多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用復(fù)習(xí)題及解答

1、多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用復(fù)習(xí)題及解答、選擇題2，一一x yi.極限 lim( b) x0 xyy P(A)等于0;(B)不存在；(C) 等于 -;(D)存在且不等于0或122(提示：令y =k2x2 )2、設(shè)函數(shù)11xsin- ysin - f(x,y) = y x0xy "0 ,則極限 lim f (x,y) =x_0xy = 0y )0(A)不存在；(B)等于1；(C)等于0； (D)等于2(提示：有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小)xy3、設(shè)函數(shù) f (x,y) = x2 y20(A)處處連續(xù)；(C)僅在(0,0)點(diǎn)連續(xù)；22 cx y : 0 ,則 f(x, y)22x y =

2、0(B)處處有極限，但不連續(xù)；(D)除(0,0)點(diǎn)外處處連續(xù)(提示：在x2 +y2 00 ,f (x, y)處處連續(xù)；在 xt。，丫7 0,令丫 =卜*,kx2kxlimTim -0 = f (0,0)* x2 k2x2x)0、,1 k2. 一. 22，故在x +y =0 ,函數(shù)亦連續(xù)。所以,f(x,y)在整個(gè)定義域內(nèi)處處連續(xù)。)4、函數(shù)z= f (x, y)在點(diǎn)(x0,y0)處具有偏導(dǎo)數(shù)是它在該點(diǎn)存在全微分的(A )(A)必要而非充分條件；(C)充分必要條件；yu5、設(shè) u = arctan，貝U = x改(B)充分而非必要條件；(D)既非充分又非必要條件(A)(B)(C)(D) x2y26

3、、設(shè) f (x, y) = arcsin-,則 fx(2,1) = x1(B)；4：,z二 z7、右 z = ln( Jx Jy),則 x + y- =；x；:y(C)1(D)2(A)尿 +Jy；(B) Jx-/y ；(D)x8、設(shè) z = arctan 一 , y/“、 u-v(A) u - vx=u+v, y=uv,則zuzv 二(C)u - v22u v9、若 f (x,2x) = x2一 ' 一、 一 一，+ 3x, fx (x,2x) = 6x +1,則 fy(x,2x) =3(A) x+；2(B) x2(C) 2x+1;(D) -2x 1:z.:z10、設(shè) z = yx,則

4、(一 一):y(2,1)(A) 2 ；(B) 1+ln2 ;(C) 0 ；(D) 111、設(shè)函數(shù)z = 1 Jx2 + y2 ,則點(diǎn)(0,0)是函數(shù) z的(A)極大值點(diǎn)但非最大值點(diǎn);(B)極大值點(diǎn)且是最大值點(diǎn);(C)極小值點(diǎn)但非最小值點(diǎn);(D)極小值點(diǎn)且是最小值點(diǎn)。12、設(shè)函數(shù)z = f (x, y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在 P0(x0,y。)處，有fx(F0) =0, fy(R) = 0, fxx(P°)= fyy(P0)=0, fxy(P0) = fyx(P0)=2,則(A )點(diǎn)P0是函數(shù)z的極大值點(diǎn);(B)點(diǎn)P0是函數(shù)z的極小值點(diǎn);(C)點(diǎn)P0非函數(shù)z的極值點(diǎn);(D)條件不夠，無(wú)

5、法判定。、填空題sin( xy)1、極限 lim0-” x2、極限y >1x2ln( y e )。答：ln23、函數(shù)z = Jln(x + y)的定義域?yàn)?。答：x + y之14、函數(shù)z = arCSinx的定義域?yàn)?。答：iwxwl, y#0y。答：k2 f (x, y)5、設(shè)函數(shù) f (x, y) = x2 + y2 + xy lnI，則 f (kx, ky)=226、設(shè)函數(shù) f (x,y) = xy-,則 f(x +y,x y)= 。答：x -y22j)2x。答：3cos5x y2x(x y)(x-y)(,f (x y, x - y)=(x y) (x-y)x -2yz7、設(shè) z =

