3)過(guò)x =處，向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；(4)過(guò)x =處，向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。試確定上述各狀態(tài)的初相位。解 (1)將t = 0和x =-a代入,得,.(2)根據(jù) 以及 ，可以得到,.由上兩式可以解得 .(3)由 和v <

5、; 0可以得到,.由上兩式可以解得.(4)由 和v > 0可以得到 , .由上兩式可以解得 .7-8 長(zhǎng)度為l的彈簧，上端被固定，下端掛一重物后長(zhǎng)度變?yōu)閘 + s，并仍在彈性限度之內(nèi)。若將重物向上托起，使彈簧縮回到原來(lái)的長(zhǎng)度，然后放手，重物將作上下運(yùn)動(dòng)。(1)證明重物的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)；圖7-7 (2)求此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、角頻率和頻率；(3)若從放手時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，求此振動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系(向下為正)。解 (1)以懸掛了重物后的平衡位置o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖7-7所示的坐標(biāo)系。因?yàn)楫?dāng)重物處于坐標(biāo)原點(diǎn)o時(shí)重力與彈力相平衡，即,.  (1)當(dāng)重物向下移動(dòng)x

6、時(shí)，彈簧的形變量為(s + x )，物體的運(yùn)動(dòng)方程可以寫(xiě)為,將式(1)代入上式，得 ,即. (2) 重物的運(yùn)動(dòng)滿足這樣的微分方程式，所以必定是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。(2)令, (3)方程式(2)的解為.  (4)振幅可以根據(jù)初始條件求得：當(dāng)t = 0 時(shí)，x0 = -s，v0 = 0，于是 .角頻率和頻率可以根據(jù)式(3)求得： ,.(3)位移與時(shí)間的關(guān)系：由 , 以及當(dāng)t = 0 時(shí)，x0 = -s，v0 = 0，根據(jù)式(4)，可以得到,.由以上兩式可解得.故有.7-9 一個(gè)物體放在一塊水平木板上，此板在水平方向上以頻率n作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。若物體與木板之間的靜摩擦系數(shù)為m

7、0 ，試求使物體隨木板一起振動(dòng)的最大振幅。解 設(shè)物體的質(zhì)量為m，以平衡位置o為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖7-8所示的坐標(biāo)系。圖7-8由于物體與木板之間存在靜摩擦力，使物體跟隨木板一起在水平方向上作頻率為n的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。振動(dòng)系統(tǒng)的加速度為,可見(jiàn)，加速度a的大小正比與振幅a，在最大位移處加速度為最大值 .最大加速度amax對(duì)應(yīng)于最大振幅amax，而與此最大加速度所對(duì)應(yīng)的力應(yīng)小于或等于重物與木板之間的最大靜摩擦力，物體才能跟隨木板一起振動(dòng)。所以可以列出下面的方程式,.由以上兩式可以解得使物體隨木板一起振動(dòng)的最大振幅，為.圖7-97-10 一個(gè)物體放在一塊水平木板上，此板在豎直方向上以頻率n作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

8、試求物體和木板一起振動(dòng)的最大振幅。解 設(shè)物體的質(zhì)量為m，以平衡位置o為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖7-9所示的坐標(biāo)系。物體所受的力，有向下的重力mg和向上的支撐力n，可以列出下面的運(yùn)動(dòng)方程 . (1)由簡(jiǎn)諧振動(dòng),可以求得加速度.當(dāng)振動(dòng)達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，木板的加速度的大小也達(dá)到最大值，為,(2)負(fù)號(hào)表示加速度的方向向下。如果這時(shí)物體仍不脫離木板，物體就能夠跟隨木板一起上下振動(dòng)。將式(2)代入式(1)，得 .  (3)物體不脫離木板的條件是,取其最小值，并代入式(3)，得,于是可以求得物體和木板一起振動(dòng)的最大振幅，為.7-11 一個(gè)系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為t，初相位為零。問(wèn)在哪些時(shí)刻物

9、體的動(dòng)能與勢(shì)能相等？解 初相位為零的簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以表示為.振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能可分別表示為,.因?yàn)?#160;,所以勢(shì)能可以表示為.當(dāng) 時(shí)，應(yīng)有,即,.由上式解得將 代入上式，得或7-12 質(zhì)量為10 g的物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅為24 cm，周期為1.0 s，當(dāng)t = 0時(shí)，位移為+24 cm，求：(1) 時(shí)物體的位置以及所受力的大小和方向；(2)由起始位置運(yùn)動(dòng)到x = 12 cm處所需要的最少時(shí)間；(3)在x = 12 cm處物體的速度、動(dòng)能、勢(shì)能和總能量。解 首先根據(jù)已知條件得出位移與時(shí)間關(guān)系的具體形式。一般形式為.將 , , , 各量代入上式，同時(shí)，根據(jù) 時(shí) ，求得 , ，于是得到簡(jiǎn)諧振動(dòng)

