儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定模型

1、儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定模型摘要 一、 問題的重述進(jìn)一步利用問題A附件2中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。1. 油罐變位并沒有引起油罐外形的變化；2. 題目中提供的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確可靠；3. 油浮子的大小忽略不計(jì)；4. 題目所給數(shù)據(jù)是內(nèi)徑數(shù)據(jù)；5. 根據(jù)題意假設(shè)油罐是左邊下陷；6. 忽略油污等雜物對油位的影響。7. 在模型一中不考慮溫度、壓強(qiáng)等客觀因素對油體積的影響；8. 在油罐沒有變位時罐容表0刻度與油罐底部的距離就已經(jīng)確定；9. 油罐發(fā)生變位時沒有造成油罐等設(shè)施破損，引起油量的外泄；10. 油始終不會溢出儲油罐；11. 儲油罐的兩個球冠體同樣大小。二、 符號說明：油

2、量差值 ：未變位時橢圓儲油罐的理論體積；：儲油罐中實(shí)際的儲油量； ：儲油罐縱向變位的傾斜角度；：儲油罐橫向變位的偏轉(zhuǎn)角度； ：橢圓儲油罐未變位時橫切面面積；：輸油管等占據(jù)體積所引發(fā)的系統(tǒng)誤差；：模型二中壓強(qiáng)、溫度、管壁不平等引發(fā)的誤差；：由于視覺度數(shù)不同所引發(fā)的誤差；(其余符號在模型中具體說明)三、 模型的建立與求解41問題一模型建立與求解（一）儲油罐未發(fā)生變位誤差分析（二）模型分析在模型建立之前，我們首先對儲油罐變位之前本身的誤差進(jìn)行分析，得到準(zhǔn)確的油量與油位的偏差。然后才建立模型，該模型主要是在研究橢圓柱形儲油罐縱向變位油量與油位的對應(yīng)關(guān)系。為了全方位地分析油罐的縱向變位，我們將油罐劃分為

3、三方面體積進(jìn)行分類計(jì)算。我們具體分析了儲油罐本身的誤差，然后結(jié)合系統(tǒng)誤差與觀察誤差兩方面進(jìn)行了分析，并將油量與油位一一對應(yīng)起來，標(biāo)定油位高度間隔為1的罐容表進(jìn)行標(biāo)定。兩方面誤差的分析不失為本文的特色。（三）模型建立（四）模型求解其中=-0.0120，=0.1349；的置信區(qū)間為-0.0133,-0.0108, 的置信區(qū)間為0.1332,0.136；=1，=23081，=0，可得回歸模型： 殘差圖作圖程序：rcoplot(r,rint)MATLAB運(yùn)行得到圖像如下： 通過上述回歸分析員檢驗(yàn)，我們知道模型本身存在系統(tǒng)誤差。在油罐未發(fā)生變位時，我們由表一、表二分析得到 由擬合圖形可知，在系統(tǒng)誤差的基

4、礎(chǔ)上，儲油罐發(fā)生變位時系統(tǒng)誤差也隨之變化。2、模型求解（1）由誤差分析，和模型建立知,變位后罐容表，分為以下4種情況建立在模型誤差分析的基礎(chǔ)上，我們將儲存油的實(shí)際體積與標(biāo)度（）準(zhǔn)確對應(yīng)起來。利用（21）、（22）、（23）、（24）、（25）五式，經(jīng)過程序（附件六）重新標(biāo)定了間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值如下：罐容表長度顯示油量L罐容表長度顯 示油 量L罐容表長度顯 示油 量L罐容表長度顯 示油量L罐容表長度顯 示油量L01.725429.7481224.5732272.597327413.526461.2491264742315.6983312.826.327490501303.9752358.

