量子力學(xué)教程及答案第8章習(xí)題

1、第 8 章習(xí)題習(xí)題 8.1 假設(shè)在一維無限深方勢阱（ -a < x < a ） 的中心加入一個 d 函數(shù)勢微擾H ¢ = ad (x) ，其中a 為。并解釋 n 為偶數(shù)的能級不受到擾動的（a）（b）（c）求出能級的一級。求出基態(tài)波函數(shù)一級的前三個非零項。求能級的。æ npö1y =sin(x + a) ，其能級是非簡并的，0解：（a）所給一維無限深方勢阱的波函數(shù)為ç÷naè2aø公式 E(1) = yy，可得到0n0H '就是零級近似波函數(shù)。根據(jù)能量的一級nn= aapapæ nö&#

2、230; n öa( )ò= yy(x + a) d x dx =sinE(1)0n0n22H 'sinç 2a÷ç÷nèøaèø2-a當(dāng) n 為奇數(shù)時， E(1) = a / a ；當(dāng) n 為偶數(shù)的時候， E (1)= 0 ，這是因為對n 為偶數(shù)的波函nn數(shù)，它在勢阱中心 x = 0 處的波函數(shù)為零，因此感受不到此處的微擾。（b）基態(tài)波函數(shù)的一級為¥ån=2y=y(1)0n1E0 - E01n其中矩陣元為= asin æ np (x + a öd

3、 ( x)sin æ p(x + a) ö dxaòyy0nH '0ç 2a÷ç 2a÷1aèøèø-a= a sin æ np öç÷aèø22p 22m(2a)2 (1- n)E1 - E =002n前三個非零n = 3,5,7 ，a 2m(2a)2 é1öùæ 3pæ 5pæ 7pö -ö +112411481y=(1)sin 

4、31;(x + a) ÷ a2asin ç(x + a) ÷ a2asin ç(x + a) ÷ú a2aê8p 2 21aèøèøèøûë（d） 能量的公式為矩陣元為H ¢2E(2) = åmnnE(0) - E(0)m¹nnmy 0nH 'y 01= asin æ np (x + a öd ( x)sin æ mp (x + a) ö dxaòyy0n0m

5、H 'ç 2a÷ç÷aèøè2aø-a= a sin æ np ösin æ mp öç÷ç÷aèøèø22僅當(dāng) n，m奇數(shù)時，矩陣元才不為零。2p 22m(2a)2 (n - m)En - E=0022mH ¢2a 22m(2a)2sin(np / 2) sin(mp / 2)E(2) = åmn=åm=奇E(0) - E(0)a2p 2 2nn2 - m2

6、m¹nnm習(xí)題 8.2 在三維無限深方勢阱如果0 < x, y, z < a其他地方V (x, y, z) = ì 0,í¥,î中引入微擾如果0 < x < a / 2, 0 < y < a / 2其他地方H ¢ = ìV0 ,í0,î（a）（b）（c）求無微擾時體系的能級和定態(tài)波函數(shù)。求基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)能量一級（注意第一激發(fā)態(tài)是三重簡并的） 求第一激發(fā)態(tài)的零級近似波函數(shù)解：（a）無微擾時體系的波函數(shù)是æ nypöæ 2 ö3/2

7、æ n pöæ n pöy (0)=(n , n , n =1, 2,3,.)sin x xsinçy ÷sin z zç a ÷ç÷ç÷ç÷nx ,ny ,nzxyzaaaèøèøèøèø能級為= p 2 2(n + n + n )E(0)222nxnynz2ma2xyz（b）基態(tài)， nx = ny = nz = 1 非簡并，能量一級為æ 2 ö3

8、0; pöæ pöæ pö1a/ 2a/ 2a/ 2òò0ò0E(1) = y (0)H ¢ y (0)=Vsin2x dxsin2y dysin2z dz = V111ç a ÷ç a ÷ç a÷ç a÷111111004èøèøa / 4èøa / 4èø0a / 2對于第一激發(fā)態(tài)，我們需要利用簡并微擾理論。第一步是計算矩陣元。它的對角元素和基

