空間計量經(jīng)濟學分析

1、空間計量經(jīng)濟學理論研究若干問題陳 斐1，2（1南昌大學中國中部經(jīng)濟發(fā)展研究中心；2 南昌大學經(jīng)濟與管理學院，江西 南昌 330047）摘要：近年來，空間計量經(jīng)濟學研究得到了快速發(fā)展。本文在介紹空間回歸分析中如何考慮空間影響或空間相關(guān)以及空間自相關(guān)的形式化表達的基礎(chǔ)上，分析橫截面數(shù)據(jù)空間線性模型的通用模式，隨后討論幾種主要空間回歸模型的基本形式。關(guān)鍵詞：空間計量經(jīng)濟；橫截面數(shù)據(jù)；空間線性模型；空間滯后空間計量經(jīng)濟學是計量經(jīng)濟學的一個分支，研究的是如何在橫截面數(shù)據(jù)（Cross-sectional Data）和面板數(shù)據(jù)（Panel Data）的回歸模型中處理空間相互作用（空間自相關(guān)）和空間結(jié)構(gòu)（空間

2、不均勻性）1。它與地學統(tǒng)計和空間統(tǒng)計學相似。從某種程度上而言，空間計量經(jīng)濟學與空間統(tǒng)計學之間的不同和計量經(jīng)濟學與統(tǒng)計學之間的不同一樣。由于對其理論上的關(guān)心以及將計量經(jīng)濟模型應(yīng)用到新興大型編碼數(shù)據(jù)庫中的要求，近年來這個領(lǐng)域獲得了快速發(fā)展。1 空間計量經(jīng)濟學發(fā)展概述最近，不僅在應(yīng)用計量經(jīng)濟學中，而且在理論計量經(jīng)濟學中對位置和空間相互作用給予了更多的關(guān)注。在一些專門化的領(lǐng)域中出現(xiàn)了一些明確結(jié)合了空間因素的模型以及相應(yīng)的空間計量經(jīng)濟學應(yīng)用，如區(qū)域科學、城市和房地產(chǎn)經(jīng)濟學、經(jīng)濟地理2-5；而且在更多的經(jīng)濟學傳統(tǒng)領(lǐng)域的各種經(jīng)驗調(diào)查研究中，也越來越多地采用空間計量經(jīng)濟學方法，如需求分析研究、國際經(jīng)濟學、勞動

3、經(jīng)濟學、公共經(jīng)濟學和地方財政、農(nóng)業(yè)和環(huán)境經(jīng)濟學6。此外，在一些涉及計量經(jīng)濟學方法的文獻中，對如何處理與結(jié)合數(shù)據(jù)的“地理”屬性的模型相適合的備擇模型、估計量和檢驗統(tǒng)計進行了越來越多的討論7-10。在應(yīng)用計量經(jīng)濟學和理論計量經(jīng)濟學的主流中，最近對存在的空間相互作用的確定、估計和檢驗的關(guān)注可以歸結(jié)于兩個主要因素：一是在理論經(jīng)濟學的框架內(nèi)對那些考慮原子論式的因素（Atomistic Agent）的決策模型的興趣不斷增加。這些新的理論框架以社會規(guī)范、鄰近影響和其它同等組影響的形式確定并研究這些因子之間的“直接”相互作用以及單個因子的相互作用是如何導致集體特性和聚集模式的。如社會相互作用理論模型11、貿(mào)易

4、結(jié)構(gòu)發(fā)展模型12，13、鄰近溢出效應(yīng)14，15等。這些框架也形成包括因子之間重要相互作用的經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷囊恍┗A(chǔ)。阿瑟16、克魯格曼17-20等重新對與經(jīng)濟地理學有關(guān)的馬歇爾外部性、聚集經(jīng)濟及其它溢出效應(yīng)的空間特征進行了評論。第二個主要的因素在于，標準的計量經(jīng)濟技術(shù)通常不能用于存在空間自相關(guān)的情形中。但是在地理數(shù)據(jù)集中普遍存在空間自相關(guān)，除了需要處理空間模型的方法之外，還需要能夠從實踐、適用的角度來處理空間數(shù)據(jù)的技術(shù)。模型的性質(zhì)、GIS技術(shù)的迅速普及以及地學編碼的社會經(jīng)濟數(shù)據(jù)集的有效性都對這些處理地理數(shù)據(jù)的特殊專業(yè)化方法產(chǎn)生了需要6。在應(yīng)用經(jīng)濟學和政策分析中，GIS與空間數(shù)據(jù)分析和模擬技術(shù)的結(jié)合已