5、7993351.131028519.5511344.1762401.71003389.1414.829549.7521384.5772444.71013426.6520.730580.5531425.2782487.71023463.6627.931612541466.1792530.61033500.2736.332644.1551507.2802573.41043536.2846.233676.8561548.68126161053571.7957.434710571590.1822658.61063606.71070.235743.8581631.9832701.110736411184

6、.436778.1591673.8842743.41083674.812100.337813601715.9852785.61093707.813117.838848.3611758.1862827.61103740.11413739884.1621800.5872869.41113771.715157.940920.36318438829111123802.516180.341957641885.7892952.41133832.417204.142994.1651928.4902993.61143861.418229431031.6661971.2913034.51153889.41925

7、5441069.4672014.1923075.21163916.320281.9451107.7682057.1933115.61173941.921309.8461146.3692100.1943155.71183976.722338.6471185.2702143.2953195.51193995.623368.248429.7712186.3963234.91204012.824398.6表一 間隔為1的罐容表標(biāo)定值注：當(dāng)罐容表上沒有刻度時，油容量小于或等于1.7L傾斜后，B在KC之間時（如下圖所示），罐容表上就沒有顯示數(shù)據(jù)。圖13 油量較少簡圖4.2問題二模型建立與求解（一）模型分析

8、在這個模型中，我們主要分析儲油罐縱向變位和橫向變位后對罐容表讀數(shù)的影響。我們知道在橫向變位過程中，油罐里的液面相對地平線高度不會發(fā)生變化。在這個模型中首先將油罐分割成兩部分，如圖1所示（從m,n處切割），然后利用積分思想分別對不同部分求解體積，最后得到總體積，即可得到儲油罐橫向偏轉(zhuǎn)罐內(nèi)的油位高度與儲油量之間的關(guān)系。在縱向變位過程中，我們將研究儲油罐左端向下時的縱向變位，右端向下的變位情況以類似方法處理。在變位時，需要對可能出現(xiàn)的油面進(jìn)行分類（三類），利用積分思想進(jìn)行求解。首先將罐體分成三部分，在分別對三部分求體積，最后到總體積，即可得到罐內(nèi)的油位高度與儲油量之間的關(guān)系。圖14 罐體劃分圖（二）

9、模型建立罐體橫向變位罐體橫向變位我們分為兩種情況。一是油面低于縱截圓半徑，二是油面高于縱截圓半徑。1）罐體橫向變位油面低于縱截圓半徑時：建立直角坐標(biāo)系如下：注：以發(fā)生變位前油位探針的方向?yàn)檩S，以垂直于油位探針且平行油罐第一部分縱截圓為軸AB為油面，CD為油位探針，O為縱截圓圓心的平移點(diǎn) H為探針測量的油高度，O為縱截圓的圓心，所以油面相對地平線的高度d與探針測量的油高度的關(guān)系為： 中間部分（第一部分）的體積為： （26）球冠體（第二部分）的簡圖如下：圖16 球冠體分析圖又因?yàn)?得到： （27）根據(jù)勾股定理和對應(yīng)坐標(biāo)關(guān)系，得到球冠體方程為： （28）油罐（第一部分）部分縱截圓的方程為： 油罐球冠

10、體縱截圓的方程為： （） (29)由方程（27），（29）可得： 根據(jù)三角關(guān)系求得切面頁面的面積為： （30） 油罐兩個球冠體的的體積為： 油罐的總體積為：= （31）R=1.5 ，帶入（31）式化簡方程得： （32） 2）罐體橫向變位油面高于縱截圓半徑時：同理可得： （33）當(dāng)罐體縱向變位圖17 罐體劃分圖1）當(dāng)油罐縱向變位，且罐容表時如圖所示圖18 罐容表縱向變位分析圖（1）注：B所在平面與E所在平面距離為1，ED=2 假設(shè)縱向變位角度為，所以根據(jù)勾股定理和正弦（切）定理三角形ABF的面積為： （34）特殊情況下圓弧AB所滿足的半徑關(guān)系: （35）圓弧AB的面積為: （36）由（34）、（

11、35）、（36）得： + （37）斜縱向的最大高度： 所以ABEF所圍成的圖形（包括球罐的一部分）體積為： （38）2）當(dāng)油罐縱向變位，且罐容表時簡圖所示圖19 儲油罐縱向變位分析圖（2）根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)關(guān)系A(chǔ)B的旋長長度 ： AB= GF的弧長長度： 梯形ABGF的面積： 圓弧AB所滿足的半徑關(guān)系如下：（39）圓弧AB的面積為 圓弧GF所滿足的半徑關(guān)系： 圓弧GF的面積為: + （40）斜縱向的高度 所以ABEFG所圍成的圖形（包括球罐的兩部分）體積為：+ + （41） +（ 3）當(dāng)油罐縱向變位，且罐容表時同理可得：整個球罐的體積為： -罐體橫縱向都變位 罐體橫縱向變位看似是一個同時發(fā)

