小學(xué)奧數(shù)教程不定方程與不定方程組 教師版全國通用

1、.不定方程與不定方程組 教學(xué)目的1.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的試值技巧3.學(xué)會解不定方程的經(jīng)典例題知識精講一、知識點說明歷史概述不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一古希臘的丟番圖早在公元世紀就開場研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元世紀的?張丘建算經(jīng)?中的百雞問題標(biāo)志著中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)絡(luò)起來考點說明在各類競賽考試中，不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作為解題的重要方法貫穿在行程問題、數(shù)論問題等壓軸大題之中在以后初高中

2、數(shù)學(xué)的進一步學(xué)習(xí)中，不定方程也同樣有著重要的地位，所以本講的著重目的是讓學(xué)生學(xué)會利用不定方程這個工具，并可以在以后的學(xué)習(xí)中使用這個工具解題。二、不定方程根本定義1、定義：不定方程組是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù)的方程組。2、不定方程的解：使不定方程等號兩端相等的未知數(shù)的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。3、研究不定方程要解決三個問題：判斷何時有解；有解時確定解的個數(shù)；求出所有的解三、不定方程的試值技巧1、奇偶性2、整除的特點能被2、3、5等數(shù)字整除的特性3、余數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用和、差、積的性質(zhì)及同余的性質(zhì)例題精講模塊一、利用整除性質(zhì)解不定方程【例 1】 求方程 2x3y8的整數(shù)解【考點】不定方程

3、【難度】2星 【題型】解答 【解析】 方法一：由原方程，易得 2x83y，x4y，因此，對y的任意一個值，都有一個x與之對應(yīng)，并且，此時x與y的值必定滿足原方程，故這樣的x與y是原方程的一組解，即原方程的解可表為：，其中k為任意數(shù)說明 由y取值的任意性，可知上述不定方程有無窮多組解方法二：根據(jù)奇偶性知道2x是偶數(shù)，8為偶數(shù)，所以假設(shè)想2x3y8成立，y必為偶數(shù)，當(dāng)y0，x4；當(dāng)y2，x7；當(dāng)y4，x10，此題有無窮多個解。【答案】無窮多個解【鞏固】 求方程2x6y9的整數(shù)解【考點】不定方程 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 因為2x6y2x3y，所以，不管x和y取何整數(shù)，都有2|2x6y，

4、但29，因此，不管x和y取什么整數(shù)，2x6y都不可能等于9，即原方程無整數(shù)解說明：此題告訴我們并非所有的二元一次方程都有整數(shù)解?！敬鸢浮繜o整數(shù)解【例 2】 求方程4x10y34的正整數(shù)解【考點】不定方程 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 因為4與10的最大公約數(shù)為2，而2|34，兩邊約去2后，得 2x5y17，5y的個位是0或5兩種情況，2x是偶數(shù)，要想和為17，5y的個位只能是5，y為奇數(shù)即可；2x的個位為2，所以x的取值為1、6、11、16x1時，172x15，y3，x6時，172x 5，y1，x11時，172x17 22，無解所以方程有兩組整數(shù)解為：【答案】【鞏固】 求方程3x5y1

5、2的整數(shù)解【考點】不定方程 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 由3x5y12，3x是3的倍數(shù)，要想和為123的倍數(shù)，5y也為3的倍數(shù)，所以y為3的倍數(shù)即可，所以y的取值為0、3、6、9、12y0時，125y12，x4，x3時，125y1215，無解所以方程的解為：【答案】【鞏固】 解不定方程：其中x,y均為正整數(shù)【考點】不定方程 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 方法一：2x是偶數(shù)，要想和為40偶數(shù)，9y也為偶數(shù)，即y為偶數(shù)，也可以化簡方程，知道y為偶數(shù)，所以方程解為：【答案】模塊二、利用余數(shù)性質(zhì)解不定方程【例 3】 求不定方程的正整數(shù)解有多少組？【考點】不定方程 【難度】3星 【題型

