第三章 集合論基礎(chǔ)

1、第三章 集合論基礎(chǔ) 1. 如何表示集合?請(qǐng)各舉一例。2. 一般地用謂詞公式描述法定義集合 A :A=x|P(x, 請(qǐng)問(wèn)什么樣的元素屬于 A , 什么樣的元素不屬于 A ?3. 判斷下面命題的真值,并說(shuō)明原因。集合 a與集合 a是相同的集合。4.A 、 B 是集合。試用謂詞公式,表達(dá) A B 、 A=B以及 A B 。5. 證明空集是唯一的。6. 判斷下面命題的真值。對(duì)你的回答,給予證明或者舉反例。1.如果 A B , B C ,則 A C 。2.如果 A B , B C ,則 A C 。7. 判斷下面命題的真值。對(duì)你的回答,給予證明或者舉反例。1.如果 A B , B C ,則 A C 。2.

2、如果 A B , B C ,則 A C 。8. 設(shè) A=a,a,a,b,a,b,c,判斷下面命題的真值。 a A (a A c A a,bA aA9. 判斷下面命題的真值。 a,b a,b,c aa,b,c a,ba,b,c ca,b,c (ca,b,c(a10. 集合 A 的冪集是如何定義的?令 A=1,1,求 A 的冪集 P(A. 11. 設(shè) A=, B=P(P(A。判斷下面命題的真值。1. B 2. B 3. B 4. B 5. B 6. B 12. 填空:設(shè) E 是全集, A 、 B 、 C 是任意集合,則 A E=( A A=( A-A =( A -B( A A -B=A( B A(

3、 A=E13. 給定全集 E=1,2,3,4,5 A=1,2,3 B=2,3,41.求 A 的冪集 P(A2.求 B A14. 給定全集 N=1,2,3,4,.A=1,2,7,8 B= i | i250 C=i | i可被 3整除, 0i 30 D= i |i=2k, ki+, 1k 6 分別求 (1 B-(A C (2 (A B D15. 證明 A B A B=A。16. 證明吸收律:對(duì)任何集合 A 、 B ,有 A (A B=A 。17. 證明 (A-B -C=(A-C -(B-C18. 證明 (A-(B C=(A-B (A-C19. 下面兩個(gè)等式都成立不?對(duì)于你的回答給予證明或者舉反例說(shuō)

4、明之。1. A (B-C=(A B -(A C2. A (B-C = (A B -(A C20. 證明 (A B C=A (B C 當(dāng)且僅當(dāng) C A.21. 證明 (A-B -C=(A-C -B22. 證明下面各式彼此等價(jià)。A B=E, AB, BA.23. 在什么條件下,下面命題為真?1. (A-B (A-C=A2. (A-B (A-C=3. (A-B (A-C=4. (A-B(A-C=24. 判斷下面命題的真值,并說(shuō)明原因。1. A B= A C ,則 B=C。2. A B= A C ,則 B=C。3. A B= AC ,則 B=C。25.A 、 B 、 C 是集合,證明 A B= AC

5、,當(dāng)且僅當(dāng) B=C。26. 設(shè) A , B , C 是有限集合,請(qǐng)寫(xiě)出求 |A B C |的包含排斥原理公式。27. 某個(gè)研究所有 170名職工, 其中 120人會(huì)英語(yǔ), 80人會(huì)法語(yǔ), 60人會(huì)日語(yǔ), 50人會(huì)英語(yǔ)和法語(yǔ), 25人會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ), 30人會(huì)法語(yǔ)和日語(yǔ), 10人會(huì)英語(yǔ)、日語(yǔ)和 法語(yǔ)。問(wèn)有多少人不會(huì)這三種語(yǔ)言?28求 1到 1000之間不能被 5、 6、 8整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。29. 對(duì) 24名科技人員掌握外語(yǔ)的情況進(jìn)行調(diào)查結(jié)果如下:英、日、德、法四種外語(yǔ)中,每個(gè)人至少會(huì)一種;會(huì)英、日、德、法語(yǔ)的人數(shù)分別是 13、 5、 10、 9人;同時(shí)會(huì)英、日語(yǔ)的有 2人;同時(shí)會(huì)英、法語(yǔ)的有 4人