12、生的事情，我們在此巧妙地將該變位過程轉(zhuǎn)化為先縱向變位，再橫向變位的兩個過程。由上述的分析我們知道縱向變位有1）當(dāng)時+ （42） 2）當(dāng)時： （43） + + +（ 3）當(dāng)時:+ （44）+ + +（ 4）當(dāng)時：-+ （45）（四）模型求解1、誤差分析基于附件二的數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)隨著油位的下降，顯示出來的油量容積與出油 根據(jù)所得數(shù)據(jù)和模型一未變位時的模型誤差分析可知，兩端為球罐體的儲油罐中即存在誤差。如果只是存在系統(tǒng)誤差，誤差值就應(yīng)該為線性變化。而在附件中數(shù)據(jù)顯示，此處的誤差不是線性變化，所以還存在觀察誤差。誤差分為以下三方面：1） 誤差一儲油罐中出油管和油位探針占用了儲油罐內(nèi)部的體積，所以隨著油

13、面變化，油位高度與誤差存在一個線性關(guān)系，并設(shè)為： ；2） 誤差二油罐內(nèi)部可能附有油垢或油罐內(nèi)部表面不均勻，還有液壓，溫度對油罐的影響。對于這些不確定性因數(shù)，我們分析數(shù)據(jù)后，設(shè)其影響的誤差函數(shù)關(guān)系式為：；3） 誤差三儲油罐縱向變位后讀出體積始終比實(shí)際體積更大，但是在橫向變位時，液面在大于或小于截圓的半徑其變化不同，讀出來的油位高度有一定的影響。根據(jù)附件二的數(shù)據(jù)分析誤差值與高度的函數(shù)關(guān)系式為： 誤差中液面高度變化與油量的關(guān)系為： MATLAB運(yùn)算程序見附件十一，結(jié)果見附件十二利用附件二處理得全部數(shù)據(jù)將V（誤差）進(jìn)行求解，求解后在進(jìn)行擬合（程序見附件十三）得到：不同流水號的誤差見附件十二誤差一：函數(shù)

14、關(guān)系： 誤差三：函數(shù)關(guān)系：2、搜索法確定參數(shù)值采用直接代值計(jì)算：利用搜索法求解的值。在不同油位高度的偏轉(zhuǎn)度如下：流水號流水號流水號流水號2011.55013011.54094011.55344931.55222021.53233021.56114021.53224941.56032031.54223031.55234031.55014951.54222041.54373041.53434041.56234961.53342051.56133051.55354051.58354971.55122061.55143061.56524061.5544981.55022071.57453071.573

15、34071.54054991.57042081.52323081.55044081.56215001.5432091.56713091.55334091.55235011.55562101.55223101.53094101.54175021.5333表二 油位高度與橫向偏角關(guān)系表直觀看球罐發(fā)生縱向變位的液面時可看作是一個梯形(只考慮圓柱),當(dāng)確定油量的體積后(在附件二中進(jìn)行加油前后的數(shù)據(jù)查找流水號為343和637最接近),改變,液面就會發(fā)生變化,這種時候的誤差主要是誤差三造成的.所以經(jīng)過固定不同的油量體積和誤差的分析就可求的值.分析附件二中的數(shù)據(jù)，顯示的液面高度在（）利用體積和面積相等: 不

16、同油位高度的傾斜度如下，計(jì)算程序見附件十二流水號流水號流水號流水號2012.29063012.28164012.28794932.28052022.28773022.29774022.29114942.28992032.30113032.29114032.22454952.28072042.33042.30124042.9874962.30442052.29873052.28874052.29874972.29032062.29963062.28964062.29864982.29572072.27453072.29454072.26454992.27982082.2913082.291440