9、態(tài)是相同的（除了一個正弦函數(shù)的變量由p x / a 變?yōu)榱?p x / a ）：設(shè)y112 ºy a ,y121 ºy b ,y 211 ºy c對角元為H ¢ = H ¢ = H ¢ = 1 Vaabbcc04非對角元為3a/ 2æ psin2a/ 2æ psiny ösinæ 2ppz ösinæ p z ö dz = 0= æ 2 öx ö dxy ö dysinæ 2aòò0òH

10、 ¢Vabç a ÷ç a÷ç a÷ç÷ç÷ç a÷0èøèøèøèaøèaøèø0003a/ 2æ psinx ösin æ 2p x ö dxa/ 22 æ psinæ 2pz ösin æ p z ö dz = 0= æ 2 ö

11、46;aacç a ÷0 ò0ò0òH ¢Vy dysinç a÷ç÷ç a÷ç÷ç a÷èøèøèaøèøèaøèø003a/ 2æ psinx ösinæ 2p x ö dxpy ösinæ p y ödy a sin2 æ p z &

12、#246;dz =V= æ 2 öæ 216a/ 2òòò0H ¢Vsinç a ÷ç a÷ç÷ç÷ç a÷ç a÷bc09p 20èøèøè2a/3paøèaøèø2a/3pèø1a/200而169p 2= ( H ¢ )= (H ¢ )= (H ¢ )*

13、=*H ¢¢¢= 0, H= 0, HV ,baabcaaccbbc0所以微擾矩陣為æ 10 ö01k1çk ÷649p 2¢k ºH =V0ç÷04ç 01 ÷èø設(shè)本征方程為æ 10 öæ c1 öæ c1 ö01k1 Vç 0k ÷ç c÷ = 1 V l ç c÷0 ç÷ç2 ÷0

14、2 ÷ç44ç 01 ÷ç c ÷ç c ÷èøè 3 øè 3 ø久期方程為1- l00k1- l01- l= 0 Þ (1- l)3 - k 2 (1- l) = 0k0l = 1, l = 1± k本征值為（能量一級）V , V (1± k ) 4 0 4 0（d） 若求零級近似波函數(shù)，需要對能量一級求出對應(yīng)的c1, c2 , c3l = 1 ，æ 1110 öæ c1 ö

15、0; c1 ö01kç 0k ÷ç c ÷ = ç c÷ Þ c = c = 0, 歸一化c = 1ç÷ç2 ÷2 ÷23ç1ç 01 ÷ç c ÷ç c ÷è故零級近似波函數(shù)為øè 3 øè 3 øy=y=y(0)l=1a112l = 1+ kæ 101k0 öæ c1 öæ c1 &#

16、246;ç 0k ÷ç c÷ = (1+ k ) ç c ÷ Þ c = 0, c = c12歸一化c = c =ç÷ç2 ÷ç2 ÷12323ç 01 ÷ç c ÷ç c ÷èøè 3 øè 3 ø故零級近似波函數(shù)為121(y) =(y)y+y+y(0)l =1+k=bc1211122l = 1- kæ 101k0 ö

17、0; c1 öæ c1 ö12ç 0k ÷ç c÷ = (1- k ) ç c ÷ Þ c = 0, c = -c歸一化c = -c=ç÷ç2 ÷ç2 ÷12323ç 01 ÷ç c ÷ç c ÷èøè 3 øè 3 ø故零級近似波函數(shù)為121(y) =(y)y=-y-y(0)l =1+kbc1211122是 H &#

18、162; 的期待值，即容易驗證，這三個零級近似波函數(shù)是相互正交的，能量一級1 V= yH ¢ y(0)l =1(0)l =1041 VH ¢ y(1+ k ) = y(0)l =1+k(0)l =1+k041 V(1- k ) = yH ¢ y(0)l =1-k(0)l =1-k04習(xí)題 8.3 一個量子系統(tǒng)僅有三個相互線性的態(tài)。假設(shè)哈密頓量的矩陣形式為：æ1 - e01e0 öçe ÷H = V00 ç÷ç2 ÷0è1）。ø其中， V0 為， e 為一小量（ e(

