線性代數(shù)的應(yīng)用案例

1、.案例一已知不同商店三種水果的價(jià)格、 不同人員需要水果的數(shù)量以及不同城鎮(zhèn)不同人員的數(shù)目的矩陣：商店 A商店 B蘋果橘子梨人員 A人員 B蘋果0.100.15人員 A5103城鎮(zhèn)11000500橘子0.150.20人員 B455城鎮(zhèn) 220001000梨0.100.10第一個(gè)矩陣為A，第二個(gè)矩陣為B，而第三個(gè)矩陣為C。（ 1）求出一個(gè)矩陣，它能給出在每個(gè)商店每個(gè)人購(gòu)買水果的費(fèi)用是多少？（ 2）求出一個(gè)矩陣，它能確定在每個(gè)城鎮(zhèn)每種水果的購(gòu)買量是多少？解：（ 1）設(shè)該矩陣為 D，則 D=BA，即：5100.100.153.0532.30D50.150.202.10451.650.100.10此結(jié)果說

2、明，人員 A 在商店 A 購(gòu)買水果的費(fèi)用為 3.50 ，人員 B 在商店 A 購(gòu)買水果的費(fèi)用為 1.65 （2）設(shè)該矩陣為 E，則 E=CB，即：2.30 ，人員 A 在商店 B 購(gòu)買水果的費(fèi)用為，人員 B 在商店 B 購(gòu)買水果的費(fèi)用為 2.10 。10005005103E100045520007000125005500140002500011000此結(jié)果說明， 城鎮(zhèn) 1 蘋果的購(gòu)買量為7000，城鎮(zhèn) 1 橘子的購(gòu)買量為12500，城鎮(zhèn) 1 梨的購(gòu)買量為 5500；城鎮(zhèn) 2 蘋果的購(gòu)買量為14000，城鎮(zhèn) 2 橘子的購(gòu)買量為25000，城鎮(zhèn) 2 梨的購(gòu)買量為 11000。題后說明：這是一個(gè)矩陣

3、的具體應(yīng)用問題。其實(shí)很顯然在沒有矩陣的知識(shí)前，我們也可以解出這一簡(jiǎn)單的問題。此題的一般提法是：現(xiàn)有兩個(gè)城鎮(zhèn)（城鎮(zhèn)1 和城鎮(zhèn) 2）；城鎮(zhèn) 1 中有人員 A（ 1000 人）和人員 B（ 500 人），城鎮(zhèn) 2 中有人員 A（ 2000人）和人員 B（ 1000 人）；人員 A 需蘋果、橘子和梨分別 5、10 和 3，而人員 B 需蘋果、橘子和梨分別 4、5 和 5；現(xiàn)不妨假設(shè)每個(gè)城鎮(zhèn)中都有兩個(gè)商店（商店 A 和商店 B），每個(gè)商店的蘋果、橘子和梨的價(jià)格均不相同。商店A 中蘋果、橘子和梨的價(jià)格分別為每斤0.10 、0.15 和 0.10 ，而商店 B 中蘋果、橘子和梨的價(jià)格分別為0.15 、 0.

4、20 、0.10 ?，F(xiàn)問 :（ 1）每個(gè)商店每個(gè)人購(gòu)買水果的費(fèi)用是多少？（2）每個(gè)城鎮(zhèn)每種水果的購(gòu)買量是多少？解：（ 1）商店 A：人員 A 購(gòu)買水果的費(fèi)用為：50.10100.1530.102.30人員 B購(gòu)買水果的費(fèi)用為：40.1050.1550.101.65.商店 B:人員 A 購(gòu)買水果的費(fèi)用為：50.15100.2030.103.05人員 B 購(gòu)買水果的費(fèi)用為：40.1550.2050.102.10此時(shí)如果用矩陣表示的話，有：商店A商店B人員 A2.303.05人員 B1.652.10顯然答案與用矩陣算出來的是一致的；同理對(duì)于（2）也是一樣的。然而， 不難看出利用矩陣求解此問題要簡(jiǎn)單明

5、了的多。就此問題而言，數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單且較少，如果是更為復(fù)雜的問題，如：假設(shè)這里的城鎮(zhèn)有10 個(gè)，商店有50 個(gè)的話。 顯然用一般解法是很繁瑣的，而用矩陣求解仍是只需要一個(gè)算式即可。案例二某文具商店在一周所售出的文具如下表，周末盤點(diǎn)結(jié)賬，計(jì)算該店每天的售貨收入及一周的售貨總賬.文具星期單價(jià)（元）一二三四五六橡皮(個(gè))1585112200.3直尺（把）152018168250.5膠水（瓶）2001215431解由表中數(shù)據(jù)設(shè)矩陣1585112200.3 B0.52001215431則售貨收入可由下法算出.1515203282000.312.45181222.5AT B0.5116