17、82.29145002.28192092.2963092.28674092.29635012.29362102.28043102.29044102.29115022.2977表三 油位高度與縱向偏角關(guān)系表建立如圖所示的簡圖(A,B,C為半徑為X1的球面上)圖20 儲油罐橫縱向變位圖因?yàn)椋?在旋OA上取兩段長度分別為X2 X3的線段,且線段滿足: 而: (M,N均為未知數(shù))所以 代入上式得: （46）要滿足在模型中，橫、縱均變位時的誤差值不會發(fā)生改變，就必須對多種情況的進(jìn)行搜索算法分析。利用油面高度與體積給出的關(guān)系，帶入多組數(shù)據(jù)，與（46）式結(jié)合，反解出值。確定的搜索范圍 ， ，如圖： 圖21

18、搜索算法范圍圖坐標(biāo)步長：1.為步長初步搜索 2優(yōu)化點(diǎn)附近細(xì)化搜索（步長為）算法步驟： 1.將該搜索點(diǎn)代入搜索. （i=1,2,3.;j=1,2,3；k=1,2,3.） 2.得到的關(guān)系表。 3計(jì)算實(shí)際數(shù)據(jù)誤差的平方和 4并符初值,，保留下 5.搜索完成,讀出e對應(yīng)的值 3、對罐容表進(jìn)行標(biāo)定在此，我們利用的值利用（42）、（43）、（44）、（45）式重新標(biāo)定了間隔為10的罐容表標(biāo)定值如下：罐容表長度（）顯示油量（L）罐容表長度（）顯示油量（L）罐容表長度（）顯示油量（L）0152.1511021571.0222051304.0110228.3312024288.0123053613.012034

19、2.513027066.0124055800.0230685.1214029639.0125057750.01403325.2315032625.0226059766.02505965.1516035488.0227064045.32608605.1417038233.0128066685.127010361.0118040986.0129069325.028013816.0119043681.0130071965.019016299.0120046320.0110018880.0121048867.01表四 間隔為10罐容表標(biāo)定值（五）模型的正確性檢驗(yàn)利用附件二中一次性補(bǔ)充進(jìn)油后的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢

20、驗(yàn)。在模型二中，我們分析出其誤差的總關(guān)系式為 (H為油位高度)要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，就需要對一次性補(bǔ)充進(jìn)油后的誤差進(jìn)行理想的判斷，研究判斷的值是否與誤差關(guān)系式分析的誤差值接近或相等。將一次性補(bǔ)充進(jìn)油的數(shù)據(jù)代入模型中，運(yùn)用MATLAB進(jìn)行積分的運(yùn)算程序見附件十四。（0，0）表示沒有發(fā)生變位的理論體積。經(jīng)過推到，我們得到誤差1=誤差2=運(yùn)算的誤差（一部分?jǐn)?shù)據(jù)）流水號誤差1誤差2流水號誤差1誤差2136.3833136.0893110.7344114.7835136.1735135.8725114.6763114.6936135.9216135.7211113.9876114.5197134.8797135.

21、4717114.0345114.275135.2928135.2627113.7664113.9885137.9349134.9209114.0873113.7843134.5892134.673113.4213113.4412134.3874134.3804112.9992113.1318133.2876134.1886112.3471112.737134.1129134.0028112.5057112.4897表五 儲油罐誤差統(tǒng)計(jì)表分析以上數(shù)據(jù)，直接運(yùn)算誤差值與誤差關(guān)系運(yùn)算的誤差值非常接近（除流水號為516,611）出現(xiàn)流水號為516,611不符合，是因?yàn)樵谟?jì)算過程中難免會出現(xiàn)偶然誤差。由

22、于其它數(shù)據(jù)都完全符合，說明模型與方法是正確的。所以此模型的建立正確并具有相當(dāng)大的推廣性。四、 模型的評價、推廣5.1模型優(yōu)點(diǎn)：1） 系統(tǒng)誤差和偶然誤差的雙重結(jié)合分析，使得結(jié)果準(zhǔn)確可靠，大大提高了模型的精確度，使模型結(jié)果更具有說服力。同時，線性回歸和擬合的兩種誤差分析的方法的運(yùn)用使得誤差分析簡單準(zhǔn)確。不僅詳細(xì)的誤差分析是本文的特色，兩種誤差分析法的運(yùn)用也不失為本文的特色。2） 在模型二中，利用搜索法確定參數(shù)3） MATLAB和Excel工具的運(yùn)用，不僅使得復(fù)雜的計(jì)算簡單、快捷，而且還絕對準(zhǔn)確。避免了人為計(jì)算的偶然性誤差的產(chǎn)生。4） 模型假設(shè)巧妙，在不失合理的基礎(chǔ)上使得模型不僅計(jì)算方法簡便，而且思

