線性代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例

1、線性代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例1 基因間“距離”的表示在 ABO 血型的人們中，對(duì)各種群體的基因的頻率進(jìn)行了研究。如果我們把四種等位基因 A 1，A 2，B，O 區(qū)別開，有人報(bào)道了如下的相對(duì)頻率，見(jiàn)表 1.1。表 1.1 基因的相對(duì)頻率愛(ài)斯基摩人 f1 i班圖人 f 2 i英國(guó)人 f3i朝鮮人 f4 iA10.29140.10340.20900.2208A20.00000.08660.06960.0000B0.03160.12000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合計(jì)1.0001.0001.0001.000問(wèn)題一個(gè)群體與另一群體的接近程度如何？換句話說(shuō)，

2、就是要一個(gè)表示基因的“距離”的合宜的量度。解有人提出一種利用向量代數(shù)的方法。首先，我們用單位向量來(lái)表示每一個(gè)群體。為此目的，我們?nèi)∶恳环N頻率的平方根，記xkifki .由于對(duì)這四種群44體的每一種有f ki 1 ，所以我們得到xki21.這意味著下列四個(gè)向量的每個(gè)都i 1i 1是單位向量 .記x11x21x31x41a1x12x22x32x42, a2, a3, a4.x13x23x33x43x14x24x34x44Word 文檔在四維空間中，這些向量的頂端都位于一個(gè)半徑為1 的球面上 .現(xiàn)在用兩個(gè)向量間的夾角來(lái)表示兩個(gè)對(duì)應(yīng)的群體間的“距離”似乎是合理的 .如果我們把 a1 和2 之間的夾角記

3、為，那么由于12，再由只公式，得a| a |=| a |=1cosa1 a2而0.53980.32160.00000.2943a1, a2.0.17780.34640.82280.8307故cosa1 a20.9187得23.2°.按同樣的方式，我們可以得到表1.2.表 1.2基因間的“距離”愛(ài)斯基摩人班圖人英國(guó)人朝鮮人愛(ài)斯基摩人0°23.2 °16.4 °16.8 °班圖人23.2 °0°9.8 °20.4 °英國(guó)人16.4 °9.8 °0°19.6 °朝鮮人16

4、.8 °20.4 °19.6 °0°由表 1.2可見(jiàn)，最小的基因“距離”是班圖人和英國(guó)人之間的“距離” ，而愛(ài)斯基摩人和班圖人之間的基因“距離”最大.2Euler的四面體問(wèn)題問(wèn)題 如何用四面體的六條棱長(zhǎng)去表示它的體積？這個(gè)問(wèn)題是由 Euler （歐拉）提出的 .解 建立如圖 2.1 所示坐標(biāo)系，設(shè) A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（a1,b 1,c 1）,( a2 ,b 2,c 2) 和（ a3,b 3 ,c 3），并設(shè)四面體 O-ABC的六條棱長(zhǎng)分別為 l , m,n, p, q, r. 由立體幾何知道，該四面體的體積V 等于以向量 OA,OB, OC 組成

5、右手系時(shí)， 以它們?yōu)槔獾钠叫蠾ord 文檔1六面體的體積 V6 的6 . 而a1b1c1V6OA OB OC a2b2c2 .a3b3c3a1b1c1于是得6V a2b2c2 .a3b3c3將上式平方，得a1b1c1a1b1c136V 2a2b2c2a2b2c2a3b3c3a3b3c3a12b12c12a1a2b1b2c1c2a1a3b1b3c1c3a1a2b1b2c1c2a22b22c22a2a3b2 b3c2c3 .a1 a3b1b3c2 c3a2a3b2b3c2 c3a32b32c32根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有222OA OAa1b1c1 ,OA OCa1a3b1b3OA OB a1

6、a2 c1c3 , OB OB c2c3, OC OCb1b2c1c2 ,a22b22c22a32b32c32.于是OA OAOA OBOA OC36V 2OAOBOB OBOBOC .（2.1）OAOCOB OCOCOC由余弦定理，可行p2q 2n2OA OB p q cos2.同理OA OCp2r 2m2 , OB OCq2r 2l 2 .22將以上各式代入（ 2.1）式，得Word 文檔p2p2q2n2p 2r 2m22236V 2p2q 2n2p2p2r 2l 2.（2.2）22p2r 2m2p2r 2l 2r 222這就是 Euler 的四面體體積公式 .例一塊形狀為四面體的花崗巖巨

