用高三導數(shù)經(jīng)典第一輪復習

1、高三導數(shù)復習 導數(shù)概念與運算知識清單1導數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數(shù)y相應地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函數(shù)y=f（x）在x到x+之間的平均變化率，即=。如果當時，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點x處可導，并把這個極限叫做f（x）在點x處的導數(shù)，記作f（x）或y|。即f（x）=。說明：（1）函數(shù)f（x）在點x處可導，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在點x處不可導，或說無導數(shù)。（2）是自變量x在x處的改變量，時，而是函數(shù)值的改變量，可以是零。由導數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f（x）在點x處的導數(shù)的步驟（可由學生來歸納）：（1）求函數(shù)的增量=f（x+

2、）f（x）；（2）求平均變化率=；（3）取極限，得導數(shù)f(x)=。2導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f（x）在點x處的導數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率是f（x）。相應地，切線方程為yy=f/（x）（xx）。3幾種常見函數(shù)的導數(shù): ; ; ; .4兩個函數(shù)的和、差、積的求導法則法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差)，即： (法則2：兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)，即：若C為常數(shù),則.即常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的

3、導數(shù)：法則3：兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)與分母的積，減去分母的導數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函數(shù)稱為復合函數(shù)。復合函數(shù)求導步驟：分解求導回代。法則：y|= y|·u|導數(shù)應用知識清單1 單調(diào)區(qū)間：一般地，設函數(shù)在某個區(qū)間可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)；2極點與極值：曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數(shù)為0；曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負；曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負，右側(cè)為正；3最值：一般地，在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f在a，b上必有最大值與最小值。求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；求函數(shù)在區(qū)

4、間端點的值(a)、(b)；將函數(shù)的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定積分（1）概念：設函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點ax0<x1<<xi1<xi<xnb把區(qū)間a，b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi1，xi上取任一點i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x為小區(qū)間長度），把n即x0時，和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作：，即(i)x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式?；镜姆e分公式：C；C（mQ，

5、 m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均為常數(shù)）。（2）定積分的性質(zhì)（k為常數(shù)）；（其中acb。（3）定積分求曲邊梯形面積由三條直線xa，xb（a<b），x軸及一條曲線yf（x）(f(x)0)圍成的曲邊梯的面積。如果圖形由曲線y1f1(x)，y2f2(x)（不妨設f1(x)f2(x)0），及直線xa，xb（a<b）圍成，那么所求圖形的面積SS曲邊梯形AMNBS曲邊梯形DMNC。考點1:導數(shù)的概念對概念的要求：了解導數(shù)概念的實際背景，掌握導數(shù)在一點處的定義和導數(shù)的幾何意義，理解導函數(shù)的概念. 【問題1】例1.是的導函數(shù)，則的值是演練例2.設函數(shù),集合M=,P=,

6、若MP,則實數(shù)a的取值范圍是考點2:曲線的切線（1）關(guān)于曲線在某一點的切線求曲線y=f(x)在某一點P（x,y）的切線，即求出函數(shù)y=f(x)在P點的導數(shù)就是曲線在該點的切線的斜率.（2）關(guān)于兩曲線的公切線 若一直線同時與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.【問題2】(1)曲線和y=x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積是.（2）已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個極值點（I）求的最大值；（II）當時，設函數(shù)在點處的切線為，若在點處穿過函數(shù)的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經(jīng)過點時，從的一側(cè)進入另一側(cè)），求函數(shù)的表達式演練1若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為 .演練2過坐標原點且與x

7、2+y2 -4x+2y+=0相切的直線的方程為 .演練3過點（1，0）作拋物線y=x2+x+1的切線，則切線的方程為 .演練4.已知兩拋物線, 取何值時，有且只有一條公切線，求出此時公切線的方程.演練5已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，其中設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）考點3：導數(shù)的應用中學階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導函數(shù)，導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有力的工具，特別是對于函數(shù)的單調(diào)性，以“導數(shù)”為工具，能對其進行全面的分析，為我們解決求函數(shù)的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結(jié)合起來，極大