19、a) 求出無微擾(e = 0) 時哈密頓量的本征態(tài)和本征值。(b) 嚴(yán)格求解 H 的本征值。結(jié)果展開為e 的冪級數(shù)，展開到e 的二次項。公式，求出由 H0 的非簡并本征態(tài)所生成態(tài)的近(c) 利用非簡并微擾理論的一級和似本征值。同（a）中的精確結(jié)果比較。(d) 利用簡并微擾理論，找出兩個原來簡并的本征值的一級解：（a）無微擾情況下哈密頓的矩陣表示是：。同精確結(jié)果比較。æ 10 ö010ç 00 ÷= VH 00 ç÷ç 02 ÷èø已是一個對角矩陣，它的對角元就是 H 0 的本征值。本征值為V ,

20、V ,2V ，對應(yīng)的本征態(tài)000為æ 1 öç÷æ 0 öç÷æ 0 öç÷y= 0 ，y= 1 ，y= ç 0 ÷00203ç÷ç÷1ç 0 ÷ç 0 ÷ç 1 ÷èøèøèø（b）設(shè)本征值為V0l ，哈密頓 H 的久期方程為1det ( H - lV0 ) = V03131所以： l1 =1-

21、e ， l2 =-1 + 4e， l3 =+1 + 4e222222能量本征值為= 3V0 - V0= 3V0 + V0= (1 - e )V1 + 4e 2 ， E1 + 4e 2E， E10232222利用函數(shù)展開式+1+ 1 x - 3 x2 +51628可以將本征值 E2,3 展開為關(guān)于e 的級數(shù)，精確至二次：E » (1- e 2 )V()， E » 2 + eV22030（c）微擾哈密頓的矩陣表示為：æ -eç00eH ¢ = H - H 0 = V00 çç0èy非簡并，一級能量為：03E1 = yH

22、 ¢ y= W= 00303333能量為：2y的能量為：0所以在下非簡并態(tài)3E = 2V + e V2300它正好是（b）中 E3 的精確解關(guān)于e 的精確至二次的結(jié)果。yy，首先解久期方程：00（d）下面考慮有二重簡并的本征態(tài)和12H ¢ - E1H ¢-eV - E10-E1= 0 Þ E1 = 0, -eV111200H ¢H ¢ - E102122于是簡并情況的能量經(jīng)過一級之后為：E1 = V0 - eV0 ， E2 = V0能量簡并被消除。與（b）中的結(jié)果對比可知上式與精確解在保留到一次的結(jié)果一致。習(xí)題 8.4 求出一維諧振子

23、能級的相對論（最低級的）。解：由相對論公式，對能量的相對論可以表示為 12mc2éùûE = -1E - 2E V +2V 2ër1V =E ，所2n2所以我們需要求出一維諧振子的 V 和 V。我們已經(jīng)知道，對諧振子以1E1 =- V 2r2mc2利用產(chǎn)生與湮滅算符有：2mw (a+ a- )x = 1 m 2w4116(a + a)2y(a + a)2y2y2w2=V 2n+ -n+ -n44而(a)2y= a y + a a y + a a y + a y+ a22+-n+n+ - n- + n-n= a y + a a y + (1 + a a )

24、y + a y22+ n+ - n+ -n-n=(n + 1)(n + 2)y n+2 + (2n + 1)y n +n(n -1)y n-2所以1163162w2 (2n2 + 2n +1)2w2 é(2n +1)2 + (n +1)(n + 2) + n(n -1)ù =V 2=ëû2w23(2n + 2n +1)Er = -1232mc2習(xí)題 8.5 氫原子準(zhǔn)確的精細結(jié)構(gòu)公式（直接由相對論的狄拉克方程求出而沒有利用微擾理論）為：ìé-1/ 2ö2 ùüïæaï 

25、4;úE = mc1+ ç÷2-1ýíç n - ( j +1/ 2) +( j +1/ 2)2 -a 2÷ïêúnjïèøîë展開至a 4 項（注意到有aûþ1），并證明你重新得到了利用微擾理論所得的公式13.6eV éa 2 æ3 öùn= -1+-Enjê÷úçn2nj +1/ 224 øûèë解：a