6、15123.3128411.62025321.5所以，每天的售貨收入加在一起可得一周的售貨總賬，即3212.422.523.311.621.5123.（3元）案例三某工廠檢驗(yàn)室有甲乙兩種不同的化學(xué)原料，甲種原料分別含鋅與鎂10%與 20%，乙種原料分別含鋅與鎂10%與 30%，現(xiàn)在要用這兩種原料分別配制AB兩種試劑，A 試劑需含鋅鎂各2 克，5 克，B 試劑需含鋅鎂各1 克，2 克. 問配制 AB兩種試劑分別需要甲乙兩種化學(xué)原料各多少克？解：設(shè)配制 A 試劑需甲乙兩種化學(xué)原料分別為x，y 克；配制 B 試劑需甲乙兩種化學(xué)原料分別為s，t 克；根據(jù)題意，得如下矩陣方程0.10.1xs210.20

7、.3yt520.10.1xs21， 則 XA1B，設(shè) A, Xy, B520.20.3t下面用初等行變換求A 1 ，0.10.11010r1111000.20.30110r223010即 A 13010，2010r2 2 r11110 0r1 r2103010012010012010.xs3010211010所以 Xt201052100y即配制 A 試劑分別需要甲乙兩種化學(xué)原料各10 克，配制 B 試劑需甲乙兩種化學(xué)原料分別為 10 克， 0 克 .案例四一百貨商店出售四種型號(hào)的T 衫：小號(hào)，中號(hào)，大號(hào)和加大號(hào). 四種型號(hào)的T 衫的售價(jià)分別為： 22 元，24 元，26 元，30 元 . 若商

8、店某周共售出了13 件 T 衫，毛收入為 320 元 . 已知大號(hào)的銷售量為小號(hào)和加大號(hào)銷售量的總和，大號(hào)的銷售收入也為小號(hào)和加大號(hào)銷售收入的總和，問各種型號(hào)的T 衫各售出多少件？解設(shè)該 T 衫小號(hào)，中號(hào)，大號(hào)和加大號(hào)的銷售量分別為xi (i1,2,3, 4) ，由題意得x1x2x3x41322x124x226x330x4320x1x3x4022x126x330x40下面用初等行變換把A 化成行簡(jiǎn)化矩陣11111322242630320A0110122026300r222r1, r3r1r422r1111113024834012013022488286111113r 2r30120130248

9、34022488286r32r2r422r21111130120130008800480.111113r3r4 0 1 2 0 13 00480000881r2 , 4r31 r481111130120130012000011r32r4r1r41110120120130010200011r22r3r1r31100101000101009r1 r20100900102001020001100011所以方程組解得x11x29x32x41因此 T 衫小號(hào)，中號(hào)，大號(hào)和加大號(hào)的銷售量分別為1 件， 9 件， 2 件和 1 件.案例五一個(gè)牧場(chǎng)， 12 頭牛 4 周吃草 10/3格爾， 21 頭牛 9 周

10、吃草 10 格爾，問24格爾牧草，多少頭牛 18 周吃完？ ( 注: 格爾牧場(chǎng)的面積單位)解設(shè)每頭牛每周吃草量為x ，每格爾草地每周的生長(zhǎng)量( 即草的生長(zhǎng)量 ) 為y ，每格爾草地的原有草量為a ，另外設(shè) 24格爾牧草， z 頭牛 18 周吃完124x10a / 310 / 34 y則根據(jù)題意得219x10a109 y其中 ( x, y, a) 是線性方程組的未知數(shù)z18x24a2418 y144x40 y10a0化簡(jiǎn)得189x90 y10a018zx432 y24a0根據(jù)題意知齊次線性方程組有非零解，故r (A)3 , 即系數(shù)行列式.144401018990100 ，計(jì)算得 z36 .18z

11、43224所以 24 格爾牧草 36 頭牛 18 周吃完案例六田忌和齊王賽馬雙方約定出上、中、下三個(gè)等級(jí)的馬各一匹進(jìn)行比賽，比賽共 3 場(chǎng)，勝者得一分，負(fù)者 -1分。已知在同一等級(jí)的馬進(jìn)行賽跑，齊王可穩(wěn)操勝券，另外，齊王的中等馬對(duì)田忌的上等馬，或者齊王的下等馬對(duì)田忌的中等馬，則田忌贏。 齊王和田忌在排列賽馬出場(chǎng)順序時(shí)各取下列6 種策略之一： 上、中、下 上、下、中 中、上、下 中、下、上 下、中、上 下、上、中 若將這 6 種策略從1 到 6 依次編號(hào)，則可寫出齊王的贏得矩陣311111131111113111A113111111131111113案例七甲乙兩超市銷售三種奶粉的日銷售量見下表奶