6、】解答 【解析】 此題無論或是，情況都較多，故不可能逐一試驗檢驗可知1288是7的倍數(shù)，所以也是7的倍數(shù)，那么是7的倍數(shù)設(shè)，原方程可變?yōu)?，可以?，2，3，16由于每一個的值都確定了原方程的一組正整數(shù)解，所以原方程共有16組正整數(shù)解【答案】16組【例 4】 求方程3x5y31的整數(shù)解【考點】不定方程 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 方法一：利用歐拉別離法，由原方程，得 x，即 x102y，要使方程有整數(shù)解必須為整數(shù)取y2，得x102y10417，故x7，y2當(dāng)y5，得x102y101022，故x2，y5當(dāng)y8，得x102y10163無解 所以方程的解為：方法二：利用余數(shù)的性質(zhì)3x是3的倍

7、數(shù)，和31除以3余1，所以5y除以3余12y除以3余1，根據(jù)這個情況用余數(shù)的和與乘積性質(zhì)進展斷定為：取y1，2y2，2÷302舍 y2，2y4，4÷311符合題意 y3，2y6，6÷32舍y4，2y8，8÷322舍y5，2y10，10÷331符合題意y6，2y12，12÷34舍當(dāng)y6時，結(jié)果超過31，不符合題意。所以方程的解為：【答案】【鞏固】 解方程，其中x、y均為正整數(shù)【考點】不定方程 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 方法一：，4y是4的倍數(shù)，和89除以4余1，所以7x除以4余17÷43，可以看成3x除以4余1，根

8、據(jù)這個情況用余數(shù)的和與乘積性質(zhì)進展斷定為x13x1，3x3，3÷43舍x2，3x6，6÷42舍x3，3x9，9÷41符合題意x4，3x12，12÷40舍x5，3x15，15÷43舍x6，3x18，18÷42舍x7，3x21，21÷41符合題意x8，3x24，24÷40舍x9，3x27，27÷43舍x10，3x30，30÷42舍x11，3x33，33÷41符合題意x12，3x36，36÷40舍所以方程的解為：方法二：利用歐拉別離法，由原方程，的取值為4的倍數(shù)即可，所以方程的解為

9、：【答案】語文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。假如有選擇循序漸進地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對進步學(xué)生的程度會大有裨益。如今,不少語文老師在分析課文時,把文章解體的支離破碎,總在文章的技巧方面下功夫。結(jié)果老師費力,學(xué)生頭疼。分析完之后,學(xué)生收效甚微,沒過幾天便忘的一干二凈。造成這種事倍功半的為難場面的關(guān)鍵就是對文章讀的不熟。常言道“書讀百遍,其義自見,假如有目的、有方案地引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)閱讀課文,或細讀、默讀、跳讀,或聽讀、范讀、輪讀、分角色朗讀,學(xué)生便可以在讀中自然領(lǐng)悟文章的思想內(nèi)容和寫作技巧,可以在讀中自然加強語感,增強語言的感受力。久而久之,這種思想內(nèi)容、寫作

10、技巧和語感就會自然浸透到學(xué)生的語言意識之中,就會在寫作中自覺不自覺地加以運用、創(chuàng)造和開展。模塊三、解不定方程組【例 5】 解方程 其中a、b、c均為正整數(shù) 單靠“死記還不行,還得“活用,姑且稱之為“先死后活吧。讓學(xué)生把一周看到或聽到的新穎事記下來,摒棄那些假話套話空話,寫出自己的真情實感,篇幅可長可短,并要求運用積累的成語、名言警句等,定期檢查點評,選擇優(yōu)秀篇目在班里朗讀或展出。這樣,即穩(wěn)固了所學(xué)的材料,又鍛煉了學(xué)生的寫作才能,同時還培養(yǎng)了學(xué)生的觀察才能、思維才能等等,到達“一石多鳥的效果?！究键c】不定方程 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 根據(jù)等式的性質(zhì)將第一個方程整理得，根據(jù)消元的思想將第二個式子擴大4倍相減后為：，整理后得，根據(jù)等式性質(zhì)，為偶數(shù)，20為偶數(shù)，所以為偶數(shù)，所以為偶數(shù)，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，所以無解。所以方程解為【答案】【例 6】 解不定方程 其中x、y、z均為正整數(shù)【考點】不定方程 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 家庭是幼兒語言活動的重要環(huán)境，為了與家長配合做好幼兒閱讀訓(xùn)練工作，孩子一入園就召開家長會，給家長提出早期抓好幼兒閱讀的要求