6、;同時(shí)會(huì)德、法語(yǔ)的有 4人;同時(shí)會(huì)英、德語(yǔ)的有 4人;會(huì)日語(yǔ)的人不會(huì)德語(yǔ),也不會(huì)法語(yǔ);問(wèn)這 24人中,只會(huì)一種外語(yǔ)的人各是多少人?同時(shí)會(huì)英、法、德三種語(yǔ)言的人有 多少人?30. 填空。令 . A,B 是有限集合, P(A表示 A 的冪集,已知 |A|=3,且 |P(B|=64, |P(A B|=256, 則 |B|=( , |A B|=( , |A-B|=( , |AB|=( 。31. 令集合 A=1,1,B=1,P(A表示 A 的冪集1. 分別計(jì)算(1 P(A= (2 P(B= 。2.再判斷下面命題的真值,并簡(jiǎn)單說(shuō)明原因。(1 1 P(A, (2.1P(A (3.1 P(B (4.1P(B3

7、. 分別計(jì)算 :(1.A與 B 的笛卡兒積:A B(2.A B(3 P(A-P(B32. 填空:A,B,C 是集合, (A-B (A-C=A,當(dāng)且僅當(dāng) ( 。33. 設(shè) F 表示一年級(jí)大學(xué)生的集合; S 表示二年級(jí)大學(xué)生的集合; M 表示數(shù)學(xué)專業(yè) 學(xué)生的集合; C 表示計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生的集合; D 表示聽(tīng)離散數(shù)學(xué)課學(xué)生的集合; G 表示星期六晚上參加音樂(lè)會(huì)的學(xué)生的集合; ,H 表示星期六晚上很遲才睡覺(jué)的學(xué)生 集合。則將下面各個(gè)句子所對(duì)應(yīng)的集合表達(dá)式分別寫(xiě)在句子后面的括號(hào)內(nèi):(1 所有計(jì)算機(jī)專業(yè)二年級(jí)的學(xué)生在學(xué)離散數(shù)學(xué)課。 ( .(2 這些且只有這些學(xué)離散數(shù)學(xué)課的學(xué)生或者星期六晚上去聽(tīng)音樂(lè)會(huì)的學(xué)生

8、在星 期六晚上很晚才睡覺(jué)。 ( (3 聽(tīng)離散數(shù)學(xué)課的學(xué)生都沒(méi)有參加星期六晚上的音樂(lè)會(huì)。 ( (4 星期六晚上的音樂(lè)會(huì)只有大學(xué)一、二年級(jí)的學(xué)生參加。 ( (5 除去數(shù)學(xué)專業(yè)和計(jì)算機(jī)專業(yè)以外的二年級(jí)的學(xué)生都去參加星期六晚上的音樂(lè) 會(huì)。 ( 34.A 與 B 是全集 E 的子集 , 給定各個(gè)命題以及由這些命題構(gòu)成集合 X, 如下所示 : X=N,P,Q,S,T,U,V,W,Y ,ZN :A -B=A P:A B=B Q:A B S:A B T:B AU :B A V:A B=W :A B=B Y:A B Z:B A又令 R 是 X 上的命題等價(jià)關(guān)系 , 則商集 X/R=( 35.A 與 B 是全集

9、E 的子集 , 給定各個(gè)命題以及由這些命題構(gòu)成集合 X, 如下所示 : X=P,Q,R,S,T,U,V,W,Y,ZP: AB=B Q: BA R: AB S: A B T: AB=BU: AB=V: B A W: A B Y: AB Z: AB=E又令 R 是 X 上的命題之間的等價(jià)關(guān)系 , 則商集 X/R=( 36. 判斷下面命題得真值,并說(shuō)明原因。1. A 、 B 是集合,如果 (A-B (A-C=A,僅當(dāng) B=C=。2. A 、 B 是集合 , 則 A -B=B-A 當(dāng)且僅當(dāng) A=B37. 設(shè) E 是全集, P(A是集合 A 的冪集,則有(1 P(A P(A=P(E (2 P(A P(A

