證明組合恒等式的方法與技巧

1、證明組合恒等式的方法與技巧摘要 本文是以高中二項式定理和排列組合知識為理論基礎(chǔ)，對幾個常見重要的例題作分析，總結(jié)組合恒等式常見的證明方法與技巧。對組合恒等式的證明方法本文主要講了組合公式法，組合數(shù)性質(zhì)法，二項式定理法，比較系數(shù)法，數(shù)列求和法，數(shù)學(xué)歸納法，組合分析法。關(guān)鍵字 組合，組合數(shù)，組合恒等式，二項式定理Proof Methods and Skills of Combinatorial IdentityABSTRACT This thesis primarily analyses some common but significant examples on the basis of bi

2、nomial theorem and permutation and combination knowledge of senior middle school to summarize the common demonstrating methods and technique of combinatorial identity. For combinatorial identity, here it mainly introduces the methods of  combination formula, unitized construction, mathematical

3、induction ，and so on .KEY WORDS combination，combinatorial identity，binomial theorem 前言組合恒等式在數(shù)學(xué)及其應(yīng)用中占有不可忽視的地位,它是以高中排列組合、二項式定理為基礎(chǔ)。組合恒等式的證明有一定的難度和特殊的技巧，且靈活性很強，要求學(xué)生掌握這部分知識，不但要學(xué)好有關(guān)的基礎(chǔ)知識，基本概念和基本技能，而且還要適當(dāng)誘導(dǎo)學(xué)生拓寬思路、發(fā)揮才智，培養(yǎng)解決問題方法多樣化的思想。下面就以例題講解的形式，把證明組合恒等式的常見方法與技巧一一列舉出來。1. 利用組合公式證明組合公式：=例1 求證：m=n 分析： 這是組合恒等式的

4、一個基本性質(zhì)，等式兩邊都只是一個簡單的組合數(shù)。由此，我們只要把組合公式代入，經(jīng)過化簡比較，等號兩邊相等即可。證： m= = m=n.技巧：利用組合公式證明時，只須將等式中的組合數(shù)用公式代入，經(jīng)過化簡比較兩邊即可，此方法思路清晰，對處理比較簡單的等式證明很有效，但運算量比較大，如遇到比較復(fù)雜一點的組合恒等式，此方法不可取。2. 利用組合數(shù)性質(zhì)證明組合數(shù)的基本性質(zhì)：（1）= （2）=+ （3）k =n （4） 例2：求證：分析：等式左邊各項組合數(shù)的系數(shù)與該項組合數(shù)上標(biāo)相等，且各項上標(biāo)是遞增加1的,由此我們聯(lián)想到組合數(shù)的基本性質(zhì)：k =n ，利用它可以將各項組合數(shù)的系數(shù)化為相等，再利用性質(zhì) 可得到證

5、明。證：由k =n 得 n（） n .例3求證：分析： 觀察到，等式左邊各項的組合數(shù)的上標(biāo)和下標(biāo)存在聯(lián)系：上標(biāo)m下標(biāo)，而且各項下標(biāo)是遞增1的。由此我們想到性質(zhì)（2），將左邊自第二項各項裂項相消，然后整理而得到求證。證：由性質(zhì)（2）可得 =+ （iN） 即令i1，2，k1，并將這k1個等式相加，得.技巧：例2和例3的證明分別利用性質(zhì)（3）（5）、（2）此方法的技巧關(guān)鍵在于觀察，分析各項組合數(shù)存在的聯(lián)系，讀者應(yīng)在平時實踐做題總結(jié)，把它們對號入座，什么樣的聯(lián)系用什么樣的性質(zhì)來解決。3. 利用二項式定理證明我們都知道二項式定理：，對于某些比較特殊的組合恒等式可以用它來證明，下面以兩個例子說明31直接代

6、值例4求證：（1）（2）分析：以上兩題左邊的各項組合數(shù)都是以 的形式出現(xiàn)，這樣自然會聯(lián)想到二項式定理。證：設(shè) (1) 令a1，b3，代入，得即，(2) 令a2，b1，代入，得即，.技巧：此方法的關(guān)鍵在于代值，在一般情況，a，b值都不會很大，一般都是0， 1，1，2，2 , 3，3這些數(shù)，而且a，b值與恒等式右邊也有必然的聯(lián)系，如上題中13，21=1,在做題的時候要抓住這點。3. 2求導(dǎo)代值例5求證： （n2） 分析：觀察左邊各項組合數(shù)的系數(shù)發(fā)現(xiàn)不可以直接運用二項式定理，但系數(shù)也有一定的規(guī)律，系數(shù)都是i(i-1) i=2,3,n 我們又知道（xi）=i(i-1)xi-2 由此我們想到了求導(dǎo)的方法