7、石，量得六條棱長(zhǎng)分別為l=10m,m=15m,n=12m,p=14m,q=13m,r =11m.則p2 q2 n2 110.5,p2 r 2m246,p2 r 2 l 295.222代入（ 2.1）式，得196110.54636V 2110.5169951369829 .75.4695121于是V 238050.82639(195m3 )2 .即花崗巖巨石的體積約為195m3.古埃及的金字塔形狀為四面體，因而可通過(guò)測(cè)量其六條棱長(zhǎng)去計(jì)算金字塔的體積 .3 動(dòng)物數(shù)量的按年齡段預(yù)測(cè)問(wèn)題問(wèn)題某農(nóng)場(chǎng)飼養(yǎng)的某種動(dòng)物所能達(dá)到的最大年齡為15 歲，將其分成三個(gè)年齡組：第一組， 0 5 歲；第二組， 6 10

8、歲；第三組， 11 15 歲 .動(dòng)物從第二年齡組起開始繁殖后代，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)，第二組和第三組的繁殖率分別為4和3.第一年齡和第二年齡組的動(dòng)物能順利進(jìn)入下一個(gè)年齡組的存活率分別為1和214 .假設(shè)農(nóng)場(chǎng)現(xiàn)有三個(gè)年齡段的動(dòng)物各100 頭，問(wèn) 15 年后農(nóng)場(chǎng)三個(gè)年齡段的動(dòng)物各有多少頭？問(wèn)題分析與建模因年齡分組為5 歲一段，故將時(shí)間周期也取為 5 年.15 年后就經(jīng)過(guò)了 3 個(gè)時(shí)間周期 .設(shè) i( k) 表示第k個(gè)時(shí)間周期的第i組年齡階段動(dòng)物的數(shù)xWord 文檔量（ k=1，2，3；i=1，2，3）.因?yàn)槟骋粫r(shí)間周期第二年齡組和第三年齡組動(dòng)物的數(shù)量是由上一時(shí)間周期上一年齡組存活下來(lái)動(dòng)物的數(shù)量，所以有x2

9、(k )1 x1( k 1) , x3(k)1 x2(k 1)(k 1,2,3).24又因?yàn)槟骋粫r(shí)間周期， 第一年齡組動(dòng)物的數(shù)量是由于一時(shí)間周期各年齡組出生的動(dòng)物的數(shù)量，所以有x1( k )4x2(k 1)3x3(k 1)( k1,2,3).于是我們得到遞推關(guān)系式：用矩陣表示x1(k)x2(k)x3(k)x1(k )4x2(k 1)3x3k 1,x2k1x1( k 1) ,2x3(k )1x2(k 1).40 4 3 x1(k 1)100x2(k 1)(k 1,2,3).21x3(k 1)0 04則x(k )Lx (k 1)(k1,2,3).其中0431000L100,x (0 )1000 .

10、211000004則有x1( k )x( k )x2(k )(k1,2,3),x3(k )Word 文檔04310007000x(1)Lx (0)1001000500,21100025000404370002750x (2)Lx (1)1005003500,21250125004043275014375x( 3)Lx ( 2)10035001375 .21125875004結(jié)果分析15 年后，農(nóng)場(chǎng)飼養(yǎng)的動(dòng)物總數(shù)將達(dá)到16625 頭，其中 05 歲的有 14375 頭，占 86.47%，610 歲的有 1375 頭，占 8.27%，11 15 歲的有 875頭，占5.226%.15 年間 ，動(dòng)物