26、<< 1 Þ a << j + 1 / 2 Þa<< 1j + 1 / 2a 2éa 2ùa 211（j+1/2）-a = ( j +1/ 2)221-( j +1/ 2)2» ( j +1/ 2) 1-= ( j +1/ 2) -êú2 ( j +1/ 2)22 ( j +1/ 2)ëû a=aa 22( j +1 / 2)n - ( j +1 / 2) +( j +1 / 2)2 -a 2n - ( j +1 / 2) + ( j +1 / 2) -é&#

27、249;úa êaa éa 2ù1ênú »=n ê1+ 2n( j +1 / 2) úa 22( j +1 / 2)a 2ê1-úëûn -êë2n( j +1 / 2) úû所以-1/ 2ö2 ùé2 ù-1/ 2æéê1+ ça÷= ê1+ a æ1+aö ú22úç2n(

28、 j +1 / 2) ÷ç n - ( j +1 / 2) +( j +1 / 2)2 -a 2÷êún2êúèøèøëûëûöù-1/ 2éa 2 æa 21 a 2 æa 23 a 4ö» ê1+ n2ç1+ n( j +1 / 2) ÷ú» 1-1+ 2+ç÷n( j +1 / 2)8 nn24

29、2;øûèøë1 a 2a 4æ-n3 ö4 ø= 1-+2 n2+ç÷2n( j +1 / 2)4è+÷ -1ú = mc2 ê-2+Enj1çç÷ú2 n22n4 è ( j +1/ 2)2)4 ø4 øûûë= - mc2a 2 é3 öùéa 2 æ-na 2 æ-n13.6eV1-+

30、47;ú = -ê1-+ê÷ún ç ( j +1/ 2)çn è ( j +1/ 2)2n22224 øûn4 øûèëë習(xí)題 8.6 質(zhì)子自旋為1/ 2 ，它的磁矩為gpe S =2mppp其中質(zhì)子的朗道因子為 gp = 5.59 。這個磁矩形成一個磁場m0é3( × r)r - ù + 2m0 d 3(r)B =4p r3 ëp ûpp3其中 m0 是真空磁導(dǎo)率， r 是沿徑向的矩的相互作用

31、為矢量， d 3(r) 是三維d 函數(shù)。質(zhì)子磁矩與電子磁é3(S p ×r)(Se ×r) - S p ×Se ùm gm ge2e2ëûr3(× S )d 3(r)H ¢ = 0 p+ 0 p3Shf8pm mpep e由此引起的氫原子能級的稱為超精細結(jié)構(gòu)。對l = 0 的態(tài)，波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，上式第一項的平均值為零，能量的僅由第二項決定。精細結(jié)構(gòu)對氫原子基態(tài)的能量。注意無微擾時，由于質(zhì)子自旋與電子自旋耦合，氫原子基態(tài)是 4 度簡并的，你自旋¾自旋耦合表象中討論問題。解：按照微擾理論，能量的一

32、級就是微擾哈密頓量的平均值：m g3(S × r)(S × r) - S × Se2=0ppepeE1hf8p m mr3p em ge22+0pS × Sy (0).pe3m m p e對基態(tài)（或者對于 l = 0 其它態(tài)），波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，第一項的平均值為零。另外，23y100 (0) = 1/(p a ) , 所以對于基態(tài)能量一級為m ge2E1=0 pS × S.3p m m a3hfpep e它稱為自旋自旋耦合，因為它和兩個自旋的點積有關(guān)（對比于自旋軌道耦合，它和S × L相關(guān)）。在自旋自旋耦合時，單個的自旋角動量不再是守

33、恒量；“好的”量子態(tài)為總自旋的本征矢, 和以往一樣，我們對上式進行平方，得到：(0.1)但是電子和質(zhì)子都具有 1/2 的自旋，所以在三重態(tài)（自旋“平行”），總自旋為 1，因此；在自旋單態(tài)，總自旋為 0，因此所以，4ì+1/ 4, 三重態(tài)4g=pE1í(0.2)hf3m m c a-2 43 / 4,單態(tài)p eî自旋自旋耦合打破了基態(tài)的自旋簡并，抬高了三重態(tài)的能級，降低了單態(tài)的能級（見圖 6.13）。能量間隔顯然為，44g=p= 5.88´10-6 eVE1(0.3)hf3m m c2a4p e圖 6.13：基態(tài)氫原子的超精細。伴隨三重態(tài)躍遷到基態(tài)所出的光

