分段函數(shù)專題

1、分段函數(shù)專題定義：一般地，如果有實(shí)數(shù) ai, a2, a3ki,k, 2k3bi,b2,b3且 ai<a2< st函數(shù)丫與自變量X之間存在kix+bi x < aiy = Jk 2x+b2 a i < x< a2K3x+b3 a 2<x< a3的函數(shù)解析式，那么稱該函數(shù)解析式為 X的分段函數(shù)。類型一分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題話費(fèi)，電費(fèi)，水費(fèi) 話費(fèi)中的分段函數(shù)例i某移動(dòng)公司采用分段計(jì)費(fèi)的方法來(lái)計(jì)算話費(fèi)，月通話時(shí)間x分鐘與相應(yīng)話費(fèi)y元之間的函數(shù)圖象如圖 i所示：1月通話為i00分鐘時(shí)，應(yīng)交話費(fèi) _元； 2當(dāng)x> i00時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;水費(fèi)中的分段函數(shù)

2、3月通話為280分鐘時(shí)，應(yīng)交話費(fèi)多少元？d叭元411/20Pl丨.100300価暫例2某自來(lái)水公司為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，采取了按月用水量分段收費(fèi)方法，某戶居民應(yīng) 交水費(fèi)y元與用水量x噸的函數(shù)關(guān)系如圖2. 分別寫出當(dāng)0 < x < i5和x> i5時(shí),y與x的函數(shù)關(guān)系式2假設(shè)某戶該月用水 2i噸,那么應(yīng)交水費(fèi)多少元？電費(fèi)中分段函數(shù)例3今年以來(lái)，廣東大局部地區(qū)的電力緊缺，電力公司為鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，采取按月用 電量分段收費(fèi)方法，假設(shè)某戶居民每月應(yīng)交電費(fèi)y元與用電量 x度的函數(shù)圖象是條折線如圖3所示，根據(jù)圖象解以下問(wèn)題：i分別寫出當(dāng)0< x < i00和x> i0

3、0時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；2利用函數(shù)關(guān)系式，說(shuō)明電力公司采取的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)；3假設(shè)該用戶某月用電 62度，那么應(yīng)繳費(fèi)多少元？假設(shè)該用戶某月繳費(fèi)105元時(shí)，貝U該用戶該月用了多少度電？工程類分段函數(shù)例1某家庭裝修房屋，由甲、乙兩個(gè)裝修公司合作完成,JC.C.1- -才1JOO 130工圍選由甲裝修公司單獨(dú)裝修3天，剩下的工作由甲、乙兩個(gè)裝修公司合作完成.工程進(jìn)度滿足如圖1所示的函數(shù)關(guān)系，該家庭共 支付工資8000元.1完成此房屋裝修共需多少天？2假設(shè)按完成工作量的多少支付工資，甲裝修公司應(yīng)得多少元?1、我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一為了增強(qiáng)居民節(jié)水意識(shí)，某市自來(lái)水公司對(duì)居民用水采用以戶為單位分段計(jì)費(fèi)

4、方法收費(fèi)即一月用水10噸以內(nèi)包括10噸的用戶，每噸收水費(fèi)卞元；一月用水超過(guò) 10噸的用戶，10噸水仍按每噸匚元收費(fèi)，超過(guò)10噸的局部，按每噸心元b> a收費(fèi)設(shè)一戶居民月用水 丁噸，應(yīng)收水費(fèi)，元，與之間的函數(shù)關(guān)系如a 131求；的值；某戶居民上月用水 8噸，應(yīng)收水費(fèi)多少元?2求：的值，并寫出當(dāng)時(shí)，與丁之間的函數(shù)關(guān)系式;(3)居民甲上月比居民乙多用水4噸，兩家共收水費(fèi) 46元，求他們上月分別用水多少噸？2、 從A地向B地打長(zhǎng)途 通話3分鐘內(nèi)收費(fèi)2。4兀，3分鐘后每增加通話時(shí) 間1分鐘加收1元，求通話費(fèi)用y單位：元隨通話時(shí)間x單位：分，變化 的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)的圖象3、為了鼓勵(lì)小強(qiáng)做家務(wù)

