考研數(shù)學(xué)真題數(shù)一2011數(shù)一真題解析

1、無憂-您身邊的輔導(dǎo)！2011 年入學(xué)統(tǒng)一試題一、選擇題：18 小題，每小題 4 分，共 32 分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指(1)【】(C)置上= x -1, y¢ = 1, y¢¢= 0 ， y = (x - 2)2, y¢ = 2(x - 2), y【】記 y11122y = (x - 3)3, y¢ = 3(x - 3)2, y¢¢= 6(x -333y = (x - 4)4, y¢ = 4(x - 4)3, y¢¢=12444y&#

2、162;¢ = (x - 3)P(x) ，其中 P(3) ¹ 0 ， y¢¢故選(C)(2)【】(C)x=3 = 0 ，在 x = 3 兩側(cè)，導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化，【】觀察選項(xiàng)：(A)，(B)，(C)，(D)四個(gè)選項(xiàng)的收斂半徑均為 1，冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的中心在 x = 1處，故(A)，(B)錯(cuò)誤；因?yàn)閍n 單調(diào)減少， lim an= 0 ，所以an ³ 0 ，所以，故原冪級(jí)數(shù)在 x = 2n®¥¥¥nå an 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，將 x = 2 代入冪級(jí)數(shù)得å an ，而已知Sn= å akn

3、=1n=1k =1¥å處發(fā)散，(D)不正確當(dāng) x = 0 時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)(-判別法收斂，故 x = 01) a 滿足nnn=1¥時(shí)å(-1)n a 收斂故正確為(C)nn=1(3)【】(A)¶z】|= f ¢(x) × ln f ( y) |= f【,(0,0)(0,0)¶xf ¢( y) |¶z |= f ¢(0) = 0, 故 f ¢(0) = 0 ,= f (x) ×(0,0)(0,0)¶yf ( y)A = ¶ z2¢= f (x

4、) × ln f ( y)|(0,0)¶x2f ¢( y)¶2 z¢B = ¶x¶y |(0,0) =f (x) ×|f ( y) (0,0)¶2 zC = ¶y2|(0,0) =f (x) ×又 AC - B2 = f ¢¢(0)2 × ln f (0) > 0, 故 f (0) > 1, f ¢¢(0) > 0 (4)【】(B)】因?yàn)? < x < p 時(shí)， 0 < sin4【，第 1 頁 共 1

5、1 頁唯一2000人學(xué)子備考】無憂-您身邊的輔導(dǎo)！又因ln x 是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以lnsin故正確(5)【為(B)】 (D)【】由于將 A 的第 2 列加到第 1æ 1矩陣 B ，故0 ö010Aç 10 ÷ = B ，ç÷ç 01 ÷èø即 AP = B ， A = BP-1 11由于交換 B 的第 2 行和第 3 行得æ 1矩陣，故00 öç 001 ÷ B = E ，ç÷ç 00 ÷1èø

6、;即 P B = E, 故 B = P-1 = P 因此， A = P P-1 ，故選(D)2222 1(6)【】(D)【】由于(1, 0,1, 0)T 是方程組 Ax = 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，所以 A(1, 0,1, 0)T = 0 ，且r(A) = 4 -1= 3 ，即 a + a = 0A = 0 由此可得 A* A =| A | E = O ，即 ，且 13a a,a, a, = )O ，這說明a ,a ,a ,a 是 A*x = 0 的解*A (12341234由于r( A) = 3 ，a + a = 0 ，所以a ,a ,a 線性無關(guān)又由于r( A) = 3 ，所以r( A*) =

7、 1，13234因此 A*x = 0 的基礎(chǔ)解系中含有 4 -1 = 3 個(gè)線性無關(guān)的解向量而a ,a ,a 線性無關(guān)，且234為 A*x = 0 的解，所以a ,a ,a 可作為 A*x = 0 的基礎(chǔ)解系，故選(D)234(7)【】(D)【】選項(xiàng)(D)+¥ é f(x)F (x) + f (x)F (x)ùdx = +¥ éF (x)dF (x) + F (x)dFòòë1ûë122211-¥-¥+¥ò-¥=d F (x)F (x)ù