8、地豐富了中學數(shù)學思想方法.復習時，應高度重視以下問題:1. 求函數(shù)的解析式； 2. 求函數(shù)的值域；3.解決單調(diào)性問題；4.求函數(shù)的極值（最值）；5.構(gòu)造函數(shù)證明不等式?！締栴}3】函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點 個.yxO12-13演練1對于R上可導的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x1) f ¢(x)³0，則必有f(0)f(2)- 2f(1) 0.演練2函數(shù)y= f(x)在定義域內(nèi)可導，其圖象如圖所示記y= f(x)的導函數(shù)為y= f¢(x)，則不等式f¢(x)0的解集為 .【問題4】設函數(shù)在及時取得極值（）求a、b

9、的值； （）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍演練1已知函數(shù)在點處取得極大值，其導函數(shù)的圖象經(jīng)過點，如圖所示.求： （）的值； （）的值.演練2函數(shù)的值域是_.【問題5】設函數(shù)f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.考點4：導數(shù)的實際應用建立函數(shù)模型,利用【問題9】用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？變式統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米.（I）當汽車以

10、40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？【專題訓練與高考預測】1設f(x)= x|x|, 則f(0)=.2函數(shù)在閉區(qū)間-3，0上的最大值、最小值分別是 .3函數(shù)的零點所在的區(qū)間是 .4函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是5曲線在點處的切線方程是6.f(x)=ax3+3x2+2，f(-1)=4，則a=7.過拋物線y=x2上的點M（）的切線的傾斜角是8.函數(shù)f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）內(nèi)有極小值，則實數(shù)b的取值范圍是 .9.函數(shù)y=x3-3x+3在上的最小值是10、若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)

11、=0為函數(shù)的極值，則 .11、已知函數(shù)y=2x3+ax2+36x-24在x=2處有極值，則該函數(shù)的遞增區(qū)間是 .12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的實數(shù)解的集合中有個元素.13.若f(x0)=2,_.14.設f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),則f(0)=_.15.函數(shù)f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)的單調(diào)區(qū)間_.16.在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當?shù)走吷细邽開時它的面積最大.17.已知曲線C：y=x33x2+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(x0,y0)(x00)，求直線l的方程及切點坐標.18.設x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx

12、2+x的兩個極值點.(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)試判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值，并說明理由.Key: 導數(shù)復習 考點1:導數(shù)的概念對概念的要求：了解導數(shù)概念的實際背景，掌握導數(shù)在一點處的定義和導數(shù)的幾何意義，理解導函數(shù)的概念. 【問題1】是的導函數(shù)，則的值是考查目的 本題主要考查函數(shù)的導數(shù)和計算等基礎知識和能力.解答過程 故填3.演練例2. ( 2006年湖南卷）設函數(shù),集合M=,P=,若MP,則實數(shù)a的取值范圍是 考查目的本題主要考查函數(shù)的導數(shù)和集合等基礎知識的應用能力.解答過程由綜上可得MP時,考點2:曲線的切線（1）關(guān)于曲線在某一點的切線求曲線y=f(x)在某

13、一點P（x,y）的切線，即求出函數(shù)y=f(x)在P點的導數(shù)就是曲線在該點的切線的斜率.（2）關(guān)于兩曲線的公切線 若一直線同時與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.【問題2】(1)曲線和y=x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積是.解析：曲線和y=x2在它們的交點坐標是(1，1)，兩條切線方程分別是y=x+2和y=2x1，它們與x軸所圍成的三角形的面積是.（2）已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個極值點（I）求的最大值；（II）當時，設函數(shù)在點處的切線為，若在點處穿過函數(shù)的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經(jīng)過點時，從的一側(cè)進入另一側(cè)），求函數(shù)的表達式思路啟迪：用求導來求得切線斜率.解答過程

14、：（I）因為函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個極值點，所以在，內(nèi)分別有一個實根，設兩實根為（），則，且于是，且當，即，時等號成立故的最大值是16（II）解法一：由知在點處的切線的方程是，即，因為切線在點處空過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，則不是的極值點而，且若，則和都是的極值點所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，于是存在（）當時，當時，；或當時，當時，設，則當時，當時，；或當時，當時，由知是的一個極值點，則，所以，又由，得，故演練1若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為 . 考查目的本題主要考查函數(shù)的導數(shù)和直線方程等基礎知識的應用能力.解答