12、粉一奶粉二奶粉三5810甲超市5810抽象為矩陣 A735乙超市735單價(jià)與利潤(rùn)見下表單價(jià)利潤(rùn)151奶粉一151抽象為矩陣 B121奶粉二121202奶粉三202求甲乙兩超市銷售奶粉總收入與總利潤(rùn)收入利潤(rùn)甲5158121020371518110233乙71531252024171315220581015137133由此得矩陣 CAB12173524120202.案例八 -機(jī)床定模型興興機(jī)械廠生產(chǎn)甲乙丙三種規(guī)格機(jī)床，其價(jià)格和成本見下表甲乙丙單價(jià)（萬元每臺(tái)）765成本（萬元每臺(tái)）64.54一月份，工廠收到和三地的訂購(gòu)數(shù)量如下表甲機(jī)床（臺(tái)）457乙機(jī)床（臺(tái)）568丙機(jī)床（臺(tái)）349請(qǐng)計(jì)算各地訂購(gòu)三種

13、機(jī)床的總價(jià)值總成本和總利潤(rùn)各是多少。案例九 -軍事通訊中的加密與解密軍事訊中，需要將字符轉(zhuǎn)化成數(shù)字，所以這就需要將字符與數(shù)字一一對(duì)應(yīng)，如：abcd.xyz1234242526如 are 對(duì)應(yīng)的矩陣 B=（1 18 5 ），如果直接按這種方式傳輸，則很容易被敵人破譯而造成巨大的損失， 這就需要加密， 通常的做法是用一個(gè)約定的加密矩陣 A 乘以原信號(hào)矩陣 B，傳輸信號(hào)時(shí)，不是傳輸?shù)木仃?B，而是傳輸?shù)霓D(zhuǎn)換后的矩陣 C=ABT , 收到信號(hào)時(shí)，再將信號(hào)還原。如果敵人不知道加密矩陣， 則他就很難弄明白傳輸?shù)男盘?hào)的含義。設(shè)-101收到的信號(hào)為C= 21 27 31T , 并且已知加密矩陣是 A= 011

14、, 問111原信號(hào) B 是什么？解答：由加密原理知：BT =A -1 C.-10110 0-101100-10110 001101001101001101011100 101 21 010 011-1 1-10001-11 000-110 10-12-1010-12-10 011-110011-110-11從而得到 A -1 = -12-11-110-11214所以BT =A -1C= -1 2 -127= 21-113125所以 B=4225，信號(hào)為 dby.案例十 -信點(diǎn)兵有兵一隊(duì)，人數(shù)在 500 到 1000 人之，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二問這隊(duì)士兵多少人？案例十一 -商

15、品市場(chǎng)占有率有兩家公司 R 和 S 經(jīng)營(yíng)同類產(chǎn)品， 他們相互競(jìng)爭(zhēng)， 每年 R 公司保有四分之一的顧客， 而四分之三轉(zhuǎn)移到 S 公司，每年 S 公司保有三分之二的顧客， 三分之一轉(zhuǎn)移向 R 公司。當(dāng)產(chǎn)品開始制造時(shí) R 公司占有五分之三的市場(chǎng)份額， 而 S 公司占有五分之二的市場(chǎng)份額， 問兩年后， 兩家公司占有的市場(chǎng)份額變化怎樣？五年后又怎樣？是否有一組初始市場(chǎng)份額分配數(shù)據(jù)使以后每年市場(chǎng)份額分配額定不變？解答：兩年后市場(chǎng)份額R和 S 公司分別為31%和 69%，五年后市場(chǎng)份額R 和 S 公司分別為31%和 69%， R和 S 兩家公司市場(chǎng)穩(wěn)定的初始份額為十三分之四約為31%和十三分之九約為69%。

16、案例十二 -工人工資定價(jià)問題現(xiàn)有一個(gè)木工、一個(gè)電工、一個(gè)油漆工三人相互同意彼此裝修他們自己的房子，在裝修之前，他們約定：(1) 沒人總共工作 10 天( 包括給自己家干活在 ) ；(2) 每人的日工資根據(jù)一般的市價(jià)在6080 元之間； (3) 每人的日工資數(shù)應(yīng)使得每人的總收入與總支出相等，下面的表格是他們工作天數(shù)的分配方案，根據(jù)分配方案表，確定他們每人的日工資 .天數(shù)工種木工電工油漆工.在木工家的工作天數(shù)216在電工家的工作天數(shù)451在油漆工家的工作天數(shù)443解：設(shè) x1, x2 , x3 分別表示木工、電工、油漆工的日工資，根據(jù)總收入等于總支出，建立方程組2 x1x26x310 x14x15x2x310 x2整理得齊次線性方程組4x14x23x310x38x1x26x304x15x2x30解出方程組的全部解為4x14x27x3031x1368x2k其中 k 為任意實(shí)數(shù) ).(9x31由于日工資在 6080 元之間，故取 k72 , 得日工資分別為x162, x264, x372 .案例十四一制造商生產(chǎn)三種不同的化學(xué)產(chǎn)品A、B、C，每種產(chǎn)品都需要經(jīng)過兩種機(jī)器M和N的制作。而生產(chǎn)每一噸不同的