10、=(3 P(A P(B=P(A B這三種說(shuō)法是否正確?并對(duì)你的答案給予證明或者舉反例。38. 令 P(A表示 A 的冪集,全集 E=, A E, 計(jì)算下面各式:(要求有計(jì)算 過(guò)程 1. P(P(;2. P(AP(A;3. P(E-P( 。39. 令 A,B 是集合 , 給出命題如下 :A B=, AB , A=B, B A上述命題中,哪些是彼此等價(jià)的 ? 如果彼此等價(jià)請(qǐng)給予證明。40.10令全集 E=1,2,3, A=1,2, P(A表示集合 A 的冪集。 1. 計(jì)算 P(E-P(A2. 計(jì)算 A E1. 答案:集合的表示方法列舉法:將集合中的元素一一列出,寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)。例如, N=1,2,3

11、,4,描述法:用謂詞公式描述元素的屬性。例如, E=x| x是偶數(shù) 2. 答案:其中 P(x是描述元素 x 的特性的謂詞公式,如果論域內(nèi)客體 a 使得 P(a為真,則 a A ,否則 a A 。3. 答案:命題的真值為 F 。 因?yàn)樗鼈兊脑夭煌?a中元素是 a ,而 a中元 素是 a。4. 答案:謂詞定義:A B x(x A x BA=Bx(x A x BA B x(x A x B x(x B x A5. 答案:證明 假設(shè)有兩個(gè)空集 1、 2 ,則因?yàn)?1是空集,由于空集是任何集合的子集,所以 12。因?yàn)?2是空集,類似得 2 1。所以 1=2 。所以空集是唯一的。6. 答案:1. T ,

12、證明:因?yàn)?B C , A B ,所以 A C 。2. F ,例 A=1 B=1 C=1,2,滿足 A B, BC ,但是不滿足 A C 。 (因?yàn)?1 A 但 1C 。7. 答案:1. F ,舉反例 A=1 B=1,2 C=1,2 滿足 A B, B C ,但是 A C 。2. F , 舉反例 A=1 B=1,2 C=1,2滿足 A B, B C , 但是不滿足 A C 。8. 答案: T ; F ; F ; T ; F 。9. 答案: T ; F ; F ; T ; T 。10. 答案:集合的冪集:由 A 的所有子集構(gòu)成的集合, 稱之為 A 的冪集。 記作 P(A或 2A 。P(A=B|

13、BAA=1,1時(shí), P(A=,1 ,1, 1,1.11. 答案:解:B=P(P(A =P(,=, , ,可見(jiàn) 1、 2、 3、 4、 5、 6中命題均為真。12. 答案: A E=( A A A=( A-A =(A A -B( A A -B=A( B A( A=E13. 答案:解 . P(A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3A=4,5B A=2,3,44,5=2,3,4,5-4=2,3,514. 答案:解 . A=1,2,7,8 B=1,2,3,4,5,6,7C=3,6,9,12,15,18,21,24,27,30D=2,4,8,16,32,64 A=3,4,5,6,9,10,

14、11,12.(1 B-(A C=1,2,3,4,5,6,7-1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30=4,5(2 (A B D=3,4,5,6 D=2,3,4,5,6,8,16,32,6415. 答案:證明:A B=A x(x A B x Ax(x A B x A (x A x A Bx(xA B x A (xA x A Bx(x A x B x A (xA (x A x Bx(xA x B x A (xA (x A x Bx(T (T ( xA x Bx( xA x Bx(x A x B AB16. 答案:證明 A (A B= (A E (A B (同一 = A

15、(E B (分配 = A E=A (零律 (同一 17. 答案:證明:任取 x (A-C -(B-Cx (A-C x (B-C(x A x C (x B x C(x A x C (xB x C(x A x C x B (x A x C x Cx A x C x Bx A x B x C(x A x B x Cx A -B x C x (A-B -C所以 (A-B -C=(A-C -(B-C18. 答案:證明:任取 x A -(B Cx A x (B Cx A (x B x Cx A (xB x C(x A x B (x A x C x A -B x A -Cx (A-B (A-C所以 A -(

16、B C=(A-B (A-C19. 答案:1 成立, 2不成立。證明 1:任取 x (A B -(A C x (A B x (A C(x A x B (x A x C(x A x B (xA x C(x A x B x A (x A x B x C(x A x B x Cx A (x B x Cx A x (B-Cx A (B-C所以 A (B-C=(A B -(A C2.不成立?？梢耘e反例如下:A (A-B=A 而 (A A -(A B=可見(jiàn) A (A-B (A A -(A B 。20. 答案:證明;充分性 已知 C A(A B C=(A C (B C=A (B C ( C A A C=A必要