15、過程與直線垂直的直線為，即在某一點的導數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導數(shù)為4，此點的切線為.演練2過坐標原點且與x2+y2 -4x+2y+=0相切的直線的方程為 .Key: y=-3x或y=x考查目的本題主要考查函數(shù)的導數(shù)和圓的方程、直線方程等基礎知識的應用能力. 解答過程解法1：設切線的方程為又解法2:由解法1知切點坐標為由演練3過點（1，0）作拋物線y=x2+x+1的切線，則切線的方程為 .解：y¢=2x+1，設切點坐標為(x0,y0)，則切線的斜率為2x0+1，且y0=x02+x0+1, 于是切線方程為y-(x02+x0+1)=(2x0+1)(x-x0)，因為點（1，0）在切線

16、上，可解得x00或2，切線的方程為x-y+1=0；3x+y+3=0演練4.已知兩拋物線, 取何值時，有且只有一條公切線，求出此時公切線的方程.思路啟迪：先對求導數(shù).解答過程：函數(shù)的導數(shù)為，曲線在點P()處的切線方程為， 即曲線在點Q的切線方程是即若直線是過點P點和Q點的公切線，則式和式都是的方程，故得，消去得方程，若=，即時，解得，此時點P、Q重合.當時，和有且只有一條公切線，由式得公切線方程為.演練5已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，其中設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）考查目的本小題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解

17、決問題的能力解：（）設與在公共點處的切線相同，由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則于是當，即時，；當，即時，故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為（）設，則故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是故當時，有，即當時，考點3：導數(shù)的應用中學階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導函數(shù)，導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有力的工具，特別是對于函數(shù)的單調(diào)性，以“導數(shù)”為工具，能對其進行全面的分析，為我們解決求函數(shù)的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結(jié)合起來，極大地豐富了中學數(shù)學思想方法.復習時，應高度重視以下問題:1. 求函數(shù)的解析式； 2. 求函數(shù)

18、的值域；3.解決單調(diào)性問題；4.求函數(shù)的極值（最值）；5.構(gòu)造函數(shù)證明不等式?！締栴}3】函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點 個.Key:1個考查目的本題主要考查函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)圖象性質(zhì)等基礎知識的應用能力.解答過程由圖象可見,在區(qū)間內(nèi)的圖象上有一個極小值點. 有兩個極大值點.演練1對于R上可導的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x1) f ¢(x)³0，則必有f(0)f(2)- 2f(1) 0. Key:³A.f(0)f(2)<2f(1) B. f(0)f(2) £2f(1) C. D. f(0)f(2) >2

19、f(1)解：依題意，當x³1時，f ¢(x)³0，函數(shù)f(x)在（1，¥）上是增函數(shù)；當x<1時，f ¢(x)£0，f(x)在（¥，1）上是減函數(shù)，故f(x)當x1時取得最小值，即有f(0)³f(1)，f(2)³f(1). yxO12-13演練2函數(shù)y= f(x)在定義域內(nèi)可導，其圖象如圖所示記y= f(x)的導函數(shù)為y= f¢(x)，則不等式f¢(x)0的解集為 .Key:【問題4】設函數(shù)在及時取得極值（）求a、b的值； （）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍思路啟迪：利用

20、函數(shù)在及時取得極值構(gòu)造方程組求a、b的值解答過程：（），因為函數(shù)在及取得極值，則有，即解得，（）由（）可知， 當時，； 當時，； 當時，所以，當時，取得極大值，又，則當時，的最大值為因為對于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范圍為演練1已知函數(shù)在點處取得極大值，其導函數(shù)的圖象經(jīng)過點，如圖所示.求： （）的值； （）的值.考查目的本小題考查了函數(shù)的導數(shù),函數(shù)的極值的判定,閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值, 函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等基礎知識的綜合應用,考查了應用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想分析問題解決問題的能力解答過程解法一：（）由圖像可知，在上，在上，在上,故在上遞增，在上遞減，因此在處取得極大值，所以（）由得解