5、很普遍，特別是在房地產(chǎn)和住宅經(jīng)濟學2122、環(huán)境和資源經(jīng)濟學2324、發(fā)展經(jīng)濟學25等領(lǐng)域中。就歷史觀點而言，由于在區(qū)域計量經(jīng)濟模型中處理次級地區(qū)數(shù)據(jù)的需要，早在20世紀70年代歐洲就展開了空間計量經(jīng)濟學研究，并將它作為一個確定的領(lǐng)域。Paelinck 和 Klaassen26定義了這個領(lǐng)域，包括：空間相互依賴在空間模型中的任務(wù)；空間關(guān)系不對稱性；位于其他空間的解釋因素的重要性；過去的和將來的相互作用之間的區(qū)別；明確的空間模擬。Anselin1將空間計量經(jīng)濟學定義為：處理由區(qū)域科學模型統(tǒng)計分析中的空間所引起的特殊性的技術(shù)總稱。換句話說，空間計量經(jīng)濟學研究的是明確考慮空間影響（空間自相關(guān)和空間不

6、均勻性）的方法。目前，空間計量經(jīng)濟學研究包括以下四個感興趣的領(lǐng)域：計量經(jīng)濟模型中空間影響的確定；合并了空間影響的模型的估計；空間影響存在的說明檢驗和診斷；空間預(yù)測。2 空間回歸分析基礎(chǔ)2.1 空間影響在空間回歸分析中，空間影響與空間相關(guān)有關(guān)，即與空間自相關(guān)或空間不均勻性有關(guān)。為了獲得模型參數(shù)的可識別性，必須同時考慮空間自相關(guān)或空間不均勻性6。根據(jù)矩條件，可以正式表達空間自相關(guān)，即屬性值相似性與位置相似性的一致程度。， （1）式中：、分別指單個觀測位置，、表示相應(yīng)位置上某一隨機變量的值。根據(jù)觀測位置的空間結(jié)構(gòu)、空間相互作用或空間排列，當非零位置對、的特殊布局具有一個解釋時，從空間角度看這個協(xié)方差

7、將變得有意義6?？臻g不均勻性以非常量誤差方差（不同空間離中趨勢）或模型系數(shù)（空間狀況）的形式表示結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性。借助標準的計量經(jīng)濟工具，可以處理這種結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性。然而，對于在回歸分析中為何必須明確考慮空間不均勻性，主要出于以下三個原因：一是從某種意義上而言不均勻性背后的結(jié)構(gòu)是空間的，在決定不均勻性的形式時，觀測點的位置是極其重要的；其次，由于結(jié)構(gòu)是空間的，不均勻性通常與空間自相關(guān)一起出現(xiàn)，這時標準的計量經(jīng)濟技術(shù)不再適用27；第三，在一個單一橫截面上，空間自相關(guān)和空間不均勻性在觀測上可能是相同的28。2.2 空間權(quán)重和空間滯后在具有n個觀測點的橫截面環(huán)境中，不能直接從數(shù)據(jù)中估計協(xié)方差矩陣（式1），