23、路清晰。同時，整個模型的集體思路非常清晰，罐體的橫縱向變位情況劃分清晰。5.2模型缺點(diǎn)：1） 在模型一中沒有考慮溫度、壓強(qiáng)對油體積的影響，所以在一定程度上存在偏差；2） 本題中我們利用的數(shù)據(jù)比較少，可能還存在誤差。5.3模型推廣 該模型是研究的加油站儲油罐的變位識別與罐容表的標(biāo)定問題，我們可以將這個模型運(yùn)用于蓄水庫、儲油箱等需要測量液體體積的生產(chǎn)、生活中。參考文獻(xiàn)2余長安，大學(xué)數(shù)學(xué)考研題型精講與解題技巧集粹，北京，科學(xué)出版社出版，20058閔長玖、唐鵬、王儷蓉，數(shù)碼相機(jī)定位模型，天府?dāng)?shù)學(xué)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽四川賽區(qū)優(yōu)秀論文選，第6期，101頁104頁2009年3月16日。附件附件一)附件四x

24、=1.5902，1.7614，1.9259，2.085，2.2393，2.38972.5366，2.6804，2.8216，2.9603，3.0969，3.23153.3644，3.4957，3.6256，3.7542，3.8816，4.00794.1332，4.2576，4.3812，4.504，4.6262，4.74784.8689，4.9895，5.1097，5.2295，5.349，5.46825.5872，5.7061，5.8248，5.9435，6.0622，6.18096.2996，6.4185，6.5375，6.6567，6.7763，6.78546.9053，6.9082，7

25、.0285，7.1491，7.2703，7.39197.5142，7.637，7.6416，7.7653，7.8899，8.01548.1419，8.2695，8.3983，8.5284，8.66，8.7932，8.92828.9284，9.0653，9.2045，9.3461，9.4905，9.638，9.78919.9443，10.1043，10.2699，10.4425，10.6237，10.815911.0233,11.2532,11.5236,11.9349;X=ones(78,1) x;Y=10.9,12.6,14.4,16.1,17.9,19.621.4,23.1,24.8,26

26、.6,28.3,30.131.8,33.5,35.3,37.1,38.8,40.642.3,44,45.8,47.5,49.2,51,52.754.5,56.2,58,59.7,61.5,63.2,6566.7,68.4,70.2,72,73.7,75.4,77.278.9,80.7,80.77,82.57,82.54,84.3486.04,87.84,89.54,91.24,93.02,93.0794.87,96.57,98.37,100.07,101.87,103.57105.27,107.07,108.77,110.57,110.59,112.29113.99,115.79,117.49

27、,119.29,120.99,122.79124.49,126.19,127.99,129.69,131.49,133.19134.99,136.69,138.49;附件五hi=;n=hi-2.45*tan(pi*4.1/180);v=1.78/0.6*cot(pi*4.1/180)*0.5*(1.2*hi-hi2)0.5*(hi-0.6)2-0.3*0.36*asin(hi/0.6-1)+0.36*hi*asin(hi0.5/(1.20.5)+1/3*(1.2*hi-hi2)1.5-pi/4*0.6*0.6*0.6-1.78/0.6*cot(pi*4.1/180)*0.5*(1.2*n-n2

28、)0.5*(n-0.6)2-0.3*0.36*asin(n/0.6-1)+0.36*n*asin(n0.5/(1.20.5)+1/3*(1.2*n-n2)1.5-pi/4*0.6*0.6*0.6+0.3984*hi2-0.6078*hi+0.1419帶入不同的hi值即可。附件六x=4.3996，4.5212，4.67，4.7921，4.9257，5.06415.1804，5.3123，5.4336，5.5551，5.6755，5.80635.9307，6.0523，6.1741，6.2823，6.4029，6.52116.6425，6.7495，6.8726，6.9889，7.093，7.21