11、 總增 長(zhǎng)16625-3000=13625 頭，總 增長(zhǎng)率 為13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情況，可通過(guò)研究式x( k)Lx ( k 1)Lk x (0 ) 中當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)的極限狀況得到.關(guān)于年齡分布的人口預(yù)測(cè)模型 我們將人口按相同的年限（比如 5 年）分成若干年齡組， 同時(shí)假設(shè)各年齡段的田、 女人口分布相同， 這樣就可以通過(guò)只考慮女性人口來(lái)簡(jiǎn)化模型 .人口發(fā)展隨時(shí)間變化，一個(gè)時(shí)間周期的幅度使之對(duì)應(yīng)于基本年齡組間距（如先例的 5 年），令 xi(k ) 是在時(shí)間周期 k 時(shí)第 i 個(gè)年齡組的（女性）人口， i=1,2,n.用 1 表示最低年齡組，用n 表示最高年

12、齡組，這意味著不考慮更大年齡組人口的變化 .假如排除死亡的情形，那么在一個(gè)周期第 i 個(gè)年齡組的成員將全部轉(zhuǎn)移到 i+1 個(gè)年齡組 .但是，實(shí)際上必須考慮到死亡率，因此這一轉(zhuǎn)移過(guò)程可由一存活系數(shù)所衰減 . 于是，這一轉(zhuǎn)移過(guò)程可由下述議程簡(jiǎn)單地描述：( k )( k 1)xi 1bi xi(i1,2, n1),Word 文檔其中 bi 是在第 i 個(gè)年齡組在一個(gè)周期的存活率，因子bi 可由統(tǒng)計(jì)資料確定.惟一不能由上述議程確定的年齡組是x1(k ) , 其中的成員是在后面的周期出生的，他們是后面的周期成員的后代，因此這個(gè)年齡組的成員取決于后面的周期各組的出生率及其人數(shù).于是有方程x1(k)a1x1

13、(k 1)a2 x2k 1an xn(k 1) ,（ 3.1）這里 ai (i 1,2, n) 是第 i 個(gè)年齡組的出生率， 它是由每時(shí)間周期， 第 i 個(gè)年齡組的每一個(gè)成員的女性后代的人數(shù)來(lái)表示的，通?？捎山y(tǒng)計(jì)資料來(lái)確定.于是我們得到了單性別分組的人口模型，用矩陣表示便是x1(k )x2(k )x3(k )xn(k )或者簡(jiǎn)寫成a1a2a3an 1anx1( k 1)b10000x2(k 1)0 b2000x3( k 1),000bn 10xn(k 1)x( k )Lx (k 1) .（ 3.2）矩陣a1a2a3an 1anb10000L 0b2000000bn 10稱為 Leslie 矩陣

14、 .由（ 3.2）式遞推可得x( k)Lx ( k 1) Lk x(0)這就是 Leslie 模型 .4 企業(yè)投入產(chǎn)生分析模型問(wèn)題某地區(qū)有三個(gè)重要產(chǎn)業(yè)， 一個(gè)煤礦、一個(gè)發(fā)電廠和一條地方鐵路.開采一元錢的煤，煤礦要支付0.25 元的電費(fèi)及 0.25 元的運(yùn)輸費(fèi) .生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠要支付 0.65 元的煤費(fèi)， 0.05 元的電費(fèi)及 0.05 元的運(yùn)輸費(fèi) .創(chuàng)收一元錢的運(yùn)Word 文檔輸費(fèi) ,鐵路要支付 0.55 元的煤費(fèi)及 0.10 元的電費(fèi) .在某一周，煤礦接到外地金額為50000 元的定貨，發(fā)電廠接到外地金額為25000 元的定貨，外界對(duì)地方鐵路沒(méi)有需求 .問(wèn)三個(gè)企業(yè)在這一周總產(chǎn)值多少

15、才能滿足自身及外界的需求？數(shù)學(xué)模型設(shè) x1 為煤礦本周的總產(chǎn)值，x2為電廠本周的總產(chǎn)值，3為鐵路本x周的總產(chǎn)值，則x1(0 x10.65x20.55 x3 )50000,x2(0.25x10.05 x20.10 x3 )25000,（ 4.1）x3(0.25x10.05x20 x3 )0,即x100.650.55x150000x20.250.050.10x225000 .x30.250.050x30即x100.650.5550000Xx2, A0.250.050.10,Y25000 .x30.250.0500矩陣 A 稱為直接消耗矩陣， X 稱為產(chǎn)出向量，Y 稱為需求向量，則方程組（4.1）為

