可化為一元一次方程的分式方程

1、§ 17.3可化為一元一次方程的分式方程激活思維1 看下面的問題：某市今年 1月1日起調(diào)整居民用水價格，每立方米水費上漲 25%.小 勇家去年12月份的水費為18元，今年5月份的水費為36元.小勇家去年12月份的 用水量比今年5月份的用水量少6立方米，問去年該市居民用水的價格. 1根據(jù)題目中 的等量關(guān)系設(shè)出未知數(shù)列出方程； 2指出此方程是整式方程還是分式方程.2 分式方程作為一種新方程，如何求出分式方程的解是一個必須解決的問題因為整式 方程的解法已經(jīng)熟悉，你能想出方法把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再借助于整式方程求出35分式方程的解嗎？比方：5 ，這個方程如何求解？x 1 x 33.方程

2、1有增根，試寫出它的增根.x 54 .自從上次賽跑烏龜大勝兔子后，烏龜便成了體育界的名人，又是廣告，又是講演，活 動不斷可螞蟻偏偏不服氣，向烏龜下了挑戰(zhàn)書，我們來看：A烏龜先生匸粗月12日下年兩時蔓，我與你進(jìn)行長跑比霧.兔子兜生做戦判.從小郴樹開蠟跑到相麗B采的大柳樹下，比賽槍聲響后.先是冠軍*螞蟻3月M號2比賽結(jié)束后，螞蟻并沒有取勝烏龜每分鐘比螞蟻多跑0. 2米，提前1分鐘跑到，請你算算它們各自的速度.信息鼠標(biāo)x元，那么今年該市居民用水的價格為1+25% x1 . 1設(shè)去年該市居民用水的價格為元，那么:(125%)x(2)此方程是分式方程.2 因為分式方程與整式方程的不同是分母中含有未知數(shù)，

3、所以去掉分式方程的分母是解決問題的關(guān)縫.對于此題的方程.兩邊同乘(x+1)(x+3)，得3(x+3) = 5 ( x+ 1 )。解這個方程得：x=2.檢驗：當(dāng) x=2 時，(x+1)(x+3)豐 0.原方程的解是 x=2 .3 .在解分式方程時，有時得到的未知數(shù)的值，使原分式方程的分母為零，這樣的根叫原 分式方程的增根，因此 坐 1的增根應(yīng)使x+5=0。即x = 一 5.x 54 .解：設(shè)螞蟻每分鐘跑 x米，烏龜每分鐘跑(x+0.2)米.依題意，得6 1 .x x 2解得x=1.檢驗：x=1是方程的根.x+0.2=1+0.2=1.2 .答：螞蟻每分鐘跑 1米，烏龜每分鐘跑 1.2米.互動研學(xué)教

4、練教材研學(xué)一、可化為一元一次方程的分式方程的解法1 .數(shù)字系數(shù)分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母，將分式方程化為整式方程求解.去分母即在方程兩邊同 乘以最簡公分母，假設(shè)分母可以分解因式，應(yīng)首先分解.由整式方程得到的解，需代人最簡 公分母中檢驗，使最簡公分母不為零的解，才是原方程的解；使最簡公分母為零的解，是 原方程的增根，應(yīng)舍掉.2.含有字母系數(shù)的分式方程的解法此類方程與數(shù)字系數(shù)分式方程的解法根本相同，只是在系數(shù)化為1時.要討論系數(shù)是否為零.增根的產(chǎn)生是由于在去分母時，方程兩邊同乘的整式恰好為零所致是方程變形造成 的，不是解題錯誤方程的增根不是分式方程的根但是增根是變形后所得到的整式方程

5、的根.4 分式方程有增根與無解的關(guān)系不仔細(xì)推敲，會認(rèn)為分式方程無解和分式方程有增根是同一回事事實上并非如此.分式方程有增根，指的是解分分式方程求出的根是原分式方程變形后所得整式方程的2 x 1根，但不是原分式方程的根，即這個根使最簡公分母為0 比方：方程2 ,x 33 x可解得：x=3，而x=3是原方程的增根，此方程無解此題中，分式方程有增根，方程無 解，但并不是說只要有增根方程就無解，等大家進(jìn)入高年級，學(xué)習(xí)了更多的知識，會發(fā)現(xiàn) 有增根的分式方程并不全是無解的.問題：假設(shè)關(guān)于x的方程m無解，求m的值。x 3探究：1將分式方程去分母，整理為：1 一 m x = 一 4 m 當(dāng)1 一 m=0，而4

