地圖著色定理與圖的曲面嵌入-

1、 # # 弓理 % > 4 戊 # 4= 證 由 定理 % # # 假若 > , 則 + 2 7 內(nèi) 一 5 從 一 殉 7 4 % > # # # > 4 必有 區(qū) # 并有 如 圖 4 # 從對(duì) 稱性 可 以 看出 在 凡 上 三 角 嵌 人 的 對(duì) 偶 只 能 形 如 圖 2 的定 向 這 就 與 不 可 定向 矛 盾 # # 8 “ 火 火 , 8 漢 % = 4 8 圖 # # # 引理 4 / 從 鑄 > # 4 8 證 # 假若 / 從 一 % # > , 則 由定 理 , # 4 必 存在 一 個(gè) 臨界 圖 , 仁 , / 一 / 一 >

2、; # 又 由 定理 , 有 + , 內(nèi) 即 8、 藝 如圖 ! # 。 。, 一 4 。卜 再 由 定理 已 不相 鄰 , # # , 只能 # , # 嘆價(jià) 7 記將 邊 8 # 8 , # # 并且 六 個(gè) 頂 點(diǎn) ! 一 凡 中 至 少有兩個(gè) 如 , , , 引理 % ! , , ! , , 九 收 縮為 ! 后 的圖 為 8 , 如圖 # # 因 2 , 是 臨界 圖 則 至 多 可 用 色 又與 色著 染 然 從 的 色 著染 可延 拓 到 整 個(gè) 使 得 凡同 的 臨界性 矛 盾 圖 # 圖 # 定理 > # / # # , 7 +/ 矛 <8 , , 3 丫3 4

3、# 4“ , % “ 鉀 4 。 證 設(shè)對(duì)于 , 取 叮 寧 1。 & 寧 , 則 由定理 8 7 > # , 當(dāng); 0, 即 < & 一 一 時(shí) 有 。 叮 ; , 十 ; < 4 4 ; 一 。 4 ; 一 8寧 , 8( 寧, 一 一 一 0 。 一 , 。十 召丁 不 丁 , , 一 丫了 不 下 # 44 # 因 第 二個(gè) 因 子 大 于 故 一 0 3 了 3 4 4 已 , , 丁十 創(chuàng)% 十 4 4 一 %, 從而 , , > 3 。 。 , 了玉 不百 4 % 百 , # 又 , 。 寧 ; 成 寧, 。 。, / 從而 / 、 。 &

4、gt; 3 丫 不 下 # > , 4% 再 由推論 情況 # 4 # , 可 得 定理 的 由推 論 # 4 / , 情況 > # # 一 / 凡 蕊 , 又 定理 , 從 故 # , 、 一 > 一 > 3 不 丫丁 萬(wàn)石 4 % 但 引理 > 。 情況 7 4 # 由推 論 # # 4 / # 4 , 簇 # > > # % # 表明 > 4 改 # 而 定理 # 8 # > 給出 從 更有 從 又從 引理 # 4 / 從 鑄 , 故 只能 / 從 , # 7 情況 7 % # 由 推論 / 和 定理 , 有 、 一 8 一 >

5、 3 丫玉 萬(wàn)石 4 % 下 五 設(shè) 、 三 角 嵌 人 0 % , 為 在 上的 嵌入 # , 是 的 對(duì)偶 則 是 的 區(qū) 域 圖 , 產(chǎn) # 用 , , , +2 一 二 表示 的 處 個(gè) 區(qū) 域 , 區(qū)域 1 2 有 . 個(gè) 區(qū) 域與它 相 鄰 2 , 選 定一 個(gè) 循環(huán) 次 序 滬 2 沙 得方案 1 , “2 劣 劣 4> “2 一 , 一 ” 丫 , 實(shí) 際 上 若 令 相應(yīng) 中 區(qū) 域 , 的頂 點(diǎn)也 用 夕 表示 , 則方 案 4> 4> 就 確 定 了一 個(gè) 行 的走 向 # # 定義 = % # 記 動(dòng) 7 滬 認(rèn) 二 歲 # 沃 玲 表 示 在 方 案

6、 # 第 了 的 循 環(huán) 次序 中 護(hù)后 緊 接 著 掩 相 仿 地 有 夕 砂 , . , 的意義 叮 燈 , 左 # 7 一 + 3 2 , 夜 ., 。, 2 . , , , 7 , 且 二 , 灸, , 一 , , , 3 友 , % 鎮(zhèn) . # 提 . 。, 7 . 且 2 才, , , 了, 7 + , % 蕊 , 攫 # 定理 = % 區(qū) 當(dāng)且 僅 當(dāng)存 在 一 個(gè) , 的 走 向 使得 其 方 案 左 # 4> 滿足 規(guī)則 一 2 若 左 則有 義 或 % 左 >8 證 的走 向 若 # 區(qū) 0 , 由在 上 的 三 角 嵌 人 的 對(duì)偶 得到 的 方 案 4>