8、; = F (x)F (x) |= 1 é+¥ë2û12-¥1所以 f1F2 (x) + f2 F1 (x) 為概率密度(8)【】(B)X ³ Y ,U = maxX ,Y = ì X ,= minX ,Y = ì Y ,XXVíí【】因?yàn)?#238;Y , X < Y ,î X ,所以，UV = XY ，于是 E(UV ) = E(XY ) = E(X )E(Y ) 第 2 頁 共 11 頁唯一2000人學(xué)子備考】無憂-您身邊的輔導(dǎo)！二、填空題：914 小題，每小題 4 分，共

9、 24 分，請(qǐng)將(9)【】ln (1+2 )寫在答題紙指置上1+ ( y¢)2 dx =ds =1+【】選取 x 為參數(shù)，則弧pp40ò所以 s =sec xd40(10)【】 y = e-x sin x 【】由通解公式得y = e-òdx (ò e-x cos x × eòdxdx + C)= e-x (òcos xdx + C)= e-x (sin x + C)由于 y(0) = 0, 故C =0所以 y = e-x sin x (11)【】4¶Fsin xy【】=× y ，¶x1+ (xy

10、)2¶2Fy cos xy - sin xy × 2xy2= y ×，¶x21+ (xy)2 2¶2F|(0,2) = 4 故¶x2(12)【】p 【】取 S : x + y - z = 0, x2 + y2 £ 1，取上側(cè)，則由公式得，dydz¶¶xdzdx¶¶ydxdy¶¶z y22原式= òòS= òò ydSxzx因 z = x + y, z'= 1, z'= 1. 由轉(zhuǎn)換投影法得xyò

11、42; ydydz + xdzdx + dxdy =S第 3 頁 共 11 頁唯一2000人學(xué)子備考】無憂-您身邊的輔導(dǎo)！òòx2 + y2 £1=(-x - y +1)dxdy = pòòx2 + y2 £1dxdy = p =(13)【】a = 1【】由于二次型通過正交變換所得到的標(biāo)準(zhǔn)形前面的系數(shù)為二次型對(duì)應(yīng)矩陣 A 的特征值，故 A 的特征值為 0，1，4二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣æ 11öaA = ç a31÷ ，ç÷ç 11÷1èø1

12、a3111 = 0 Þ a = 113A = Õli = 0 ，故 a由于i=11(14)【】 m (m2 + s 2 ) 】根據(jù)題意，二維隨量( X ,Y ) 服從 N (m, m;s 2 ,s 2 ;0) 因?yàn)?r= 0 ，所xy【，所以 X ,Y 2 從而有以由二維正態(tài)分布的性質(zhì)知隨量 X ,YE ( XY 2 ) = E ( X ) E (Y 2三、解答題：1523 小題，共 94 分請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(15)(本題滿分 10 分) 1 ex -1lim ln(1+ x) -1 1 ln(1+ x)= ex®

13、;0 xex -1【】limxx®0x- 1 x2 +o( x2 )-x2lim ln(1+ x)-xlim= ex®0= ex®0x2x2- 1 x2 +o( x2 )- 12 lim 2= ex®0x2= e(16)(本題滿分 9 分)f xy, yg(x)】 z =【¶z =f ¢xy, yg(x)× y + f ¢xy, y¶x12第 4 頁 共 11 頁唯一2000人學(xué)子備考】無憂-您身邊的輔導(dǎo)！¶2 zf ¢xy, yg(x)+=¶x¶y1+g¢