6、m工0時方程無解.此時，m=l 依據(jù)是形如 ax=b的方程在a=0, b豐0時無解2如果方程的解恰好是原分式方程的增根，原分式方程無解根據(jù)這種思路，可先確定增根后，再求 m的值原方程假設(shè)有增根，增根為x = 3，把x=3代入方程中，求出m =一 3 綜上所述，m= 1或m = 3時，原分式方程無解而此分式方程有增根時，m =一 3結(jié)論：通過本例可以發(fā)現(xiàn)，1現(xiàn)階段學(xué)習(xí)的分式方程有增根時，一定無解；2分式方程無解，可能是因為有增根，也可能是由分式方程轉(zhuǎn)化所得的整式方程ax=b中的a=0、b豐0造成的.三分式方程的應(yīng)用1 .列分式方程客觀世界中存在大量的問題需要用分式方程去解決，當(dāng)我們掌握好相關(guān)的知

7、識和方法 后，就可以運用它們分析和解決實際問題.此類題目接近生活，取材廣泛，做題時，要注意題目的情境，弄清是行程問題、增 長率問題等中的哪一類，當(dāng)然也有一些跨學(xué)科的綜合題，比方：杠桿問題等，無論哪一類 都要根據(jù)相關(guān)的根本量尋找關(guān)系.2 列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：弄清題意；設(shè)未知數(shù)，列出有關(guān)的代數(shù)式；依題意找等量關(guān)系，列出分式方 程；解方程；檢驗：一方面要檢驗所求出的解是否為原方程的根，另一方面還要檢驗 所求的解是否符合實際意義；答。3 編寫符合一定條件的分式方程 開放型題目這類開放型的題目，能很好地反映學(xué)生水平的上下，不同層次的學(xué)生都能解答此類題,這是對學(xué)生綜合能力的考查.點石成金例1 .

8、解方程632(x 1)(x 1) x 1 x 1分析：此類題目考查的是分式方程的解法，只需按照解分式方程的步驟求解.解：方程兩邊同乘以x+1x 1，去分母得，6 3x+1=2x 一 1，解這個方程得，x=1 .檢驗：當(dāng)x=1時，x 一仁0,所以，x=1是原方程的增根，原方程無解。名師點金：分式方程的解法步驟：同乘最簡公分母，化成整式寫清楚，求得解后須驗根, 原根留、增根舍別模糊.在公式 x一m n = l中，求 x m、n為常量，且2n.x n x分析：在此題中x是未知量，m、n為常量，方程本身有意義，題目中隱含著 x+n工0與x 工0的條件，此題實際上是一個以x為未知量的、含有字母系數(shù)的分式

9、方程.方程兩邊同乘以x+nx 得，x + mx 一 x+nn=x+ nx ,整理，得 n2+mx 一 nx n2= x2 + nx, m 一 2nx= n2./ m2n. m 一 2n0.2 n xm 2n名師點金：做這類題最容易犯的錯誤是在系數(shù)化為1時，不進(jìn)行討論.例3 .：分式方程 坐10有增根，求a的值.x 10的根，但x分析：此題考查了對增根的理解，根據(jù)增根的意義，x= 1雖不是1x 1=1是由原方程得到的 ax+ 1 = x- 1的根.解：去分母，原方程可化為ax+1=x 一 1.原分式方程有增根， x=1是方程ax+1 = x l的根，把 x=l代入ax+1 = x 一 1中，解得