16、XAXY,即(E A)X Y，（4.2）其中矩陣 E 為單位矩陣，（ E-A ）稱為列昂杰夫矩陣， 列昂杰夫矩陣為非奇異矩陣 .x100投入產(chǎn)出分析表設(shè) B( EA) 1E, CA 0x20 , D= （1，1，1）C.00x3矩陣 B 稱為完全消耗矩陣，它與矩陣 A 一起在各個(gè)部門之間的投入產(chǎn)生中起平衡作用 .矩陣 C 可以稱為投入產(chǎn)出矩陣，它的元素表示煤礦、電廠、鐵路之間的投入產(chǎn)出關(guān)系 .向量 D 稱為總投入向量，它的元素是矩陣 C 的對(duì)應(yīng)列元素之和，分別表示煤礦、電廠、鐵路得到的總投入 .Word 文檔由矩陣 C，向量 Y ，X 和 D，可得投入產(chǎn)出分析表4.1.表 4.1投入產(chǎn)出分析表

17、單位：元煤礦電廠鐵路外界需求總產(chǎn)出煤礦c11c12c13y1x1電廠c21c22c23y2x2鐵路c31c32c33y3x3總投入d1d2d3計(jì)算求解按（ 4.2）式解方程組可得產(chǎn)出向量X ，于是可計(jì)算矩陣C 和向量 D，計(jì)算結(jié)果如表4.2.表 4.2 投入產(chǎn)出計(jì)算結(jié)果單位：元煤礦電廠鐵路外界需求總產(chǎn)出煤礦036505.9615581.5150000102087.48電廠25521.872808.152833.002500056163.02鐵路25521.872808.150028330.02總投入51043.7442122.2718414.525 交通流量的計(jì)算模型問(wèn)題圖 5.1 給出了某城

18、市部分單行街道的交通流量（每小時(shí)過(guò)車數(shù)）.Word 文檔假設(shè)：（1）全部流入網(wǎng)絡(luò)的流量等于全部流出網(wǎng)絡(luò)的流量； （2）全部流入一個(gè)節(jié)點(diǎn)的流量等于全部流出此節(jié)點(diǎn)的流量 .試建立數(shù)學(xué)模型確定該交通網(wǎng)絡(luò)未知部分的具體流量 .建模與計(jì)算由網(wǎng)絡(luò)流量假設(shè)，所給問(wèn)題滿足如下線方程組：x2x3x4300x4x5500x7x6200x1x 2800x1x5800x7x81000x9400x10x9200x10600x8x3x61000系數(shù)矩陣為01110000000001100000000001100011000000001000100000A0000011000000000001000000000110000

19、0000010010010100增廣矩陣階梯形最簡(jiǎn)形式為Word 文檔100010000080001001000000001000000020000011000005000000010100800B00000110010000000000001040000000000016000000000000000000000000其對(duì)應(yīng)的齊次方程組為x1x50x2x50x30x4x50x6x80x7x 80x90x100?。▁5,x8）為自由取值未知量，分別賦兩組值為（1,0），（ 0,1），得齊次方程組基礎(chǔ)解系中兩個(gè)解向量11,1,0, 1,1,0,0,0,0,0,'20,0,0,0,0, 1

20、, 1,1,0,0'其對(duì)應(yīng)的非齊次方程組為x1x5800x2x5 0x3200x4x5500x6x8800x7x81000x9400x10600賦值給自由未知量（ x5,x8）為（ 0,0）得非齊次方程組的特解Word 文檔x800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600 '于是方程組的通解x* ,12為任意常數(shù)， x 的每一個(gè)分量即為交k1 1k2 2 x其中 k ，k通網(wǎng)絡(luò)未知部分的具體流量，它有無(wú)窮多解.6 小行星的軌道模型問(wèn)題 一天文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道， 他在軌道平面建立以太陽(yáng)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系， 在兩坐標(biāo)軸上取天文測(cè)量單位 （一