8、甚至漸進性也不再有效（協(xié)方差的數(shù)量隨n2而增加，而樣本大小僅隨n的增加而增加）。相反，當能夠獲得橫截面環(huán)境上的重復觀測時，有可能使用其它維，并且獲得一致的非參數(shù)的橫截面協(xié)方差矩陣估計829?？偟膩碚f，必須為協(xié)方差賦予一個結(jié)構(gòu)。針對這個問題存在三種主要的方法6：一是基于一個空間隨機過程的說明；二是基于協(xié)方差結(jié)構(gòu)的直接參數(shù)表達；三是不指定協(xié)方差，而是在一個非參數(shù)框架中處理協(xié)方差。與時間序列分析一樣，空間隨機過程分為兩種類型：空間自回歸（SAR）過程和空間移動平均（SMA）過程。盡管橫截面環(huán)境和時間序列的前后關(guān)系之間存在重要的差別，但更重要的是，與一個沿時間軸變化的明確概念相反，在橫截面環(huán)境中不存在

9、相應(yīng)的概念，特別是當所有觀測在空間上是不規(guī)則分布時。因此需要引入一個空間滯后算子?？梢詫⒖臻g滯后解釋為鄰近觀測單元上某一隨機變量的加權(quán)平均，或作為一個空間平滑濾波器。基于每個單元的鄰近集的定義30，31，基于觀測的地理排列或鄰近性，可以獲得空間滯后算子。正式地，將變量在單元的空間滯后表示為： 或 （2）式中：W表示空間權(quán)重矩陣（n´n），表示隨機變量的觀測值（n´1）。對每個單元而言，與的鄰近集范圍內(nèi)的單元相對應(yīng)的矩陣wij元素非零。為了便于解釋，采用行標準化的空間權(quán)重矩陣W，即對每個而言，。由于漸進性要求獲得一致的漸進正態(tài)估計量，必須限制由W結(jié)構(gòu)容許的相關(guān)的范圍。必須注意

10、到，對于模型而言，權(quán)重矩陣W的元素是非隨機的、外生的?；谝粋€距離衰減函數(shù)2、社會網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)33、經(jīng)濟距離34、k個最鄰近9、經(jīng)驗流量矩陣35等也可以確定空間權(quán)重，盡管這些選擇可能間接表明空間權(quán)重的確定是相當任意的。2.3 空間自相關(guān)的形式表達 空間隨機過程模型表示空間自相關(guān)的最通用的方法是指定一個空間隨機過程，即獲得某一給定位置的某一隨機變量與其它位置上同一變量之間的函數(shù)關(guān)系。如給定空間權(quán)重矩陣W（n´n），隨機變量（n´1），隨機誤差（n´1），可將一個同步空間自回歸過程（SSAR）定義為： 或 （3）可將一個空間移動平均過程（SMA）定義為： 或 （4）式中：

11、是n´n的單位陣，是分量為1的n´1向量，是隨機變量的均值，隨機誤差項（均值為零）的方差為，、分別為自回歸和移動平均參數(shù)。對于（3）中的SAR結(jié)構(gòu)而言，協(xié)方差為： （5）這是一個完全矩陣，意味著任何位置上的振動通過一個空間乘數(shù)效應(yīng)影響所有其它位置。對于（4）中的SMA過程而言，協(xié)方差為： （6）這導致一個位置和它的一階（通過W）和二階鄰近位置（通過）之間存在局部相互作用，但不產(chǎn)生一個空間乘數(shù)。與時間上的主要不同相比較，AR和MA過程在空間上的不同在于：即使存在誤差項，上述協(xié)方差矩陣的對角線元素也不是常數(shù)；而且不同離中趨勢依賴于嵌入在空間權(quán)重矩陣W中的鄰近結(jié)構(gòu)，因此中的過程不

12、是恒協(xié)方差的6。只有在極少數(shù)情形下，才能獲得恒協(xié)方差。如規(guī)則格網(wǎng)結(jié)構(gòu)上每個非邊緣觀測都具有相同的權(quán)重結(jié)構(gòu)。在實際應(yīng)用中，這種情形是非常有限的。此外，可以考慮采用空間誤差分量模型表示空間自相關(guān)，必須注意的是此模型也可能導致不同離中趨勢方差36，37。 直接表示法正式說明空間自相關(guān)的第二種通用方法是以簡單的方式將方差協(xié)方差矩陣的元素表示為少量參數(shù)和一個或多個外部變量的一個“直接的”函數(shù)。典型地，這涉及一些距離度量的反函數(shù)。如： （7）式中：、是回歸干擾項，是誤差方差，是彼此分隔的觀測、之間的距離，是一個距離衰減函數(shù)（且），是的一個開子集上的一個p´1參數(shù)向量。這種模式與地學統(tǒng)計中使用的方