7、。證：對 兩邊求二階導(dǎo)數(shù)，得 令x=1,得 （n2）技巧：此方法證明組合恒等式的步驟是，先對恒等式 兩邊對x求一階或二階導(dǎo)數(shù)，然后適當(dāng)選取x的值代入。4. 利用多項式恒等條件證明（比較系數(shù)法）比較系數(shù)法主要利用二項式定理中兩邊多項式相等的充要條件為同次冪的系數(shù)相等加以證明。例6求證： （范德蒙恒等式）分析：本題若考慮上面所講和方法來證明是比較困難的，注意到等式左邊各項恰是二項展開式中各項二項式系數(shù)的平方，考慮二項展開式 = 和 這兩個展開式乘積中常數(shù)項且好式是 證： =（） （）又有，比較兩邊的常數(shù)項，左邊常數(shù)項為右邊的常數(shù)項為，根據(jù)二項展開式中對應(yīng)項的唯一性，得技巧：此方法關(guān)鍵是適當(dāng)?shù)剡x擇一

8、個已知的恒等式，然后比較兩邊x同次冪的系數(shù)。當(dāng)然，已知恒等式的選擇不是唯一的，例5也可以選擇已知恒等式 ，只須比較恒等式中兩邊含有的系數(shù)即可得證，證明留給讀者。5. 利用數(shù)列求和方法證明我們回到例2，除了上面得證明方法之外，還有沒有其他得證明方法呢？我們觀察，恒等式左邊的各項組合數(shù)的系數(shù)為的等差數(shù)列，現(xiàn)在我們仿照求和公式 的證明可不可以證明例2呢？請看下面證明證：設(shè) 則 得 技巧：此方法的證明有一定的特殊性,分析等式中組合數(shù)系數(shù)的變化規(guī)律尤其重要,知識的遷移在此方法是一個很好的見證。6. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明我們都知道數(shù)學(xué)歸納法，在證明數(shù)列的題目中，我們就體會了數(shù)學(xué)歸納法的好處，只要按照數(shù)學(xué)歸納

9、法的兩個步驟進行就可以了。那么，組合恒等式的證明可不可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明呢？看下面的一個例題例7已知是任意的等差數(shù)列，且n2，求證：分析：由于本題恒等式左邊的各項組合數(shù)系數(shù)是一個不確定的等差數(shù)列，用上面的方法處理就比較困難，又因為等式含有數(shù)列，我們不妨用數(shù)學(xué)歸納法試試。證：i) 當(dāng)n2時，因為所以，故等式成立，ii) 假設(shè)，當(dāng)nk（k2）時等式成立，即對任何等差數(shù)列，有， 則當(dāng)nk1時，利用組合數(shù)性質(zhì)，有 因為根據(jù)歸納假設(shè)，當(dāng)nk時，對任意等差數(shù)列式都成立，所以上式右端的兩個方括號都等于零。于是我們證明了當(dāng)nk1時等式也成立，根據(jù)（1）和（2）可知，等式對n2的任何自然數(shù)都成立。技巧：用本方

10、法證明的思路清晰，只須分兩步進行即可，但歸納法的關(guān)鍵是由“假設(shè)nk成立，推導(dǎo)到nk1也成立”這一步中間的變換過程比較復(fù)雜，在“無路可走”的情況之下，歸納法也是一個好的選擇。7. 利用組合分析方法證明所謂組合分析法就是通過構(gòu)造具體的組合計數(shù)模型，采用了“算兩次”的方法，再根據(jù)組合數(shù)的加法原理和乘法原理得到恒等式兩邊相等。例8證明： （n2）證：算右邊，假設(shè)有2n個球，現(xiàn)要在2n個球中任取出（n1）個，取法有 種，算左邊，把2n個球分成兩堆，每堆個n個，現(xiàn)要 在2n個球在中取出（n1）個，取法是，在第一堆取0個，第二堆?。╪1）個，或第一堆取1個，第二堆 取（n2）個，或或第一堆?。╪1）個，第二

11、堆 取0.再根據(jù)加法原理總的取法有 又因為所以，左右兩邊都是在2n個球中取出（n1）個球，因此有， （n2）技巧：用組合分析法證明組合恒等式的步驟是：選指出式子的一邊是某個問題的解，然后應(yīng)用加法原理和乘法原理等去證明式子的另一邊也是該組合問題的解。用此方法也可以證明例6，證明過程非常簡潔，讀者不妨試試。8結(jié)束語關(guān)于組合恒等式的證明方法還有很多，例如，微積分法，二項式反演公式法，幾何法等等。本文介紹的主要是幾種常見的方法，而且以上的方法是以高中知識為基礎(chǔ)，也可以說是組合恒等式證明的初等方法。通過學(xué)習(xí)，我們要學(xué)會具體問題具體分析和解決問題多樣化的思想。順便指出，以上例題的解法不是唯一的，本文也有提及。細心的讀者也可以留意到，各種方法之間也存在著一定的聯(lián)系，在這里就不再累贅了，有興趣的讀者可以研究一下。參考文獻:1曹汝成.組合數(shù)學(xué)M.廣州:華南理工大學(xué)出版社,2004.2何宗祥.漫談組合恒等式的證明J.中國數(shù)學(xué)月刊,1994(2).3周棉剛.關(guān)于組合恒等式的幾種證法J. 黔南民族師范學(xué)院學(xué)報,2003(3).4侯為波,卓澤強.古典概型在排列組