21、天文單位為地球到太陽(yáng)的平均距離： 1.4959787× 1011 ）在5個(gè)不同的時(shí)間對(duì)小行星作了5次觀m .察，測(cè)得軌道上5 個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)如表 6.1.表 6.1坐標(biāo)數(shù)據(jù)x1x2x3x4x5X 坐標(biāo)5.7646.2866.7597.1687.408y1y2y3y4y5Y 坐標(biāo)0.6481.2021.8232.5263.360由 Kepler（開普勒）第一定律知， 小行星軌道為一橢圓 .現(xiàn)需要建立橢圓的方程以供研究（注：橢圓的一般方程可表示為a1x 22a2 xya3 y 22a4 x2a5 y10 .問(wèn)題分析與建立模型天文學(xué)家確定小行星運(yùn)動(dòng)的軌道時(shí)，他的依據(jù)是軌道上五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)

22、：（ x1, y1） ,（ x2, y2） ,（ x3, y3） ,（ x4, y4） ,（ x5, y5） .由 Kepler 第一定律知，小行星軌道為一橢圓.而橢圓屬于二次曲線，二次曲線的一般方程為a1 x22a2 xya3 y22a4 x2a5 y10 .為了確定方程中的五個(gè)待定系數(shù)，將五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入上面的方程，得a1 x122a2 x1 y1a3 y122a4 x12a5 y11a x22a x y2a3y22a4x 2a y112222252a1 x322a2 x3 y3a3 y322a4 x32a5 y31a1 x422a2 x4 y4a3 y422a4 x42a5 y41a

23、1 x522a2 x5 y5a3 y522a4 x52a5 y51Word 文檔這是一個(gè)包含五個(gè)未知數(shù)的線性方程組，寫成矩陣x122x1 y1y122x12 y1a11x222x2 y2y222x22 y2a21x322 x3 y3y322x32 y3 a31x422x4 y4y422x42 y4a41x522 x5 y5y522x52 y5a51求解這一線性方程組，所得的是一個(gè)二次曲線方程.為了知道小行星軌道的一些參數(shù) ,還必須將二次曲線方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式:X 2Y21a 2b2由于太陽(yáng)的位置是小行星軌道的一個(gè)焦點(diǎn) ,這時(shí)可以根據(jù)橢圓的長(zhǎng)半軸 a 和短半軸 b 計(jì)算出小行星的近日點(diǎn)和

24、遠(yuǎn)日點(diǎn)距離 ,以及橢圓周長(zhǎng) L .根據(jù)二次曲線理論 ,可得橢圓經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移兩種變換后的方程如下:X 2Y 2D102CD; 橢 圓 短 半 軸 : bD所 以 , 橢 圓 長(zhǎng) 半 軸 : a;橢圓半焦1 C2 C矩 : ca2b2 .計(jì)算求解首先由五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)形成線性方程組的系數(shù)矩陣33.22377.47010.419911.5281.29239.513815.11151.444812.57202.4040A 45.6841 24.6433 3.3233 13.5180 3.646051.3802 36.2127 6.3807 14.3360 5.052055.9504 50.2656

25、11.2896 14.9600 6.7200使用計(jì)算機(jī)可求得(a1 , a2 , a3 , a4 , a5 )(0.6143,0.3440,0.6942,1.6351, 0.2165)從而a1a20.61430.3440Ca30.34400.6942a2C 0.3081,C 的特征值 1 0.3080, 21.0005Word 文檔a1a2a30.61430.34401.6351Da2a3a50.34400.69420.2165a4a511.63510.21651D1.8203.于是 ,橢圓長(zhǎng)半軸 a=19.1834,短半軸 b=5.9045, 半焦距 c=18.2521. 小行星近日點(diǎn)距和遠(yuǎn)