13、差圖模型密切相關(guān)，盡管對固定性和均勻性有更嚴格的假定38。對每個觀測運用式（7），得到誤差協(xié)方差矩陣，其形式為： （8）式中：矩陣必須是正定的空間相關(guān)矩陣（且）。與空間過程模型相反，直接表示模型沒有引起不同離中趨勢。在空間計量經(jīng)濟學中，這類模型主要用于城市住宅市場分析39-41。盡管這種說明有些直觀，但在某種意義上它將空間集聚的概念表示為彼此分開的兩個觀測之間距離的函數(shù)，當然也存在各種估計和參數(shù)確定問題。 其他方法最近，在一些研究中，采用非參數(shù)方法來估計空間協(xié)方差矩陣的元素，即對距離衰減而言，不需要一個明確的空間過程或函數(shù)形式。在面板數(shù)據(jù)（Panel Data）情形中，通常應(yīng)用這種方法。如根據(jù)

14、每組位置對的殘差的樣本協(xié)方差來估計空間協(xié)方差42。此外還可以采用其它一些方法，如自相關(guān)一致協(xié)方差矩陣。這種方法對固定性和均勻性的假設(shè)更為嚴格，根據(jù)樣本空間協(xié)方差的序列加權(quán)平均值等估計空間協(xié)方差843。2.4 空間隨機過程中的漸進性與時間序列分析一樣，根據(jù)隨機過程的漸進性可以為空間序列導出估計量和檢驗的特征。然而，這些特征不僅僅是時間序列的二維結(jié)果的擴展。為此提出了許多復雜的因子，但到目前為止仍然缺乏空間相關(guān)情形的一些正式結(jié)果?？臻g漸進性的第一個顯著特征是為了限制空間相關(guān)的程度和空間序列的不均勻性，需要一些通用的矩條件（正則條件），以便獲得一致的大數(shù)定律和中心極限定理來證實一致性和漸進正態(tài)性。從

15、本質(zhì)上講，這些通用的矩條件與不均勻的時間相關(guān)過程類似，特定的空間條件表示為對空間矩陣與空間系數(shù)的參數(shù)空間的限制94445。實際上，大多數(shù)基于樣本鄰近性的空間權(quán)重滿足這些條件?？臻g漸進性的第二個顯著特點是可以以兩種不同的方式逼近極限，即遞增域漸進和填實漸進38。前者由一個樣本結(jié)構(gòu)組成，使得可以在邊緣（邊界點）不斷地加入新的觀測，這與時間序列分析中的基本漸進類似。當空間范圍是有界的，適合采用填實漸進方式，在已有的觀測之間加入新的觀測，產(chǎn)生一個不斷致密的空間。在大多數(shù)空間計量經(jīng)濟學的應(yīng)用中，默認的結(jié)構(gòu)是一個遞增域。3 橫截面數(shù)據(jù)空間線性回歸模型橫截面數(shù)據(jù)空間線性回歸模型構(gòu)成了空間計量經(jīng)濟學中組織各種

16、模擬方法的框架。通過對通用模型參數(shù)的不同限制，可以導出特定的模型，從而以不同的方式合并空間相關(guān)。在下面的論述中，將局限于橫截面數(shù)據(jù)空間線性回歸模型形式的解釋，至于模型的空間參數(shù)估計、空間影響的說明檢驗和診斷、空間預(yù)測等將另文論述。3.1 標準線性回歸模型與純空間自回歸模型采用矩陣符號表示法，標準線性回歸模型可以表示為： （9）式中：Y是n´1的列向量，表示因變量的觀測值，是一個n´k的解釋變量的觀測矩陣，是k´1的回歸系數(shù)向量，是n´1的隨機誤差向量，理論上滿足：，（10）需要根據(jù)和的觀測來估計。Gauss-Markov定理認為，如果滿足條件：、的秩為、