6、sin(3x - y) + y ,則一 fx-2(v )z8、函數(shù)z = z(x, y)由方程x + y + z = e"所確te,則 2=09、設(shè)x_1O答：一y-2 u u = xln xy ,則xcy_2_ 29、函數(shù) z = 2x -3y 4x6y1 的駐點(diǎn)是。答：(1, 1)二、計(jì)算題1、求下列二元函數(shù)的定義域，并繪出定義域的圖形(1) z=_1x2y2(2)z = ln(x y)1，,、(3) z = (4)z = ln(xy -1)ln(x y)解：(1)要使函數(shù)z = Ji -x2 y2有意義，必須有1 x2 y2之0,即有x2+ y2 W1.故所求函數(shù)的定義域?yàn)?D

7、 =( x, y) | x2 + y2 M1,圖形為圖3.1(2)要使函數(shù)z = ln(x+y)有意義，必須有x+y>0.故所有函數(shù)的定義域?yàn)镈 =(x, y)|x + y >01，圖形為圖 3.21(3)要使函數(shù)z =有意義，必須有l(wèi)n(x + y) =0 ,即x + y a 0且x + y # 1.ln( x y)故該函數(shù)的定義域?yàn)镈 =(x, y) |x+y A0, x + y*1,圖形為圖 3.3 要使函數(shù)z = ln( xy 1)有意義，必須有 xy -1 > 0.故該函數(shù)的定義域?yàn)镈 =( x, y) | xy >1,圖形為圖 3.4圖3.3圖3.2圖3.4

8、2、求極限ximjyoxxye4- J6 xyx xye 解：limx 24 -，16 xyy )0xyex (416 xy)=limx -xyy 30=-82xyz - 121 一 xy2Z »3、設(shè)函數(shù)z = z(x, y)由萬(wàn)程xy z = x + y + z所確定，求一。答: 二 yLL xz 二 z4、設(shè) z = y ln(xy),求丁，丁。 二 x 二 yx1 x解：zx = y ln y ln xy - y x四、應(yīng)用題O1、某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲和乙，出售單價(jià)分別為10元與9元，生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品甲與生產(chǎn)y單位的產(chǎn)品乙的總費(fèi)用是22、400 + 2x+3y + 0.01(

9、3x +xy+3y )兀,求取得最大利潤(rùn)時(shí)，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少?解：L(x, y)表示獲得的總利潤(rùn)，則總利潤(rùn)等于總收益與總費(fèi)用之差，即有利潤(rùn)目標(biāo)函數(shù) L(x,y) =(10x 9y) 一400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2)一 一 一-，-2-2、 一 -、=8x+6y-0.01(3x +xy+3y ) -400,(x > 0, y > 0),Lx =80.01(6x + y) =0,解得唯一駐點(diǎn)(120, 80).Ly =60.01(x+6y) =0又因 a = l妻= 0.06 <0,B = L： =0.01,C = L： =0.06,得xxxyyyAC

10、 - B2 =3.5 10，0.得極大值L(120,80) =320 .根據(jù)實(shí)際情況，此極大值就是最大值.故生產(chǎn) 120單位產(chǎn)品甲與80單位產(chǎn)品乙時(shí)所得利潤(rùn)最大320元.五、證明題_(1 .1).1、設(shè)2=3 x y 求證 x2Z + y2Z=2zex 二 y、門；z1泣1證明： 因?yàn)?=ey，亍 =ey，-：xx22 yy2所以二二，1)J 1)x2 " y2 = e x y -e x y =2z:xFy2 ,設(shè) 2sin(x+2y-3z )=x+2y3z.證明口口 =1:x ：:y證明：設(shè) Flx.y.z-sinay-3z)-x-2y+3z.貝U Fx=2cos(x 2y-3z)-1 Fy =2cos(x 2y-3z)2-2=2Fx Fz=2cos(x 2y-3z) (-3) 33Fx:z =_Fx= Fx =1iz= Fy=僅Fz -3Fx 3：:y Fz2Fx 2-3Fx 3；zFzFxFz1