10、，a= 1. 名師點金：做此類題首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后找出使公分母為零的未知數(shù)的 值即為增根，最后將增根代入轉(zhuǎn)化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值.例4 .任意寫出一個以 x=3為根，且可以化為一元一次方程的分式方程.分析：此題不僅考查了分式方程、整式方程和解方程的知識，而且還考查了學(xué)生的逆向思 維能力.答案有無數(shù)個，只需寫出一個符合條件的答案即可.3 解：一1x名師點金：解這類題除直接寫出最簡單的答案外，還可以先寫出一個整式方程，然后再將方程兩邊同時倒過來，如：由2x- 3 = x,得12x 3例5.要想富，先修路.某市要修筑一條4 000米長的公路，為了使廣闊市民盡快用

11、上這條路，實際施工時,設(shè)原方案每天修路x米，那么可得方程40004000 20 .根據(jù)此情境，題中用空白處缺少的條件是什么？xx 10解析：x+10表示每天比原方案多修 10米，24000表示實際施工的天數(shù)，方程左邊表x 10示原方案所需天數(shù)與實際施工天數(shù)的差，故可得出結(jié)論答案：要填的條件是：每天比原方案多修10米，結(jié)果提前20天完成任務(wù). 名師點金：此題除考查工程問題中的根本量外，更主要的是考查學(xué)生的創(chuàng)新、分析、綜合 問題的能力要解決這類問題，首先認(rèn)閱讀題目，分析除缺失的條件以外的其他條件與結(jié) 論之間的關(guān)系，采取“兩頭湊的方法，到達(dá)目的.例6:某中學(xué)庫存960套舊桌凳修理后捐助貧困山區(qū)學(xué)校現(xiàn)

12、有甲，乙兩個木工小組都想承攬這項業(yè)務(wù)經(jīng)協(xié)商后得知：甲小組單獨修理這批桌凳比乙小組多用20天；乙小組每天比甲小組多修 8套；學(xué)校每天需付給甲小組修理費80元，付給乙小組120元。(1) 求甲、乙兩個木工小組每天各修桌凳多少套？(2) 在修理桌凳過程中，學(xué)校要委派一名維修工進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)督，并由學(xué)校負(fù)擔(dān)他每天10元的生活補助現(xiàn)有以下三種修理方案供選擇：由甲單獨修理；由乙單獨修理；由甲、乙共同合作修理，你認(rèn)為哪種方案既省 時又省錢？試比擬說明.等量關(guān)系有：乙小組每天比甲小組多修8套：甲小組單獨修理這批桌凳比乙小組多用20天.如果設(shè)甲小組每天修x套，那么乙小組每天修(x+8)套，利用等量關(guān)系甲小組單獨修理

13、這批桌凳比乙小組多用20天就能列出方程.(1)設(shè)甲小組每天修理桌凳 x套。那么乙小組每天修理(x+8)套，依題意得，960 “96020xx 8解這個分式方程得，x=16 .經(jīng)檢驗，x=16是原方程的根并且符合題意。x+8=16+8=24 所以，甲小組每天修理桌凳16套乙小組每天修理 24套(2)假設(shè)甲小組單獨修理.那么需 960十16= 60 (天).總費用：60 X 80+60 X 10=5 400 (元)。假設(shè)乙小組單獨修理，那么需960 - 24=40天.總費用：40 X 120+40 X 10= 5200 (元)：假設(shè)甲、乙兩小組合作：那么需 960-( 24 + 16)= 24 (

14、天)，總費用：(80+120 )X 24 + 24 X 10 = 5040 (元)所以，第種方案既省時又省錢。名師點金：選擇最正確方案的問題有兩種常用的方法：1計算法，通過對所有方案的計算，找出每一種方案所需要的條件， 比擬得出最好的方案.2推理法，通過邏輯椎理, 分析判斷選出最好方案。同步演練根底穩(wěn)固題ax 331.關(guān)于x的方程-的解為x=1，貝V a為 a x 4A . 1 B. - C .一 1 D .一 - 2某廠接到加工720件衣服的訂單，預(yù)計每天做 48件，正好按時完成，后因客戶要求提前5天交貨，設(shè)每天應(yīng)多做 x件，那么x應(yīng)滿足的方程為7207205B.720720AA .u48x