17、是非隨機的，的OLS估計是最優(yōu)線性無偏估計（BLUE）?；貧w模型的一個特例是，解釋變量是由一個空間滯后組成，即一階純空間自回歸模型。通過空間滯后（空間自回歸項）來分析空間影響對回歸系數(shù)的估計和檢驗產(chǎn)生的影響。一階純空間自回歸模型表示為： （11）式中：是常數(shù)項（以保證誤差項的均值為0），是隨機誤差向量，是空間自回歸系數(shù)。如果是觀測值與均值的偏差向量，式（11）中通常不包括。與經(jīng)典回歸模型或時間序列自回歸模型不同的是，誤差項與解釋變量相關(guān)，因此OLS不再合適1。3.2 橫截面數(shù)據(jù)空間線性模型通用形式Anselin給出了空間計量經(jīng)濟分析中適用于橫截面數(shù)據(jù)的空間線性模型通用形式1。通過對通用模型的參

18、數(shù)的不同限制，可以導出特定的模型。橫截面數(shù)據(jù)的空間線性模型通用形式可表示為：， （12）且滿足：，誤差協(xié)方差矩陣的對角線元素為： （13）式中：是與外生（解釋）變量相關(guān)的參數(shù)向量，是空間滯后的系數(shù)，是干擾項的空間自回歸結(jié)構(gòu)的系數(shù)，、分別與因變量的空間自回歸過程和干擾項的空間自回歸過程相關(guān)，可以是行標準化的矩陣，也可以是二元矩陣或其他非標準化矩陣。由于誤差項呈正態(tài)分布且具有誤差協(xié)方差矩陣，其對角線元素考慮到不同離中趨勢為P+1個外生變量的函數(shù)（包括一個常數(shù)項）。P個參數(shù)與非常數(shù)項相關(guān)，且有：，（經(jīng)典的同離中趨勢的情形）。式（12）考慮了具有不同空間結(jié)構(gòu)的空間過程，這個模型有個未知參數(shù)46，其矩陣

19、形式為： （14）當將式（14）中參數(shù)向量的不同子向量設(shè)為0時，可以產(chǎn)生幾個常見的空間模型結(jié)構(gòu)。在各種文獻中，討論了四種傳統(tǒng)的空間自回歸模型，分別與下列情形相對應(yīng)132 46 47：（1）若，（P+2個約束），產(chǎn)生經(jīng)典線性回歸模型（式9）；（2）若，（P+1個約束），產(chǎn)生混合的回歸空間自回歸模型： （15）（3）若，（P+1個約束），產(chǎn)生具有空間自回歸干擾項的線性回歸模型： （16）（4）若（P個約束），產(chǎn)生具有空間自回歸干擾項的混合的回歸空間自回歸模型： （17）3.3 橫截面數(shù)據(jù)空間線性模型的特例式（15）相當于一個空間滯后模型，適合估計是否存在空間相互作用以及空間相互作用的強度，以反映可

20、能存在的實質(zhì)性的空間影響。式（16）相當于一個空間誤差模型，回歸干擾項的空間相關(guān)相當于多余（干擾）相關(guān)。 空間滯后模型空間滯后模型中包括解釋變量和空間滯后項。形式上可以表示為： （18）式中：是空間自回歸系數(shù)，是誤差項向量?？臻g相關(guān)形式上表示為附加回歸量，可以估計模型中空間相關(guān)的程度，同時調(diào)整其它解釋變量的影響。在對空間相關(guān)進行調(diào)整后，可以估計其它解釋變量的顯著性。形式上，式（18）可以表示為： （19）因此可將式（19）稱為一個空間過濾因變量對原有解釋變量的回歸1。與時間序列模型對應(yīng)部分所保持的不同，空間滯后項與干擾項相關(guān)，甚至是零均值誤差也如此，使得作為模型估計的OLS的最優(yōu)性不再有效。當