34、子的頻率為，(0.4)對應(yīng)的波長為c /u = 21cm ，它屬于微波段。這個著名的 21 厘米長譜線是宇宙中最普遍的射線之一。習(xí)題 8.7 如果氫原子的核不是點電荷，而是半徑為b ，電荷均勻分布的小球，計算這種效應(yīng)對氫原子基態(tài)能量的一級。解：這種分布只對 r < b 的區(qū)域有影響，對 r ³ b 的區(qū)域無影響。據(jù)題意知H ¢ = V (r) -V0 (r)其中V0 (r) 是不考慮這種效應(yīng)的勢能分布，即e2V（0 r）=- srV (r) 為考慮這種效應(yīng)后的勢能分布，在 r ³ b 區(qū)域，e2V (r) =- sr在 r < b 區(qū)域，V (r) 可

35、由下式得出，¥V (r) = -eòr Edr其中電場ì1e× 4 p r3 =e×(r £ b)r,ï 4pe4 p b34per2b33e2E = í030e2 ºs4peeï (r ³ b)0ï4per2î0¥beEdr - eòb EdròV (r) = -r2e1b¥3 òòb r2= -rdr - e2sdrsbre2e2e2= - s (b - r ) - s = - s (3b- r )(r

36、 £ b)22222b3b2b3所以ì-e2e2 s (3b - r) + s r(r £ b)ï22H ¢ = V (r) -V0 (r) = í2b3ïî(r ³ b)02由于b 很小，所以 H ¢ << H (0) = -Ñ2 +V (r) ，可視為一種微擾，由它引起的一級修2m0ö1/ 2æZ 3y= çe-r / a0 ）(0)÷正為（基態(tài)p a1003è0 øò= y¥H ¢

37、;ytE(1)(0)*(0)d100100100e2e21p ab3 ò=-s (3b2 - r2 ) + s e43-2r /a2p r dr02br00-2r / a0區(qū)域r << a0 ，故e» 1。因為在所所以2 a bbb2r2 - r4 )dE(10習(xí)題 8.8 轉(zhuǎn)動慣量為 I 、電偶極矩為 D 的空間轉(zhuǎn)子處于均勻外電場Eext 中，設(shè)電場較小，用微擾法求轉(zhuǎn)子基態(tài)能量的一級和。解：取Eext 的正方向為 z 軸正方向建立坐標(biāo)系，則轉(zhuǎn)子的哈密頓算符為L212H =- D × E=L - DEco2Iextext2I1取 H (0)=L2 ,

38、2IHH ¢ = -DEcosq ，則ext= H (0) + H ¢由于電場較小，把 H ¢ 視為微擾，用微擾法求此問題。 H ( 0) 的本征值為（即 L2 的本征值乘以1/ 2I ）l(l +1)2El=(0)2I本征函數(shù)為y= Y (q ,f)(0)lmlmH的基態(tài)能量為 E= 0 ，為非簡并情況。基態(tài)的能量一級( 0)（0）為02ppY * Hò0 òH ¢ Y=E(1)= Y0000000012pp-DEcosq sinq dq4p ò0ò=ext0根據(jù)定態(tài)非簡并微擾論可知為2H¢= 

39、9;E(2) l 00E(0) - E(0)l ¹00lòòH ¢ = yH ¢ydt =*(0)(0)l 0l0ò= -DEY (cosq Y ) sinq dq d*extlm004p Y1ò= -DEY *sinextm104p3=- DEextòY sinq dq dfY *0103=- DEext d13H¢2D2 E2× 2I13= å¹0 0= -å2 = - extdE(2)D2 E2I0E(0) - E(0)3 ( +1)212ext¹0