14、;(x) × f2¢xy, yg(x)因?yàn)?g(x) 在 x = 1 可導(dǎo)，且為極值,所以 g¢(1) = 0 ，則d 2 z¢¢¢|= f1 (1,1) + f11 (1,1) + f12 (1x=1dxdy y=1(17)(本題滿分 10 分)【】顯然 x = 0 為方程一個(gè)實(shí)根x當(dāng) x ¹ 0 時(shí)，令 f ( x) =- k,arctan xarctan2f ¢( x) =( arctan x)2令 g (Î R ，1+ xg¢(= (，+ x 2 )2g¢( x) > 0

15、 即 x Î R,又因?yàn)?g ( 0) = 0 ，即當(dāng) x < 0 時(shí)， g ( x) < 0 ； 當(dāng) x > 0 時(shí)， g ( x) > 0 當(dāng) x < 0 時(shí)， f '( x) < 0 ；當(dāng) x > 0 時(shí)， f '( x) > 0 所以當(dāng) x < 0 時(shí)， f ( x) 單調(diào)遞減，當(dāng) x > 0 時(shí)， f ( x) 單調(diào)遞增x又由lim f ( x) = lim- k = 1- k ，x®0 arctan xx®0xlim f ( x) = lim- k = +¥ ，x&#

16、174;¥ arctan xx®¥f ( x) 在(-¥, 0)， (0, +¥) 內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)；所以當(dāng)1- k < 0 時(shí)，由零點(diǎn)定理可知f ( x) 在(-¥, 0)， (0, +¥) 內(nèi)均無零點(diǎn)當(dāng)1- k ³ 0 時(shí)，則綜上所述，當(dāng)k > 1時(shí)，原方程有三個(gè)根當(dāng)k £ 1 時(shí)，原方程有一個(gè)根第 5 頁 共 11 頁唯一2000人學(xué)子備考】無憂-您身邊的輔導(dǎo)！(18)(本題滿分 10 分)Î é0, 1 ùf (【】()設(shè)êën 

17、0;û顯然 f (x) 在é0, 1 ù 上滿足日的條件，êën úûf æ 1 ö - f (0) = ln æ1+ç n ÷çèøèæ1 ö所以x Î 0,時(shí)，çn ÷èø11111111111 ×<×<×，即：<n +×<，1+ x n11+ x nn1+ 0 nn1+n1æ1 ö

18、;1< ln 1+<亦即：çn ÷n +1èøn結(jié)論得證111n1+- ln n = å（II）設(shè)an = 1+23nk =1 k先證數(shù)列an 單調(diào)遞減é1n+1åa- a =- l，ên+1nkë k =11< ln(1+ 1) ，所以n1æ1 ö- ln 1+< 0 得到 a< a ，即利用（I）的結(jié)論可以得到çn ÷n+1nn +1n +1èø數(shù)列an 單調(diào)遞減再證數(shù)列an 有下界n1knæ1 

19、46;åk =1åan =- ln n >ln 1+- l，ç÷èkøk =1næ1 önæ kåçÕçln 1+=ln，÷èkøk =1 èk =1n1knæåk =1åçan =- ln n >lnèk =1第 6 頁 共 11 頁唯一2000人學(xué)子備考】無憂-您身邊的輔導(dǎo)！得到數(shù)列an 有下界利用單調(diào)遞減數(shù)列且有下界得到an 收斂(19)(本題滿分 11 分)

20、1111òòòò】 I =xdxyf (x, y)dy =xdxydf (x, y)''【xyx0000ùúû10)f (x,1) = 0 ，所以 f ' (x,1) = 0 因?yàn)閤1I = -xdxfx (x, y)dy =-dyxf (x, y)dx111òòòò''x0000= -dy éxf (x, y) |1 -f (x, y)dxù = -dy é f (1, y) -1111f (x, y)ò

21、òòò0êëfdxdy = a úû0êë000= òòD(20)(本題滿分 11 分)【】(I)由于a1,a2,a3 不能由 b1, b2, b3 線性表示，對(duì)(b1, b2, b3,a1,a2,a3) 進(jìn)行初等行變換：æ112334a(b , b , b ,a ,a ,a ) = ç1ç123123ç1èö÷÷-ø當(dāng) a = 5 時(shí)，r(b1, b2, b3) = 2 ¹ r(b1,