29、77.3334，7.4512，7.5633，7.6806，7.7957，7.90228.021，8.1406，8.2471，8.3694，8.4947，8.61478.7314，8.8496，8.9627，9.0873，9.2159，9.33019.4601，9.5857，9.7009，9.8327，9.9676，10.088110.2108，10.3501，10.4774，10.6291，10.6403;y=47.14,45.44,55.14,54.64,59.44,66.34,64.64,69.8170.81,72.17,73.37,79.17,82.37,84.67,87.17,83.8

30、786.07,87.27,89.97,86.47,89.97,90.47,85.67,89.5789.97,90.97,89.47,89.97,89.47,86.67,85.87,86.7781.97,83.57,86.07,86.17,84.47,83.17,79.37,79.8781.47,76.87,78.07,76.97,71.27,71.37,71.87,66.2760.77,60.47,54.87,56.67,58.46;附件七m=;n=m-2.45*tan(pi*4.1/180);v=1.78/0.6*cot(pi*4.1/180)*0.5*(1.2*m-m2)0.5*(m-0.

31、6)2-0.3*0.36*asin(m/0.6-1)+0.36*m*asin(m0.5/(1.20.5)+1/3*(1.2*m-m2)1.5-pi/4*0.6*0.6*0.6-1.78/0.6*cot(pi*4.1/180)*0.5*(1.2*n-n2)0.5*(n-0.6)2-0.3*0.36*asin(n/0.6-1)+0.36*n*asin(n0.5/(1.20.5)+1/3*(1.2*n-n2)1.5-pi/4*0.6*0.6*0.6+0.3984*m2-0.6078*m+0.1419得到以下一些數(shù)據(jù)（列出的為一部分）流水號流水號20211.642054.632035.0520610.

32、7320416.3520715.70（注：這些數(shù)值均為正值）得到以下一些數(shù)據(jù)（列出的為一部分）流水號流水號331337332338333339（注：這些數(shù)值均為負(fù)值）附件九x=2.63223 2.6243 2.62067 2.61029 2.60661 2.59959 2.5876 2.58205 2.5957 2.57544 1.86846 1.85654 1.85051 1.84192 1.83091 1.81896 1.81042 1.80734 1.80498 1.7968 1.16362 1.16177 1.15819 1.1499 1.13994 1.13102 1.12557 1

33、.1141 1.1069 1.09536 0.53485 0.52427 0.51529 0.50595 0.49744 0.49028 0.48502 0.4764 0.47333 0.46974;>> y=-3.29.*x.2+47.56.*x+46y = Coluhins 1 through 10 148.3937 148.1536 148.0436 147.7286 147.6167 147.4031 147.0375 146.8679 147.2846 146.6657 Coluhins 11 through 20 123.3781 122.9573 122.7440 1

34、22.4398 122.0492 121.6244 121.3202 121.2104 121.1262 120.8341 Coluhins 21 through 30 96.8871 96.8132 96.6703 96.3390 95.9403 95.5827 95.3640 94.9030 94.6132 94.1479Coluhins 31 through 40 70.4963 70.0300 69.6336 69.2208 68.8441 68.5269 68.2936 67.9109 67.7745 67.6149附件十流水號()V(誤差)流水號()V(誤差)流水號()V(誤差)2

35、027.93 11.6430211.92 2.914022.85 2033.63 5.053036.03 1.114032.58 20410.38 16.353048.59 2.234048.29 2053.68 4.6330511.01 1.654059.96 2067.02 10.7330611.95 1.264068.92 20711.99 15.703078.54 0.254075.45 2085.55 6.463083.08 1.1540811.47 2092.48 3.673092.36 1.714097.20 2104.13 4.483108.18 41011.54 2115.98 9.373117.67 1.244112.73 流水號誤差流水號誤差流水號誤差流水號誤差201148.3937301123.578140196.887149374.4963202148.1536302122.957340296.813249470.03203148.0436303122.744040396.670349569.6336204147.7286304122.439840496.33949669.2