5、，小強(qiáng)每月的費(fèi)用都是根據(jù)上月他的家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間所得獎(jiǎng)勵(lì)加上根本生活費(fèi)從父母那里獲取的假設(shè)設(shè)小強(qiáng)每月的家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間為x小時(shí)，該月可得即下月他可獲得的總費(fèi)用為 y元，那么y元和x小時(shí) 之間的函數(shù)圖像如圖5所示.1根據(jù)圖像，請(qǐng)你寫出小強(qiáng)每月的根本生活費(fèi)；父母是如何獎(jiǎng)勵(lì)小強(qiáng)家務(wù)勞動(dòng)的？2假設(shè)小強(qiáng)5月份希望有250元費(fèi)用，那么小強(qiáng)4月份需做家務(wù)多少時(shí)間？4.圉長(zhǎng)期干旱，甲水庫(kù)嘗水量降到了正常水邕的最低值.為灌溉需要，由乙水庫(kù)向甲水庫(kù) 勻速供水，20h后，甲水庫(kù)翻開一個(gè)排灌閘為戀田勻速灌溉.又經(jīng)過(guò)20h,甲水庫(kù)翻開另一 個(gè)排謹(jǐn)閘習(xí)時(shí)灌溉，苒經(jīng)過(guò)卻0L乙水庫(kù)停止供水.甲水庫(kù)每個(gè)排灌閘的灌溉速度相同，閤 中的折

6、線表示甲水庫(kù)蓄水量Q萬(wàn)存與肘局r h之閒的函數(shù)關(guān)系.求；13線段萬(wàn)的函數(shù)表達(dá)式;C2乙水庫(kù)供水速度和甲水庫(kù)一個(gè)排灌閘的灌溉速度；C3乙水庫(kù)停止供水舌，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間甲水庫(kù)蓄水量又降到了正増水位的最低值？二、行程中的分段函數(shù)追擊，相遇.例1、某城市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下，3千米以內(nèi)含3千米收8元，超過(guò)3千米的局部每千米收費(fèi)1.4元。求出應(yīng)收車費(fèi) Y元與出租車行駛路程 X千米之間的函數(shù)關(guān)系式。一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時(shí)間為"丄，兩車之間的距離為' ：1，圖中的折線表示 與止之間的函數(shù)關(guān)系.根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究：(第2題)信息讀取1甲、乙

7、兩地之間的距離為 km；2請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)的實(shí)際意義；圖象理解3求慢車和快車的速度；4求線段丄所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 T的取值范圍； 問(wèn)題解決5假設(shè)第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同.在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇.求第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時(shí)？2、小明同學(xué)騎自行車去郊外春游，以以下圖表示他離家的距離y千米與所用的時(shí)間x小時(shí)之間關(guān)系的函數(shù)圖象.根據(jù)圖象答復(fù)：(1)小明到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方需幾小時(shí)？此時(shí)離家多遠(yuǎn)？12 3 4 5 63、某邊防部接到情報(bào)，近海處有一可疑船只 A正向公海方向行駛， 邊防部迅速派出快艇B追趕。在追趕過(guò)程中

8、，設(shè)快艇B相對(duì)于海岸的 距離為y 1 海里，可疑船只A相對(duì)于海岸的距離為y2 海里，追 趕時(shí)間為t分鐘，圖中LA、LB分別表示y 2 . y 1與t之間的關(guān) 系。1yi與t之間的函數(shù)關(guān)系式為. y2與t之間的函數(shù)關(guān)系式為2當(dāng)A逃到離海岸12海里時(shí)B將無(wú)法對(duì)其進(jìn)行檢查，A逃入 公海前能否將其攔截？分段函數(shù)方案題例1:某旅游景點(diǎn)的門票一張110元，如果一次買10張以上，那么可以打8折， 用X表示旅游團(tuán)的人數(shù)，用y表示購(gòu)置門票的費(fèi)。1用公式函數(shù)解析式法表示購(gòu)置門票的費(fèi)用y元與人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān) 系。2畫出這個(gè)函數(shù)的圖像。3求出旅游團(tuán)人數(shù)為9人、30人時(shí)門票費(fèi)為多少？氐一輛快車從甲地駛往乙地，一輛慢車

9、從乙地駛往甲地.兩車同時(shí)岀發(fā)，勻速行駛設(shè)行駛勺f時(shí), 的時(shí)間為蠱時(shí)幾兩半3聞夠盟胃為y 千米人圖中的折線表示從兩車出發(fā)至快車到達(dá)乙 地過(guò)程中y與蠱之間的團(tuán)數(shù)關(guān)系快車從C1報(bào)據(jù)圖中信息，求線段也?所在：S陵的函數(shù)解折式和甲乙兩地之間的距離；3. 2022年4月25 ,全國(guó)人大常委會(huì)公布?中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法修正案草 案向社會(huì)公開征集意見一草案規(guī)定，公民全月工薪不超過(guò)3000元的局部不必納稅，超 過(guò)3000元的局部為全月應(yīng)納稅所得額此項(xiàng)稅就按下表分段累進(jìn)計(jì)算.級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率1 不超過(guò)口00元的局部5%2 彰過(guò)1500元至4500元的局部10%3 趙過(guò)4刃0元至9000元的局部20%

