第三屆高等數(shù)學(xué)競賽數(shù)學(xué)專業(yè)類級(jí)級(jí)_第1頁
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文檔簡介

數(shù)學(xué)分析競賽（2003、2004級(jí)解答）一、判斷題（每題5分，共25分）1、不正確。例：，。2、不正確。例：。3、不正確。例：。4、正確。，使，在上一致收斂。5、正確。兩邊進(jìn)行積分計(jì)算可得相等。二、證明題（12分）證明：由，有。 特別地有， 整理得， （1） 注意到，故有 （2）由（1）和（2）可得 以此類推，可得且，所以無界。 三、證明題（13分）證明：（i）只須證：，有。事實(shí)上，任取， 。即 ，因此可取。 （ii）只須證：，有。事實(shí)上，取， 充分大時(shí)，而。證畢。 四、證明題（12分）證明：因?yàn)?，故有，使得，于是?另外， 在之間。 將分別代入上式，得， ， ， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以（取或），有。 五、證明題（7分）證明：令， 另外， 六、證明題（7分）證明：當(dāng)時(shí)，矩形不包含原點(diǎn)，由格林公式，積分為0。 當(dāng)時(shí)，矩形包含原點(diǎn)，作圓：，使之含于內(nèi)，在以為邊界的連通域內(nèi)使用格林公式知。 七、證明題（24分）證明：（i）設(shè)。當(dāng)時(shí)，此級(jí)數(shù)絕對收斂；當(dāng)時(shí)，此級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，此級(jí)數(shù)發(fā)散。 （ii）對，有，而收斂。由判別法，知級(jí)數(shù)在一致收斂。 （iii），使。 （iv）設(shè)，使。由（ii）知，在連續(xù)，由的任意性，得證。 （v）驗(yàn)證可逐項(xiàng)積分。 。 （vi）。，而收斂

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