10、的具體形式為.(1) 物體的位置為,所受力的大小為,方向沿x軸的反方向。(2)由起始位置運(yùn)動(dòng)到x = 12 cm處所需要的最少時(shí)間,題目要求最少時(shí)間，上式中應(yīng)取正號(hào)。所以 .(3)在x = 12 cm處,.物體的速度為.物體的動(dòng)能為.物體的勢(shì)能為,所以物體的總能量.7-13 質(zhì)量為0.10 kg的物體以2.0´10-2m的振幅作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其最大加速度為4.0 m×s-2 ，求：(1)振動(dòng)周期；(2)通過(guò)平衡位置的動(dòng)能；(3)總能量。解 (1) 最大加速度與角頻率之間有如下關(guān)系 ,所以.由此可求得振動(dòng)周期，為 .(2)到達(dá)平衡位置時(shí)速率為最大，可

11、以表示為,故通過(guò)平衡位置時(shí)的動(dòng)能為.(3)總能量為.7-14 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)： 和(式中x的單位是m，t的單位是s)，求合振動(dòng)的振幅和初相位。解 已知a1 = 0.05 m、j = p / 3、a2 = 0.06 m和j2 = -2p / 3，故合振動(dòng)的振幅為.合振動(dòng)的初相位為,.但是j不能取p / 3，這是因?yàn)閤1和x2是兩個(gè)相位相反的振動(dòng)，如果它們的振幅相等，則合振動(dòng)是靜止?fàn)顟B(tài)，如果它們的振幅不等，則合振動(dòng)與振幅較大的那個(gè)振動(dòng)同相位。在我們的問(wèn)題中， ，所以合振動(dòng)與x2同相位。于是，在上面的結(jié)果中，合振動(dòng)得初相位只能取 ，即.7-15 有兩個(gè)在同一直線上的簡(jiǎn)諧振

12、動(dòng)： m和 m，試問(wèn)：(1)它們合振動(dòng)的振幅和初相位各為多大？(2)若另有一簡(jiǎn)諧振動(dòng) m，分別與上兩個(gè)振動(dòng)疊加，j為何值時(shí)，x1 + x3 的振幅為最大？j為何值時(shí)，x2+ x3 的振幅為最??？解 (1)合振動(dòng)的振幅為.合振動(dòng)的初相位,考慮到x1與x2相位相反， ，所以合振動(dòng)x應(yīng)與x2同相位，故取 .(2)當(dāng) 時(shí)，合振動(dòng) 的振幅為最大，所以這時(shí)合振動(dòng)的振幅為.當(dāng) 時(shí)，合振動(dòng) 的振幅為最小，所以這時(shí)合振動(dòng)的振幅為.7-16 在同一直線上的兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅分別為0.04 m和0.03 m，當(dāng)它們的合振動(dòng)振幅為0.06 m時(shí)，兩個(gè)分振動(dòng)的相位差為多大？解 合振動(dòng)的振幅平方可以表示

13、為,所以, .7-17 一個(gè)質(zhì)量為5.00 kg的物體懸掛在彈簧下端讓它在豎直方向上自由振動(dòng)。在無(wú)阻尼的情況下，其振動(dòng)周期為 ；在阻尼振動(dòng)的情況下，其振動(dòng)周期為 。求阻力系數(shù)。解 無(wú)阻尼時(shí).有阻尼時(shí).根據(jù)關(guān)系式,解出b，得將b代入下式就可求得阻力系數(shù) .7-21 某一聲波在空氣中的波長(zhǎng)為0.30 m，波速為340 m×s-1 。當(dāng)它進(jìn)入第二種介質(zhì)后，波長(zhǎng)變?yōu)?.81 m。求它在第二種介質(zhì)中的波速。解 由于波速u、波長(zhǎng)l和波的頻率n之間存在下面的關(guān)系 ,當(dāng)聲波從一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)時(shí)，頻率不會(huì)改變，所以.于是可以求得聲波在第二種介質(zhì)中的波速，為 