10、 1>依據(jù)草案規(guī)定，毎答以下問(wèn)題二1>李工程師的月工薪為£000元'那么他每月應(yīng)當(dāng)納稅多少元？2?假設(shè)某納稅人的月工薪不超過(guò)10000元，地每月的納稅金額能超過(guò)月工薪的8%嗎？假設(shè)能, 溝給出該納稅人的月工薪范圍*假設(shè)不能，i青說(shuō)明理由，x上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線fy*7 rdxl/M-圖1與幾何圖形有關(guān)的分段函數(shù)例1如圖1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1, 0)，點(diǎn)B在直線y段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為1 1A.0, 0B.，一2 2C. 2 2D. :- 1 , 12 2 2 2例2如圖2,在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC、CD、DA運(yùn)動(dòng)至點(diǎn) A停止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,A

11、ABP的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象 如圖2所示，那么 ABC的面積是A、10 B、16C、18D、20ABCP邊按BtCDtA方向運(yùn)動(dòng)，開始以每秒 m個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)，b秒后又恢復(fù)為每秒 m個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,2求m、a、b的值3、如圖1,在矩形ABCD中，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿著四a秒后變?yōu)槊棵?個(gè)單位勻速 ABP的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)1、在矩形ABCD中，AB=3 , BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始按A B C D的方向運(yùn)動(dòng)到 D。 如圖3 1。設(shè)動(dòng)點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路程為x, APD的面積為y。當(dāng)點(diǎn)P與A或D重合時(shí)， y=01寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；2畫出此函數(shù)的圖象。2、如圖，直線li的

12、解析表達(dá)式為y 3x 3 ,且li與x軸交于點(diǎn)D ,直線12經(jīng)過(guò)點(diǎn)A B 的直線li，I2交于點(diǎn)C.1求點(diǎn)D的坐標(biāo)；2求直線12的解析表達(dá)式；3求 ADC的面積；4在直線12上存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P，使得 ADP與厶ADC的面積相等，請(qǐng)直接. 寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).1如圖，直線y kx 6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F,點(diǎn)E的坐標(biāo)為-8, 0，點(diǎn)A的坐 標(biāo)為-6, 0。1求k的值；2假設(shè)點(diǎn)Px , y是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試寫出厶OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；273探究：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， OPA的面積為 號(hào)，并說(shuō)明理由。82如圖，正方形

13、 ABCD的邊長(zhǎng)為5, P為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè) DP的長(zhǎng)為x , ADP的面積為y,1寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，及自變量 x的取值范圍2當(dāng)X取多少時(shí)，y可以取得最大值3當(dāng)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y如何變化？33、直線y x 6與坐標(biāo)軸分別交于 A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從0點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到4達(dá)A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止.點(diǎn)Q沿線段0A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)P沿路線0? B? A 運(yùn)動(dòng).1直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；2丨設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，OPQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；483丨當(dāng)S= 時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn) 0、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的第5四個(gè)頂點(diǎn)M的坐標(biāo).4、如圖，在平

14、面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線y x 于點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)D是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).1求點(diǎn)A, B, C的坐標(biāo).2當(dāng) CBD為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn) D的坐標(biāo).3在直線AB上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)E, D, 0, A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?yA0B5、如圖：直線ykx 3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),OBOA3，點(diǎn)C(x,y)是直線4y= kx+ 3上與A、B不重合的動(dòng)點(diǎn)。 1求直線y kx 3的解析式；2當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí) AOC的面積是6；3過(guò)點(diǎn)C的另一直線CD與y軸相交于D點(diǎn)，是否存在點(diǎn)假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn) C的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。C使厶BCD與厶AOB全等?6. 直線OG BC

15、的函數(shù)關(guān)系式分別為y=x和y=-2x+6,動(dòng)點(diǎn)P(x,0)在0B上移動(dòng) (0<x<3)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；假設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為0, 1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)(它的坐標(biāo)是什么)，AP+CP 最小；設(shè) OBC中位于直線PC左側(cè)局部的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式。7、一次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)A :-6，0，與y軸交于B,假設(shè) AOB的面積為 12,且y隨x的增大而減少，求一次函數(shù)的解析式.8、直線y= x+ 2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,另一直線y=kx+ b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C 1, 0，且把 AOB分成兩局部面積相等，求k和b的值.1如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在正方