21、得解法二：（）同解法一（）設又所以,由即得所以演練2函數(shù)的值域是_.思路啟迪：求函數(shù)的值域，是中學數(shù)學中的難點，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解，也可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值。此例的形式結(jié)構(gòu)較為復雜，采用導數(shù)法求解較為容易。解答過程：由得，即函數(shù)的定義域為.，又，當時，函數(shù)在上是增函數(shù)，而，的值域是.【問題5】設函數(shù)f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.考查目的本題考查了函數(shù)的導數(shù)求法,函數(shù)的極值的判定,考查了應用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想分析問題解決問題的能力解答過程由已知得函數(shù)的定義域為，且（1）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減， （2）當時，由解得、隨

22、的變化情況如下表0+極小值從上表可知當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減. 當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.考點4：導數(shù)的實際應用建立函數(shù)模型,利用【問題9】用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？考查目的本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)及其應用等基本知識，考查運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力.解答過程設長方體的寬為x（m），則長為2x(m)，高為.故長方體的體積為從而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.當0x1時，V（x）0

23、；當1x時，V（x）0，故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個極大值就是V（x）的最大值。從而最大體積VV（x）9×12-6×13（m3），此時長方體的長為2 m，高為1.5 m.答：當長方體的長為2 m時，寬為1 m，高為1.5 m時，體積最大，最大體積為3 m3。變式統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米.（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？考查目的本小題主要考查函

24、數(shù)、導數(shù)及其應用等基本知識，考查運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力.解答過程（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，要耗沒（升）.答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。（II）當速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為升，依題意得令得當時，是減函數(shù)；當時，是增函數(shù).當時，取到極小值因為在上只有一個極值，所以它是最小值.答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.PEDFBCA【問題10】如圖所示，等腰的底邊，高，點是線段上異于點的動點，點在邊上，且，現(xiàn)沿將折起到的位置，使，記，表示四棱錐的體積（1）

25、求的表達式； （2）當為何值時，取得最大值？ 分析：（1）由折起的過程可知，PE平面ABC，V(x)=（）（2），所以時， ，V(x)單調(diào)遞增；時 ，V(x)單調(diào)遞減；因此x=6時，V(x)取得最大值；【專題訓練與高考預測】1設f(x)= x|x|, 則f(0)=.Key:0 解析：f(0)=02函數(shù)在閉區(qū)間-3，0上的最大值、最小值分別是 .Key: 3，-17 解析：由=0，得， 當時，>0，當時，<0，當時，>0，故的極小值、極大值分別為， 而故函數(shù)在-3，0上的最大值、最小值分別是3、-17。3函數(shù)的零點所在的區(qū)間是 . Key: 解析：0;f(x)在（0，+）上是增

26、函數(shù)，f()=-20,f(1)=e-10, 零點所在的區(qū)間是.4函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是Key: 解析：單調(diào)遞增區(qū)間是5曲線在點處的切線方程是Key:解析：，切線的斜率為k=-5,切線方程是。6.f(x)=ax3+3x2+2，f(-1)=4，則a=Key:7.過拋物線y=x2上的點M（）的切線的傾斜角是Key:4508.函數(shù)f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）內(nèi)有極小值，則實數(shù)b的取值范圍是 .Key:（0，）9.函數(shù)y=x3-3x+3在上的最小值是Key:110、若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0為函數(shù)的極值，則 .Key:b=c=011、已知函數(shù)y=2x3+ax2+36x-24在x=2處有極值，則該函數(shù)的遞增區(qū)間是 . Key:（-，2）,（3，+）12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的實數(shù)解的集合中有個元素.Key:至多有1個元素13.若f(x0)=2,_.Key:解析：根據(jù)導數(shù)的定義：f(x0)=(這時)答案：114.設f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),則f(0)=_.Key:解析：設g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),則f(x)=xg(x),于是f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)+