15、484848 x7207205D.720720匸C.548x4848 x3.方程x1-的解與方程mx5的解相同，求mx1x 24.解方程：14x4x2165.近年來，由于受國際石油市場的影響，汽油價格不斷上漲。請你根據(jù)圖17 - 1的信息，幫小明計算今年五月份汽油的價格只列出方程不求解令勺：«月伽蚩弋丫由廠瞥甲汽汕f昭比 月解升軒記腳左欲車6.據(jù)聯(lián)合國?200-年全球投資報告?指出，中國2002年吸收外國投資額達(dá) 5-0億美元,居全球第二位，比上一年增加了13% .設(shè)2001年我國吸收外國投資額為x億美元，請你寫出x滿足的方程.(1)你能寫出幾個？(2 )其中哪一個是分式方程 ？7小

16、強家、王老師家、學(xué)校在同一條路上，小強家到王老師家的路程為3千米，王老師家到學(xué)校的路程為 0. 5千米，由于小強的父母戰(zhàn)斗在抗“禽流感第一線，為使他能按時到校，王老師每天騎自自車接他上學(xué).王老師騎自行車的速度為步行速度的3倍,每天比平時步行上班多用20分鐘，問王老師騎自行車的速度是每小時多少千米小強家王老師家學(xué)校圖 17-3-2探究提高題&在一次物理測驗中，有 m個同學(xué)得a分，n個同字得b分，那么這局部同學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是()a b1 a bA.B.( )m n2 m n1ma nbC. -(ambm)D.2m nx m419.關(guān)于x的方程的解為x =，貝U m =m(x 1)551k10

17、 方程22有增根，求k的值.4 xx 2500元，所有房11 某單位將沿街的一局部房屋出租，每間房屋的租金第二年比第一年多屋的租金第一年為 9. 6萬元，第二年為10. 2萬元.(1) 你能找出這一情境中的研究對象嗎(2) 你能找出這一情境中的等量關(guān)系嗎(3) 根據(jù)這一情境你能提出哪些問題(4) 解決提出的問題.拓展延伸題 閱讀以下材料:111 1方程 一 的解是x=1 ；x 1 x x 2 x 31 1 1 1方程一 一 的解是x=2 ;x x 1 x 3 x 4 1111方程 一 一 的解是x= 3;x 1 x 2 x 4 x 5(1)請觀察上述方程與解的特征給出能反映方程一般規(guī)律的方程，

18、并求出這個方程的解;(2)根據(jù)(1)中得到的結(jié)論，寫出一個解為一10的分式方程.13. 看下面的問題：濟(jì)寧到濟(jì)南公路長 360千米，為適應(yīng)兩地經(jīng)濟(jì)開展的要求，客車的速度每小時比原來增加了 10千米，這樣使客車由濟(jì)寧到濟(jì)南的時間減少了2小時，求客車原來以及現(xiàn)在的速度.假設(shè)設(shè)客車原來的速度為每小時360360可得萬程為：x x 10假設(shè)設(shè)客車提速后的速度為每小時x千米，那么由題意2 ；x千米，那么由題意可得方程為：蟲竺 型 2 .x 10 x請仿照上面的應(yīng)用題，編一道類似的應(yīng)用題，滿足下面的兩個條件：(1)不改變分式方程的形式；(2)改變實際背背景和數(shù)據(jù).14. 2004年8月中旬，某市受臺風(fēng)“云娜的影響后，局部街道路面積水比擬嚴(yán)重，為了改善這一狀況，市政公司決定將一總長為1200m的排水工程承包給甲、乙兩工程隊來施工假設(shè)甲、乙兩隊合做需 12天完成此項工程；假設(shè)甲隊先做了 8天，剩下的由乙隊單獨做 還需18天才能完工問甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需多少天？又甲隊每施工一天需要費用2萬元，乙隊每施工一天需要費用1萬元，要使完成該工程所需費用不超過35萬元，那么乙工程隊至少要施工多少天？中考模擬題x15. ( 2006 浙江紹興)當(dāng) x =時，分式 的值為0。x 116. (