對稱性在初中數學中的運用

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上對稱性在初中數學中的運用 “對稱”不僅是中學數學容中一個重要的概念，更是一種重要的思想方法。在“對稱”中往往體現出數學的“美”來。對稱性問題是一類用運動的觀點、運動的思想去研究圖形位置變化或圖形性質的數學問題，有時在代數中若能運用，就更會有獨到的效果。這類數學問題常常要運用“動”的思想去觀察、分析、推理、猜想，在運動中尋找不變的量，從而發(fā)現規(guī)律，達到解決問題的目的。 這類問題一般有兩類：一類是根據條件中的圖形運動，研究圖形在運動過程中或經過運動后的位置變化與相關性質；另一類是條件中無圖形的運動，要利用運動的思想研究其有關性質。在初中數學中，圖形的運動的基本形式有三種：

2、（1）平移（包括點的移動）；（2）圖形的翻折；（3）圖形的旋轉。無論哪種運動都有一個極為重要的基本結論：任何圖形經過運動后，其形狀、大小都保持不變，即對應邊、對應角都相等，變化的只是圖形的位置，這在解題中是潛在的重要前提。下面通過幾個例題進行簡單的分析說明“對稱性”在解題中的運用。一、初中數學解題中圖形的對稱性的靈活運用。例1、如圖1：ABC中，AB=AC,BAC=，BD平分ABC，且與AC相交于點D。 求：AD:DC的值； A D B C （圖1） 分析：讀完題目，要抓住BD平分BAC的條件，將ABD翻折過來，點A落在BC邊的點處（如圖2），這樣AD與D重合，則AD=D，問題就歸納為在DC中

3、求D：DC的問題。 A D B C 解法一：如圖2 在BC邊上截取一點，使B=BA， BD平分BAC，即ABD=DB，且BD=BDABDBDAD=D，BD=BAC= DC=BD=， 又AB=AC C=B= ,則DC= 在Rt DC中：D：DC=tgC=tg=, AD:DC= F A D B C E （如圖3） 解法二：如圖3 過D作DEBC于E，DFBA于F； BD平分BAC，DE = DF， 同解法一，BAC=，C=B= 得到FAD=， 在Rt DEC中 DE=DCsinC=DCsin=DC， 在Rt DAF中 DF=ADsinFAD=ADsin=AD DC=AD, AD:DC=說明無論是解

4、法一中作輔助線的作用在于把ABD翻折過來，還是解法二種的由對稱性導出的角平分線的性質的運用，都是應用了圖形的對稱性的翻折的性質解決問題。方法簡單便于聯想，當然還有其它方法，請讀者自己完成。例2：設x的一個二次函數的圖象過A（0，1），B（1，3），C（-1，1）三點，求這個二次函數的解析式。思路如果不仔細觀察三個點的坐標特點，設一般式求解，計算就很復雜，但通過觀察掌握了三個點的特點，利用點的“對稱”性，則達到事半功倍的效果。解A（0，1）、C（-1，1）兩點是拋物線上的兩個關于對稱軸對稱的點，所以該拋物線對稱軸為x=，結合A（0，1）是拋物線y軸的交點，即函數的一般表達式中的常數項應為1，據此

5、可設所求函數表達式為Y=a（x+ ）2+1- 將B=（1，3）代入求得a=1所求函數解析式為y=x2+x+1例3：O的接四邊形ABCD的對角線ACBD于P，又OEAB于E，求證CD=2OE 思路如何將看似聯系不緊密的OE、CD拉到一起？或者說如何構造2AE？這里應用“對稱”效果就很好。證明如圖，以O為中心作A關于O的對稱點A，則AA為直徑，連AB、AC，則ACAC，又BDAC，故ACBD.所以CD=AB.另易知AB=2OE，從而CD=2OE。例4：ABC中，C=2B，求證：AB2=AC2+ACBC。思路待證式中出現平方，聯想到直角三角形，作ADBC，有勾股定理推知，只要證BD2=CD2+ACB

6、C，移項后整理知，只要證BD-CD=AC。證明如圖，作ADBC，以D為中心作C關于D的對稱點C，則有AC=AC,故C=ACC，又C=2B，ACC=B+BAC，于是B=BAC，故BC=AC=AC此時BD-CD=BD-CD=BC=ACBC（BD-CD）=ACBC（BD+CD）（BD-CD）=ACBCBD2=CD2+ACBCAD2+BD2=AD2+CD2+ACBCAB2=AC2+ACBC命題得證。例5：已知銳角AOB，P點位于角的部，試在角的兩邊上各確定一點M、N，使PMN的周長最小。思路將三條線圍成的封閉折線打開，結合兩點間以線段最短的性質加以研究。解如圖，作P點關于AO的對稱點P；再作P點關于B

7、O的對稱點P，由對稱性易知：PM=PM，PN=P”N，此時PM+MN+PN= PM+MN+ P”N。欲使周長最小，M、N應在PP”上，取M、N點為PP、與AO與BO的交點，此時PMN的周長最小。例6：已知平行四邊形ABCD中，BC=，AC=3+，AB=2，將平行四邊形折疊，使A點與C點重合，求折痕的長度。思路首先要找出折痕位置，根據A與C重合的折疊要求，我們知道折痕為AC的中垂線。解如圖，過對角線交點O作EFAC分別交AB、CD于E、F，再作CGAB交AB延長線于G，設CG=x，在RtAGC中有（3+）2=x2+（2+）BD2整理得：4x2=12+6 2x= 2x=3+ 即x=所以CAG=30

8、，在RtOAE中，OE=OAtg30=于是EF=2OE=1+。下面的三個題留作思考題，請讀者朋友思考：1、如圖，長方形紙片ABCD中，AD9，AB=3，將其折疊，使其點D與點B重合，點C至點C/，折痕為EF求BEF的面積2、已知O的半徑為5，兩條平行弦長分別為6和8，則兩條平行弦間的距離是 _。3、矩形ABCD中，AB=5，BC=12，將對角線BD繞點B旋轉，點D落在BC的延長線上的點處，那么tgBA的值等于 。二、初中數學題型的設計中對稱變換法的運用。加強初中數學思想和方法的訓練應該落實到平時的教學中，總復習時應注重雙基、注重數學思想方法培養(yǎng)的基礎上，能力的培養(yǎng)也必不可少。當然能力的培養(yǎng)是多

9、方面的，這里主要是談談如何在題型的設計中，體現對稱變化法，使數學的復習更加有效，達到舉一反三、事半功倍的效果。例1、如圖ABC中，D為BC中點，E為AD中點，連BE延長交AC于F，求AF：FC的值； A F E G B D C 分析：1、要解決這個問題，方法多種。一般地只要過點作相應的平行線，構造“A”字型或“X”字型，通過三角形全等，得到AF=DG,把AF：FC的問題轉化為DG：FC=BD:BC=1:2即可。2、學會對稱變換。在ADC中，由AD中點E，就可“對稱”的聯想到AC中點時，問題得到了變式轉化為：如下圖在ABC中，D為BC中點，F為AC中點，連結BF交AD于E，求AE：ED的值；過F點作FGAD交BC于G，過程請讀者思考后自己完成。 A E F B D G C例2、如圖：G是RtABC斜邊AB上任意一點，GDAB于G，交BC的延長線于D，交AC于F，以AB為直徑的半圓交GD于E，求證; D E C F A G B 分析：1、 要解決本題方法多種，利用基本的三角形的相似即可。如AFGBDG，得到 =，再連接AE、BE