22、 b2, b3,a1) = 3 ，此時(shí)，a1 不能由 b1, b2, b3 線性表示， 故a1,a2,a3 不能由 b1, b2, b3 線性表示(II)對(duì)(a1,a2,a3, b1, b2, b3) 進(jìn)行初等行變換：æ 1011135, b , b ) = ç 0(a ,a ,ç123123ç 1èöö÷11®÷ ®÷÷÷-øø第 7 頁 共 11 頁唯一2000人學(xué)子備考】無憂-您身邊的輔導(dǎo)！ö÷ ，®

23、÷÷-ø故 b1 = 2a1 + 4a2 -a3 ， b2 = a1 + 2a2 ， b3 = 5a1 +10a2 - 2a3 (21)(本題滿分 11 分)æ 11 öæ -1 1 ö【】(I)由于 Aç 00 ÷ = ç 00 ÷ ，設(shè)a= (1, 0, -1)T ,a = (1, 0,1)T ，則ç÷ç÷12ç -11 ÷ç 11 ÷èøèøA(a1,a2 )

24、= (-a1,a2 ) ，即 Aa1 = -a1, Aa 2 = a 2 ，而a1 ¹ 0,a2 ¹ 0 ，知 A 的特征值為l1 = -1, l2 = 1，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 k1a1 (k1 ¹ 0) ， k2a2 (k2 ¹ 0) 由于r ( A) = 2 ，故A = 0 ，所以l3 = 0 由于 A 是三階實(shí)對(duì)稱矩陣，故不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，設(shè) l3 = 0 對(duì)應(yīng)的特征向量為a3 = (3 ) ，則Tìa a = 0,- x = 0,Tìx1313í即ía a = 0,x + x = 0T&#

25、238; 13î 2 3()(k ¹ 0) 解此方程組，得a = 0,1, 0，故l = 0 對(duì)應(yīng)的特征向量為k aT333 33(II) 由于不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量已經(jīng)正交，只需化：a112(1, 0, -b =1æ -1çö÷，令Q = (b , b), b，則Q AQ = L =T1ç÷123ç0 ÷èøTAæçö0220222022÷æ -1ç=÷ç1 çç÷

26、;ç÷ç0 ÷èç -è2ø第 8頁 共 11 頁唯一2000人學(xué)子備考】a1無憂-您身邊的輔導(dǎo)！æ 2öæç0 ÷ç - 2 2 20 2 22ç÷20 2 2ç= ççç 20 ÷ç÷2ç÷ç0 ÷ç 0çèøçè（22）（本題滿分 11 分）【】(I)因?yàn)?PX

27、2 = Y 2 = 1 ，所以 P X 2 ¹ Y 2 = 1- P X 2P X = 0,Y = -1 = P X即利用邊緣概率和概率的關(guān)系得到P X = 0,Y = 0 = P；P X = 1,Y = -1 = PY = -；P X = 1,Y = 1 = PY = 1 - P即( X ,Y ) 的概率分布為Y-101X001/3011/301/3(II) Z 的所有可能取值為-1, 0,1 13PZ = -1 = PX = 1,Y = -1 =13PZ = 1 = PX = 1,Y = 1 =PZ = 0 = 1- PZ = 1 - PZ = -1Z = XY 的概率分布為Z-101P1/31/31/3 Cov ( XY )E ( X(III)因?yàn)?rXY = = ，D( X ) D(Y )其中第 9 頁 共 11 頁唯一2000人學(xué)子備考】無憂-您身邊的輔導(dǎo)！111111E ( XY ) = E (Z ) = -1×= 0 ， E (Y ) = -1×+ 0 ×+1×+ 0 ×+1×= 0 333333所以 E ( XY ) - E ( X )× E (Y ) = 0 ，即 X ， Y 的相關(guān)系數(shù) rXY（23）（本題滿分 11 分）= 0 -( x-m0 )21【