正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別

1、第八講 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別一、 正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若 ,則發(fā)散。若,則可能收斂也可能發(fā)散。可按照下面的思路判別其斂散性。 (1)如果通項(xiàng)包含有n！之類的因子，或關(guān)于n的若干因子連乘形式，則用比值判別法，即，則當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。如果不易計(jì)算，或不存在，或存在為1，則適當(dāng)放大,使得，并對(duì)應(yīng)用比值判別法，如果收斂，則收斂；或者適當(dāng)縮小，使得，并對(duì)應(yīng)用比值判別法，如果發(fā)散，則發(fā)散。 (2)如果通項(xiàng)包含有n或關(guān)于n的函數(shù)為指數(shù)的因子，則用根值判別法，即，則當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。如果不易計(jì)算，或不存在，或存在為1，則適當(dāng)放大,使得，并對(duì)應(yīng)用根值判別法，如果收斂，則收斂；或者適當(dāng)縮小，使

2、得，并對(duì)應(yīng)用根值判別法，如果發(fā)散，則發(fā)散。 (3)當(dāng)不是以上情形時(shí)，尋找時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小，可利用等價(jià)無(wú)窮小的常用公式和麥克勞林展開(kāi)式，得到，等價(jià)的通項(xiàng)，兩級(jí)數(shù)應(yīng)具有相同的斂散性。所以當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散。若,常用積分判別法判別的斂散性。即與具有相同的斂散性。因此有當(dāng)或時(shí)，收斂；當(dāng)或時(shí)，發(fā)散。 例1 判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性(1) (2) .解：記，則由，知收斂。(2)記，則.因此收斂。例2判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性(1) (2) 解：(1) ,不易計(jì)算,適當(dāng)放大，由比值判別法,因此收斂。(2) ,不易計(jì)算,適當(dāng)放大，由根值判別法,因此收斂。例3判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 (1) (2) 解：此例用比值

3、法或根值法都不易得到它們的斂散性，故尋找時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小。(利用等價(jià)無(wú)窮小的常用公式和麥克勞林展開(kāi)式).(1) 記，則由等價(jià)無(wú)窮小的常用公式和麥克勞林展開(kāi)式由于發(fā)散，故發(fā)散 。(2) ，則當(dāng)時(shí)，由于收斂，故收斂。例4 根據(jù)的取值討論的斂散性解：記，令所以，從而當(dāng)時(shí),即時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。例5判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性(1) ; (2) 解：(1)由于，所以。由積分判別法，因?yàn)樗园l(fā)散，從而發(fā)散。(2) 記 ，而當(dāng)時(shí),收斂，當(dāng)時(shí),發(fā)散。故當(dāng)時(shí), 收斂；當(dāng)時(shí), 發(fā)散。二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別設(shè)是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂，若 ,則發(fā)散。若,則可能收斂也可能發(fā)散。可按照下面的思路判別其是絕對(duì)收斂或是條件收斂。(1)

4、若收斂，則絕對(duì)收斂；(2) 如果發(fā)散，且是由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值法或根值法判定的，則發(fā)散;(3) 如果發(fā)散，但不是由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值法或根值法判定的，當(dāng)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且滿足萊布尼茨條件時(shí)，條件收斂；當(dāng)不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，或雖是交錯(cuò)級(jí)數(shù)但不滿足萊布尼茨條件時(shí)，將通項(xiàng)表示成幾項(xiàng)之和，例如，于是當(dāng)絕對(duì)收斂而條件收斂，則條件收斂；當(dāng)收斂而發(fā)散，則發(fā)散。例1 判別級(jí)數(shù)的收斂性。解：記，令，,所以 ，其中因?yàn)闂l件收斂，絕對(duì)收斂，所以條件收斂。例2根據(jù)的取值討論的斂散性解：記，令，,所以有 當(dāng)時(shí), 條件收斂，而發(fā)散,所以發(fā)散；當(dāng)時(shí),條件收斂,而絕對(duì)收斂,所以條件收斂；當(dāng)時(shí), 與都絕對(duì)收斂，因此絕對(duì)收斂。故時(shí)，發(fā)散；當(dāng)時(shí), 條件

5、收斂；當(dāng)時(shí), 絕對(duì)收斂。三、 抽象級(jí)數(shù)的收斂性基本思路：(1) 收斂存在；(2) 收斂.例1 設(shè)級(jí)數(shù)收斂，且，證明：級(jí)數(shù)收斂，且。證：記兩邊令，得，由此證得級(jí)數(shù)收斂，且。注：要證明形如的級(jí)數(shù)收斂，通常要估算它的前項(xiàng)和，證明它有界或存在極限。例如：證收斂，條件是正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)增加有上界。例2 （1）當(dāng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，級(jí)數(shù)收斂時(shí)，絕對(duì)收斂；（2）當(dāng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，收斂時(shí)，絕對(duì)收斂。證：欲證絕對(duì)收斂，通常的思路是證明：，其中一個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是有界的，而另一個(gè)級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂。（1） 由級(jí)數(shù)收斂知，存在M>0，使得，于是，再由級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的條件，由比較判別法，即得絕對(duì)收斂。（2） 由收斂，記其和為A，則，從而存在M>0，使得，于是，且絕對(duì)收斂，所以絕對(duì)收斂。例3 證明：如果，則級(jí)數(shù)發(fā)散。證：當(dāng)時(shí)，可以認(rèn)為，即是正項(xiàng)級(jí)數(shù)。由題設(shè)條件,則對(duì)任意給定的，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有,即，從而發(fā)散。當(dāng)時(shí)，則,同理發(fā)散,從而也發(fā)散。四、 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑例1 求冪級(jí)數(shù)的收斂域。解：由于容易算出的收斂區(qū)間為(-1,1), 當(dāng)時(shí)，發(fā)散，當(dāng)時(shí)