40、0習(xí)題 8.9 若對三維各向同性諧振子加上微擾H ' = l x2 yz （ l 為（a）求基態(tài)能量的一級。）（b）求第一激發(fā)態(tài)能量的一級和零級近似波函數(shù)（第一激發(fā)態(tài)是三重簡并的）。解：用直角坐標(biāo)系，三維各向同性諧振子的波函數(shù)可以表示為一維諧振子波函數(shù)的直積y n n n (x, y, z) =y n (x)y n ( y)y n (z)x y zxyz= æ n + n + n+ 3 öw,n , n , n = 0,1, 2,3,.Enxnynzç xyz2 ÷xyzèø（a） 對于基態(tài)，波函數(shù)為y 0 (x, y, z)

41、 =y 0 (x)y 0 ( y)y 0 (z)它是非簡并的，因此它的能量一級為ò=0 = y *(x)y *( y)y *(z)l x2 yzy (x)y ( y)y (z)dxdydzE(1)H '00000000¥¥-¥¥-¥ò-¥= ly* (000（b）對于第一激發(fā)態(tài)，波函數(shù)為1 = y1 (x)y 0 ( y)y 0 (z)2 = y 0 (x)y1 ( y)y 0 (z)3 = y 0 (x)y 0 ( y)y1 (z)，所以第一激發(fā)態(tài)三重簡并，在以這三個態(tài)為基矢的簡并子空間，微擾矩陣元為&#

42、242;1 = y (x)y *( y)y *(z)lx2 yzy (x)y ( y)y (z)dxdydz = 0H '= 1 H '*11100100ò2 = y (x)y ( y)y *(z)lx2 yzy (x)y ( y)y (z)dxdydz = 0H '=H '*222010010ò3 = y *(x)y ( y)y (z)lx yzy (x)y ( y)y (z)dxdydz = 0=H '3 H '*233001001()* =)* =ò= H2 = y (x)y *( y)y *(z)l x2 y

43、zy (x)y ( y)y (z)dxdydz = 0H ''1 H '*1221100011(ò3 = y (x)y *( y)y *(z)l x2 yzy (x)y ( y)y (z)dxdydz = 0H '= H'1 H '*1331100001()* =ò= y (x)y ( y)y *(z)l x2 yzy (x)y ( y)y (z)dxdydzH '= H'H '*2323320100012æö¥¥-¥¥-¥ò

44、;-¥= ly* (è 2mw ø0/2mw/ 2mw/ 2mwö2æh設(shè)k º lç÷，微擾矩陣可以寫作wèø2mæ 000k0 öH' = ç 0k ÷ç÷ç 00 ÷èø解久期方程ì-k-E(1)00k100ï-E(1)= 0 Þ E=0(1)í1k1ï k-E(1)î1零級近似波函數(shù)。E= -k(1)1æ 000

45、k0 öæ c1 öæ c1 öç 0k ÷ç c÷ = -k ç c ÷ Þ c = 0, c = -c =12（歸一化）ç÷ç2 ÷ç2 ÷123ç 00 ÷ç c ÷ç c ÷èyøè 3 øè 3 ø11=( 2 -3 ) =( y (x)y ( y)y (z)- y (x)y ( y)y

46、(z)(0)-k01000122E(1) = 01æ 000k0 öæ c1 öæ c1 öç 0k ÷ç c÷ = 0ç c ÷ Þ c = c = 0, c = 1 （歸一化）ç÷ç2 ÷ç2 ÷231ç 00 ÷ç c ÷ç c ÷èyøè 3 øè 3 ø= 1 = y (x)y

47、( y)y (z)(0)0100E= +k(1)1æ 000k0 öæ c1 öæ c1 ö12ç 0k ÷ç c÷ = +k ç c ÷ Þ c = 0, c = c =（歸一化）ç÷ç2 ÷ç2 ÷123ç 00 ÷ç c ÷ç c ÷èyøè 3 øè 3 ø11=( 2 +3 )

