線性方程與常數(shù)變易法

1、§2.2 線性方程與常數(shù)變易法教學(xué)目的了解一階線性方程形式，熟練掌握求一階非齊線性方程解的常數(shù)變易法及伯努利（Bernoulli）方程教學(xué)要求利用常數(shù)變易法解一階非齊線性方程，掌握伯努利（Bernoulli）方程的求解方法教學(xué)重點(diǎn)常數(shù)變易法；伯努利（Bernoulli）方程的求解方法教學(xué)難點(diǎn)常數(shù)變易法思想的理解；求伯努利方程的解變量替換法。教學(xué)方法講練結(jié)合教學(xué)法、提問式與啟發(fā)式相結(jié)合教學(xué)法。教學(xué)手段傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合。一階線性微分方程 在a(x)0的區(qū)間上可以寫成 (1)這里假設(shè)p(x)，Q(x)在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù)。若 Q(x)0，則(1)變?yōu)?(2)(2)稱

2、為一階齊次線性方程。若Q(x)0，(1)稱為一階非齊次線性方程。一、 一階線性微分方程解法常數(shù)變量法 解法（a）對(duì)應(yīng)的齊次方程 得對(duì)應(yīng)齊次方程解 y=cep(x)dx c為任常數(shù) （b）常數(shù)變易法求解（將常數(shù)變?yōu)閤的待定函數(shù)c(x)，使它成為（1）的解，從而求出c(x)）令 y=c(x)ep(x)dx 為(1)的解，則 代入(1)得 積分得 c(x)=Q(x)e-p(x)dxdx+c （1)的通解為 y=ep(x)dx(Q(x)e-p(x)dxdxc) （3）注：求(1)的解可直接用公式(3)。例1、 求方程 的通解，這里為n常數(shù)。解：將方程改寫為 首先，求齊次線性方程 的通解。從分離變量得

3、積分得 |y|=n|x+1|+c1故對(duì)應(yīng)齊次線性方程通解為 y=c(x+1)n其次應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊次線性方程的通解，令 y=c(x)(x+1)n 為原方程的解，代入得即 積分得 c(x)=ex+c因此，原方程的通解為 y=(x+1)n(ex+c)，c為任常數(shù)。例2、求方程 的通解。解：原方程不是未知函數(shù)的線性方程，但將它改寫為 即把x看作未知函數(shù)，y看作自變量，這樣，對(duì)于x及來(lái)說，上面方程為線性方程。故其通解為(這里p(y)=，Q(y)=-y)X=ep(y)dy(Q(y)e-p(y)dydy+c) =c)=y2(c|y|) c為任常數(shù)。例2、 求初始值問題 ，y(1)=1的解。解：首先求方

4、程的通解（p(x)=，Q(x)=4x21） 將初始條件代入后得: 故所給初始方程的解為 二伯努利（Bernoalli）方程 形如 的方程，稱為伯努利方程。這里為的連續(xù)函數(shù)。 解法， 引入變量變換方程變?yōu)?求以上線性方程得通解。 變量還原。 例4求方程 的通解 解：這是一個(gè)Bernoalli方程，令代入方程 解以上線性方程得 將代入得所給方程的通解為 三線性微分方程的應(yīng)用舉例。例5RL串聯(lián)電路由電阻，電感和電源所組成的串聯(lián)電路如圖所示，其中電阻R，電感L和電源的電動(dòng)勢(shì)E均為常數(shù)，求開關(guān)閉合后電路中的電流強(qiáng)度解：由物理學(xué)中的有電路定律，當(dāng)電路中的電流為時(shí)，在電阻R上的電壓降為R，在電感L上的電壓降為取開關(guān)閉合時(shí)的時(shí)刻為0