7、; 確 定了 一 個(gè) 因 為 中每 個(gè) 頂點(diǎn) 的 次均 為 # , 則 必有 4> 2 若 令 砂 # , 只 有兩 個(gè)可 能 , 認(rèn) 或 伏 即 規(guī) 則 , # 反 之 若 有 一個(gè) 的 走 向 其 相 應(yīng) 的 方 案 , 滿 足 規(guī)則 則 可 以 構(gòu)造 , 罕 幾 4& 萬(wàn) 你聲 其中 , 一 、 1 石 , 嬌 占 , 嬌 一 , 當(dāng) 由 、 互 受 當(dāng) 由 沃 、 , 仁 僅 # 由對(duì)稱性 每邊在 , 藝 中 出現(xiàn) 兩 次 和 的連 通性 # , 萬(wàn) # 表 示 一 個(gè) 多面 體 # = # 其棱 形成 的 0 上 的 地 圖 的 對(duì) 偶 的 區(qū) 域圖 為 又 對(duì)于 沃

8、, 從而 , , 仆 由 規(guī)則 , , 三 個(gè)區(qū) 域 叱 , 友由 圖 = % 奮 無(wú) 介 幾 縱 肖 碼 瓣 軍 一, 李 # = 弄 一 吞 又 亨 , 、 、 獷 丫 軍 、 了 奮, : “了 人 天 及 七 圖 可 見(jiàn) 在 上 每 一個(gè)頂 點(diǎn) 的 次 皆 為 , # 即 # 區(qū)0 # 規(guī)則 八 證 泛 友 # 2 # 若 砂 則 沃 燈 或 砂 仁 戶 , # 定理 = 4 在方 案 , 4> 中 滿足規(guī)則 , , 當(dāng)且 僅 當(dāng)滿 足規(guī) 則 # 若 有 規(guī)則 反 則從 砂 可 得 徒 右 或 從 , 分 # 即 , 從 種 可得 或 護(hù) # 反之 , 若有規(guī)則 則 從 沃 ,

9、可 得 行 , 砂或 砂和 砂 或 伏 伏 # 只 能 , 燈 和 砂 或 砂 # 定理 = # 砂和 樸 # 前者 為 # 4> 砂 或后者 # 區(qū) 0, , 當(dāng)且 僅 當(dāng)存在 一 個(gè) , 的 走 向 使得 其方 案 滿足 規(guī)則 況 十 2 若 友 則 偽 # 證 # 與定理 2 # = % # 證 明相 仿 不過(guò) 要 注 意這 里 的 可 定 向性 , , # # 規(guī)則 八3 # 定理 = 若 友 則 友 在 方案 , 4> = 4 中 滿足規(guī) 則 , 。 十 # , 當(dāng) 且 僅 當(dāng)滿 足 規(guī) 則 氣 證 # 事實(shí) 上是 定 理 , 的 一 種 特 殊情 況 一 1, 表 示

10、從 二 # 下面 為 了 方 便 趣 只是 。 記 。 中去 掉 # 2 條 邊 所得 的 圖 # 然 我 們的 實(shí) 際 興 , # 一 , # , 7 一 1 一 , 4 和 一 些 有 相 當(dāng) 的 對(duì) 稱性 的 圖 , 不 管怎 樣 下 面 的 二 個(gè) 定 理 是 有 一般 性 的 定理 = 占 如果 。 一 1 區(qū) 1 勝 , 則 一 ; 一 、 一 八4 # 且 ; 、 ,了 、 . , , , 或 > 力 三 2 素 或 , 或 ,。 . 4 , , 當(dāng) , 一 一 + 6 : ; 6 , 工 ; % 6 記 8 # 4 證 由推 論 , 6 , 。 0 一 ;& 一

11、< 。 一> 3 > 0 , 。 : 即 < 一 6& 一 % & 一 一& + , 。 從而 , 一 6 & , 一 斗 & 一 二 = +& ? 只有 3 ;, , ! , %= 記 > & 時(shí) 有 上述四 組 6 的 可 能值 定理 > 若 ( ! : 6 + 。 一 1 區(qū) 戶3 , 和 ( 。 > , , : , 則 。 & < 一 & 。 一 % & 八 證 由 于這 時(shí) 有 & , > < < : , 一 一 6&: 6& : 一 一 , 斗 & 一 , & 八 3 1 > % &