26、日點(diǎn)距為 hac039313, Hac37.4355最后 ,橢圓的周長(zhǎng)的準(zhǔn)確計(jì)算要用到橢圓積分,可以考慮用數(shù)值積分解決問(wèn)題,其近似值為 84.7887.7 人口遷移的動(dòng)態(tài)分析問(wèn)題對(duì)城鄉(xiāng)人口流動(dòng)作年度調(diào)查,發(fā)現(xiàn)有一個(gè)穩(wěn)定的朝向城鎮(zhèn)流動(dòng)的趨勢(shì):每年農(nóng)村居民的2.5%移居城鎮(zhèn) ,而城鎮(zhèn)居民的 1%遷出 .現(xiàn)在總?cè)丝诘?0%位于城鎮(zhèn) .假如城鄉(xiāng)總?cè)丝诒３植蛔?,并且人口流動(dòng)的這種趨勢(shì)繼續(xù)下去 ,那么一年以后住在城鎮(zhèn)人口所占比例是多少 ?兩年以后呢 ?十年以后呢 ?最終呢 ?解 設(shè)開始時(shí) ,令鄉(xiāng)村人口為 y0 , 城鎮(zhèn)人口為 z0 , 一年以后有鄉(xiāng)村人口975 y01 z0y1,1000100城鎮(zhèn)人口2

27、5 y099 z0z1,1000100或?qū)懗删仃囆问統(tǒng)19751y0 .1000100z12599z01000100兩年以后 ,有975197512y2y1y010001001000100. .z22599 z12599z010001001000100十年以后 ,有Word 文檔975110y10y01000100.z102599z01000100事實(shí)上 ,它給出了一個(gè)差分方程 : uk 1Auk .我們現(xiàn)在來(lái)解這個(gè)差分方程.首先9751A 1000 100 ,25991000100k 年之后的分布 (將 A 對(duì)角化 ):2k52ykAk y01193077y0 .5200zkz01155z0

28、1077這就是我們所要的解 ,而且容易看出經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)一個(gè)時(shí)期以后這個(gè)解會(huì)達(dá)到一個(gè)極限狀態(tài)y2( y0 z0 )7 .z57總?cè)丝谌允?y0 z0 ,與開始時(shí)一樣 ,但在此極限中人口的5 在城鎮(zhèn) ,而 2 在鄉(xiāng)村 .無(wú)論初始分77布是什么樣 ,這總是成立的 .值得注意這個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)正是A 的屬于特征值1 的特征向量 .上述例子有一些很好的性質(zhì):人口總數(shù)保持不變,而且鄉(xiāng)村和城鎮(zhèn)的人口數(shù)決不能為負(fù).前一性質(zhì)反映在下面事實(shí)中 :矩陣每一列加起來(lái)為1;每個(gè)人都被計(jì)算在,而沒(méi)有人被重復(fù)或丟失 .后一性質(zhì)則反映在下面事實(shí)中:矩陣沒(méi)有負(fù)元素 ;同樣地 y0 和 z0 也是非負(fù)的 ,從而 y1 和 z1, y2 和

29、 z2等等也是這樣 .8常染色體遺傳模型為了揭示生命的奧秘 ,遺傳學(xué)的研究已引起了人們的廣泛興趣.動(dòng)植物在產(chǎn)生下一代的過(guò)程中 ,總是將自己的特征遺傳給下一代,從而完成一種 “生命的延續(xù) ”.在常染色體遺傳中 ,后代從每個(gè)親體的基因?qū)χ懈骼^承一個(gè)基因,形成自己的基因?qū)?.人類眼睛顏色即是通過(guò)常染色體控制的,其特征遺傳由兩個(gè)基因A 和 a 控制 .基因?qū)κ?AA和 Aa 的人 ,眼睛是棕色 ,基因?qū)κ?aa 的人 , 眼睛為藍(lán)色 .由于 AA 和 Aa 都表示了同一外部特征 ,或認(rèn)為基因 A 支配 a ,也可認(rèn)為基因 a 對(duì)于基因 A 來(lái)說(shuō)是隱性的 (或稱 AWord 文檔為顯性基因 , a 為隱性基因 ).下面我們選取一個(gè)常染色體遺傳植物后代問(wèn)題進(jìn)行討論.某植物園中植物的基因型為AA , Aa , aa .人們計(jì)劃用AA 型植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代.經(jīng)過(guò)若干年后 ,這種植物后代的三種基因型分布將出現(xiàn)什么情形?我們假設(shè) an ,bn , cn (n0,