48、=( y (x)y ( y)y (z) + y (x)y ( y)y (z)(0)k01000122效應(yīng)，y 3lm 是 9習(xí)題 8.10 考慮氫原子 n = 3 的態(tài)在沿 z 軸方向的均勻外電場Eext 中的度簡并的（不考慮自旋）。（a）構(gòu)造9´ 9 的矩陣表示出微擾哈密頓。（ b） 找出本征值和它們的簡并度。（不要被 9´ 9 的矩陣嚇著， 實際中它約化為一個3´ 3 3´ 3，2 個2 ´ 2 和 2 個1´1子矩陣，求解不是很復(fù)雜）解：簡并子空間的 9 個態(tài)是003112-3由于， HS¢ = eEext z = e

49、Eext r cosq 不依賴f ，所以l'm'H 'nnlS當(dāng) m ¹ m' 矩陣元為零。對于對角元nlm H 'nS2éP (cosq )是cosq 偶次冪的多項式，而每一項的ùm由于ëûlpòcos q cosq sinq dq =2 J0零，另外當(dāng)m = m 時，如果l + l 為偶數(shù)，P (cosq )P (cosq )''mm所以所有的對角元ll'也是cosq 偶次冪的多項式，為零，這樣我們只需計算 4 個矩陣元（共有 8 個不為零）。300 H '3

50、S0 H '3031S¥RòR r3dr = 30310aæ¥2 ò0=1 -çè2aæ¥2 ò0=1 -çè2òY Y cosq sinq dq0 00 1所以0 = -3 6aeE300 H '3 1Se同樣可以計算的320 = -3 3aeE3 1 0 H 'Sex32±1 = - 9 aeE3 1 ±1 H 'Se2所以微擾矩陣為æ0 ö03 603 300000003 30000000

51、00009 / 200000009 / 2000000000009 / 200000009 / 2000000000000ç÷0 ÷÷ç 3 6ç00000000 ÷çç0 ÷ç÷0 ÷-aeEext ççççç0 ÷÷0 ÷0 ÷ç÷ç0 ÷èø這個矩陣可以約化為一個3´ 3，2 個2 ´ 2 和

52、 2 個1´1子矩陣，設(shè)能量本征值為-aeEextl對3´ 3的矩陣，久期方程為-l3 603 6-l3 303 3-l= 0 Þ -l3 + 81l = 0 Þ l = 0, ±9所以能量的一級為（這里下標(biāo)表示不同的能量本征值，不是能量量子數(shù)）E1 = 0, E1 = 9aeE, E1 = -9aeE,12ext3ext對2 ´ 2 矩陣（2 個一樣）-l9 / 2 = 0 Þ l = ± 99 / 2-l為2所以能量的一級E1 = 9 aeE, E1 = - 9 aeE, E1 = 9 aeE, E1 = -

53、9 aeE4ext5ext6ext7ext2222對于 2 個1´1的矩陣， l = 0 ，所以 E = E = 0 。這樣原來 9 重簡并的能級11為 5 個899能級。 E1 = E = E = 0 （ 3 重 簡 并 ）； E4 = E = 2 aeEext （ 2 重 簡 并 ）；11111896E1 = E1 = - 9 aeE（2 重簡并）； E1 = 9aeE, E1 = -9aeE（非簡并）57ext2ext3ext2習(xí)題 8.11 求一維簡諧振子的基態(tài)能量的最優(yōu)上限，取試探波函數(shù)為Ax2 + b2y (x) =，其中 A 由歸一化確定， b 是可調(diào)參數(shù)。解:首先歸一

54、化波函數(shù)求 A22A 2 pp¥ æ1ö¥ æ1öA 2òA 2ò0A 21 =dx = 2dx = 2=ç÷ç÷x + b22x + b224b32b3èøèø-¥2b3pA =動能項2T = -2md 2æö212(3x2 - b2 )11¥¥ò-¥ x2 + b2 dxx + bò-¥ x2 + b222dx = -AAdxç

55、47;(x22 )3222èø2m+ b¥ 3(x2 + b2 ) - 4b22b3 éù24b2(x2 + b2 )443¥¥ò0dx = -êòò0dxúA 2 4 dx -= -(x2 + b2 )4(x2 + b2 )3mpêú2m0ëû3p5p2b3 æ2= - 4ö- 4b=23ç÷mp16b572è32bø4mb勢能項¥ x2 + b2 - b2x21¥2ò-¥ (x2 + b