16、形的邊上由 Af CD 運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 ts， APD的面積為Scm2，S與t的函數(shù)圖象如以下圖，請(qǐng)答 復(fù)以下問(wèn)題：1點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 s，在CD上運(yùn)動(dòng)的速度為 cm/s， APD的面積S的最大值為 cm2；2求出點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)S與t的函數(shù)解析式；3當(dāng)t為s時(shí)， APD的面積為10cm2.2、如圖1,等邊 ABC中，BC=6cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)， 其中點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向終點(diǎn)B移動(dòng)；點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)， 其中一點(diǎn)到終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止. 連接PQ,設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 x秒.圖2、圖3備用1填空：BQ=, PB=用含x

17、的代數(shù)式表示；2當(dāng)x為何值時(shí)，PQ/ AC ?3當(dāng)x為何值時(shí)， PBQ為直角三角形?3、如圖，矩形 ABCD中，AB=6 , BC=8，點(diǎn)P從A出發(fā)沿Af Bf CD的路線移動(dòng)，設(shè)點(diǎn) P移動(dòng)的路線為x, PAD的面積為y.1寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并在坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象.2求當(dāng)x=4和x=18時(shí)的函數(shù)值.3當(dāng)x取何值時(shí)，y=20,并說(shuō)明此時(shí)點(diǎn) P在矩形的哪條邊上.5、如圖1所示，在直角梯形 ABCD中，AB / DC, / B=90 °動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿梯形 的邊由BtA運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x, ABP的面積為y.把y看作x的函數(shù),6、如圖1,在矩形 ABCD中，A

18、B=12cm , BC=6cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿 AtCtD路 線運(yùn)動(dòng)，到D點(diǎn)停止；點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)，沿DtCtBta運(yùn)動(dòng)，到A點(diǎn)停止.假設(shè)點(diǎn) P、 點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P的速度為每秒1cm，點(diǎn)Q的速度為每秒2cm, a秒時(shí)點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí) 改變速度，點(diǎn)P的速度變?yōu)槊棵隻cm，點(diǎn)Q的速度變?yōu)槊棵?ccm.如圖2是點(diǎn)P出 發(fā)x秒后 APD的面積S仃cm2與x秒的函數(shù)關(guān)系圖象；圖3是點(diǎn)Q出發(fā)x秒后 AQD 的面積S2cm2與x秒的函數(shù)關(guān)系圖象根據(jù)圖象：1求a、b、c的值；2設(shè)點(diǎn)P離開點(diǎn)A的路程為y1 cm，點(diǎn)Q到點(diǎn)A還需要走的路程為y2cm，請(qǐng)分別P與Q相遇時(shí)x寫出改變速度后y1、y2與出發(fā)后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

19、x秒的函數(shù)關(guān)系式，并求出答案1、解：1點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)的速度為 6W=1cm/s，在CD上運(yùn)動(dòng)的速度為 6£=2cm/s, 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)， APD的面積S最大，最大值是.00=18cm2;2PD=6 - 2 t - 12=30 - 2t,?PD=>6 X 30 - 2t=90 - 6t;3當(dāng) 0W詬時(shí)，S=3t,12電05 時(shí)，90 - 6t=10 , t=32 ,3所以當(dāng)t為衛(wèi)s、衛(wèi)s時(shí)， APD的面積為10c3 3： APD的面積為10cm2，即S=10時(shí)，3t=10,t=£當(dāng)m2.2、解：1根據(jù)題意，BQ=x , PB=6 - 2x;2假設(shè) PQ/ AC

20、,有- 'JBA BC即二蘭，解之得：x=2;6 6BQ=2BP ,3當(dāng)/ BPQ=90時(shí)，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，可知 x=2 6 - 2x，解之得：x=-,5當(dāng)/ BQP=90。時(shí)，2BQ=BP , 即 6 - 2x=x ,解之得：x.23、解：1當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，此時(shí) AP=x , AD=8 ,根據(jù)三角形的面積公式可得：y=?AD ?AP= X8 /=4x ,2 2當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，面積不變; 當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y=?AD?DP= X8X 20 - x=80 - 4x, 2 2y=峯(6<x<14)80-4i (14<k<20)DP=6+8+6 - x=20 - x, AD=8根據(jù)三角形的面積公式可得： y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為2當(dāng) x=4 時(shí)，y=4x=4 >4=16 ,當(dāng) x=18 時(shí)，y=80 - 4X18=8 ;3當(dāng)y=4x=20，解得x=5，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB上, 當(dāng)y=80 - 4x=20，解得x=15，此時(shí)點(diǎn)P在線段CD 上.4、解：1從圖象可知，當(dāng) 6W電時(shí)， ABP面積不變即6WW時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，