21、側(cè)重于理解過程的均值時，可以以非線性的形式表示模型，這可以從式（19）的簡化型中看出： （20）式（20）中的逆可以擴展為一個無窮級數(shù)，包括所有位置上的說明變量和誤差項（空間乘數(shù)）。因此必須將空間滯后項視為一個內(nèi)生變量，而且適當?shù)墓烙嫹椒ū仨毥忉屵@種內(nèi)生性6。 空間誤差模型空間誤差模型是誤差項具有相關(guān)性的回歸的特例，其中協(xié)方差矩陣的非對角線元素表示空間相關(guān)的結(jié)構(gòu)?？梢砸圆煌姆绞絹碇付臻g結(jié)構(gòu)，并產(chǎn)生誤差方差協(xié)方差矩陣：，其中是一個參數(shù)向量。殘差之間的空間自相關(guān)可能意味著：自變量和因變量之間的存在非線性關(guān)系；回歸模型中遺漏了一個或多個回歸自變量；回歸模型應(yīng)該具有一個自回歸結(jié)構(gòu)48。當誤差項遵循

22、一個空間自回歸過程，即每個位置上的隨機誤差為所有其它位置上的隨機誤差的函數(shù)，那么可以以誤差項的一個空間自回歸過程的形式，將空間自相關(guān)引入到這個模型中，即： （21）式中：表示自回歸參數(shù)，為空間權(quán)重矩陣的第行中的元素，假定是標準正態(tài)分布的。形式上，SAR誤差模型可以表示為：， （22）這個模型結(jié)合了一個標準回歸模型和一個誤差項中的空間自回歸模型，同時假設(shè)誤差項滿足條件、，即方差固定且誤差項是不相關(guān)的。由于誤差項的均值為0，因此不管的數(shù)值如何，因變量Y 的均值不受空間誤差相關(guān)的影響。 討論當存在實質(zhì)性的空間影響時，如果模型中遺漏了空間滯后項，回歸系數(shù)的估計將是有偏的，這是與遺漏變量相關(guān)的標準回歸問

23、題的一個特例。當存在空間誤差相關(guān)但忽略了這種相關(guān)時，盡管OLS保持無偏，但如果模型估計是側(cè)重基于估計量的顯著性檢驗和擬合度檢驗的統(tǒng)計推斷時，OLS估計將是不可靠的。由于使用了空間數(shù)據(jù)，當要校正空間自相關(guān)的潛在偏差影響時，適合采用空間誤差模型，而不管所關(guān)心的模型是否是空間的6。實踐中使用的大多數(shù)空間回歸模型是基于一個單一的空間權(quán)重矩陣。然而從理論上講，更高階的模型也是可能的，如高階SAR模型4950、空間自回歸、SARMA模型51以及既包括一個SAR誤差過程又包括一個空間滯后因變量的模型52。但是在應(yīng)用中必須非常小心，以保證高階模型中的權(quán)重W是唯一的、正交的，而且所有的系數(shù)是可以確定的53?？臻g

24、影響的存在對回歸系數(shù)的估計和檢驗產(chǎn)生顯著的影響，而且由于空間相關(guān)的雙向或多方向性質(zhì)，因此標準計量經(jīng)濟技術(shù)不再適用，不能將具有滯后因變量的模型或系列殘差相關(guān)的模型的OLS估計特性直接移植到空間情形。通常需要采用最大似然估計54，使用合適的非線性優(yōu)化程序來估計空間滯后模型和空間誤差模型的回歸系數(shù)或空間參數(shù)655，從而將空間相關(guān)正式地合并到觀測值的聯(lián)合概率密度中；同時，可根據(jù)估計的漸進方差矩陣導出Wald檢驗或漸進的t檢驗等來分析擬合模型的合理性6，診斷空間相關(guān)更可能是源于實質(zhì)性的相關(guān)，還是誤差自相關(guān)。參考文獻1 Anselin L. Spatial Econometrics: Methods an

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