14、;.7-22 在同一種介質(zhì)中傳播著兩列不同頻率的簡(jiǎn)諧波，它們的波長(zhǎng)是否可能相等？為什么？如果這兩列波分別在兩種介質(zhì)中傳播，它們的波長(zhǎng)是否可能相等？為什么？解 根據(jù)書(shū)中160頁(yè)波在介質(zhì)中的傳播速率的表達(dá)式(7-50)至(7-52)，可以看到，波的傳播速率是由介質(zhì)自身的特性所決定。所以，兩列不同頻率的簡(jiǎn)諧波在同一種介質(zhì)中，是以相同的速率傳播的。故有.可見(jiàn)，頻率不同的兩列波，其波長(zhǎng)不可能相同。當(dāng)這兩列不同頻率的波在不同的介質(zhì)中傳播時(shí)，上面的關(guān)系式不成立。只要兩種介質(zhì)中的波速之比等于它們的頻率之比，兩列波的波長(zhǎng)才會(huì)相等。7-23 已知平面簡(jiǎn)諧波的角頻率為w =15.2´102 rad

15、5;s-1，振幅為a=1.25´10-2 m，波長(zhǎng)為l = 1.10 m，求波速u，并寫(xiě)出此波的波函數(shù)。解 波的頻率為.波速為.所以波函數(shù)可以寫(xiě)為 .7-24 一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸的負(fù)方向行進(jìn)，其振幅為1.00 cm，頻率為550 hz，波速為330 m×s-1 ，求波長(zhǎng)，并寫(xiě)出此波的波函數(shù)。解 波長(zhǎng)為.波函數(shù)為.7-25 在平面簡(jiǎn)諧波傳播的波線上有相距3.5 cm的a、b兩點(diǎn)，b點(diǎn)的相位比a點(diǎn)落后45°。已知波速為15 cm×s-1 ，試求波的頻率和波長(zhǎng)。解 設(shè)a和b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1和x2，這樣兩點(diǎn)的相位差可以表示為,即.由上式可以求得波長(zhǎng)

16、，為.波的頻率為.7-27 波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，位移與時(shí)間的關(guān)系為 y = (4.00´10-3 ) cos 240p t  m，它所激發(fā)的波以30.0 m×s-1 的速率沿一直線傳播。求波的周期和波長(zhǎng)，并寫(xiě)出波函數(shù)。解 設(shè)波函數(shù)為  .已知, , , 根據(jù)這些數(shù)據(jù)可以分別求得波的周期和波長(zhǎng)。波的頻率為.波的周期和波長(zhǎng)分別為,.于是，波函數(shù)可以表示為  .7-29 沿繩子行進(jìn)的橫波波函數(shù)為，式中長(zhǎng)度的單位是cm，時(shí)間的單位是s。試求：(1)波的振幅、頻率、傳播速率和波長(zhǎng)；(2)繩上某質(zhì)點(diǎn)的最大橫向振動(dòng)速率。解 波函數(shù)可寫(xiě)為,其中.(1)由已知條件可

17、以得到, .(2)繩上質(zhì)點(diǎn)的橫向速率為,所以 .7-30 證明公式 。解 根據(jù)和,所以可以將波速的表達(dá)式作如下的演化,故有.7-31 用橫波的波動(dòng)方程 和縱波的波動(dòng)方程 證明橫波的波速和縱波的波速分別為 和 。解 將平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)分別對(duì)x和t求二階偏導(dǎo)數(shù)：, (1) .(2)將以上兩式同時(shí)代入縱波波動(dòng)方程即教材中第167頁(yè)式(7-62)，得 ,所以 .將式(1)和式(2)同時(shí)代入橫波波動(dòng)方程即教材中第169頁(yè)式(7-64)，得,所以 .7-32 在某溫度下測(cè)得水中的聲速為1.46´103 m×s-1 ，求水的體變

18、模量。解 已知水中的聲速為u = 1.46´103 m×s-1，水的密度為 ，將這些數(shù)據(jù)代入下式,就可以求得水的體變模量，得 .7-33 頻率為300 hz、波速為330 m×s-1的平面簡(jiǎn)諧聲波在直徑為16.0 cm的管道中傳播，能流密度為10.0´10-3j×s-1 ×m-2 。求：(1)平均能量密度；(2)最大能量密度；(3)兩相鄰?fù)辔徊嬷g的總能量。解 (1)平均能量密度 ：根據(jù),將已知量 和 代入上式，就可以求得平均能量密度，得.(2)最大能量密度wmax：.(3)兩相鄰?fù)辔徊嬷g的總能量w：將已知量, , 代入下式得.7-34  p和q是兩個(gè)以相同相位、相同頻率和相同振幅在振動(dòng)并處于同一介質(zhì)中的相干波源，其頻率為n、波長(zhǎng)為l，p和q相距3l/ 2。r為p、q連線延長(zhǎng)