17、性 已知 (A B C=A (B C任取 x C x (A B C x A (B C x A 所以 C A.21. 答案:方法 1. 任取 x (A-B -C x (A-B x C (x A x B x C(x A x C x B x (A-C x B x (A-C-B所以 (A-B-C=(A-C-B方法 2 (A-B -C=(A B C =(A C B =(A-C -B22. 答案:證明 . A B=E x(x A B x E x(x A B (因 x E 為 T (PT Px(x A x B x(xA x B x(x Ax B AB 同理 A B=E .x(x A x B x(xB x A

18、 x(x Bx A BA所以 A B=E AB BA.23. 答案:1. (A-B (A-C= (A B (A C=A (B C= A (B C=A-(B C=A所以滿足此式的充要條件是:A B C=。2. (A-B (A-C= A-(B C=所以滿足此式的充要條件是:A B C 。3. (A-B (A-C= (A B (A C=A (B C= A (B C=A-(B C=所以滿足此式的充要條件是 : A B C 。4.因當(dāng)且僅當(dāng) A=B,才有 A B=,所以滿足此式的充要條件是 : A-B=A -C 。24. 答案:1.真值為假。例如,當(dāng) A 為全集時(shí),有 A B= A C ,可能有 B C

19、 。2.真值為假。例如,當(dāng) A 為空集時(shí),有 A B= A C ,可能有 B C 。3.真值為真。因?yàn)锳 B= AC ,所以有 A (AB= A (AC ,而 可結(jié)合,所以有 (AA B=(AA C ,又 A A=,所以 B=C 于是得 B=C。 25. 答案:證明:充分性:已知 B=C。顯然有 A B= AC 。必要性:已知 A B= AC 。所以有 A (AB= A (AC ,而 可結(jié)合, 所以有(AA B=(AA C ,又 A A=,所以 B=C 于是 B=C。 最后得 A B= AC ,當(dāng)且僅當(dāng) B=C。26. 答案:|A B C|=|A|+|B|+|C|-|A B|-|A C|-|B

20、 C|+|A B C|27. 答案:解 :令 U 為全集, E 、 F 、 J 分別為會(huì)英語(yǔ)、法語(yǔ)和日語(yǔ)人的集合。 |U|=170|E|=120 |F|=80 |J|=60|E F|=50 |E J|=25 |F J|=30|E F J|=10|E F J|=|E|+|F|+|J|-|E F|-|E J|-|F J|+|E F J| = 120+80+60-50-25-30+10=165|U-(E F J|=170-165=5 即有 5人不會(huì)這三種語(yǔ)言。28. 答案:解 . 設(shè)全集 E =x| x是 1到 1000的整數(shù) |E|=1000設(shè) A 5、 A 6、 A 8是 E 的子集并分別表示可

21、被 5、 6、 8整除的數(shù)的集合。x 表示小于或等于 x 的最大整數(shù)。LCM(x,y:表示 x,y 兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 (Least Common Multiple 81201000 8, 6, 5LCM(1000|A A A |41241000 8, 6LCM(1000|A A |25401000 8, 5LCM(1000|A A |33301000 6, 5LCM(1000|A A |12581000|A |16661000|A |20051000|A |865868565865= 不能被 5、 6、 8整除的數(shù)的集合為(A5 A6 A8|(A5 A6 A8|=|E|-|A5 A6 A8

22、|= |E|-(|A5|+|A6|+|A8|-|A5 A6|-|A5 A8|-|A6 A8| +|A5 A6 A8| =1000-(200+166+125-33-25-41+8 =60029. 答案:解:設(shè)全集為 U,E,F,G ,J 分別表示會(huì)英、法、德、日語(yǔ)人的集合。又設(shè) |E F G|=x 只會(huì)英、法、德、日一種外語(yǔ)的人分別是 y1, y2, y3, y4。 于是畫(huà)出文 氏圖如下:|U|=24, |E|=13 |J|=5 |G|=10 |F|=9 ,|E F|=|G F|=|E G|=4 , |E J|=2|F E G|=|F|+|E|+|G|-|F E|-|F G|-|E G|+|F

23、E G|= 9+13+10-4-4-4+|F E G|=20 +|F E G|于是 |F E G|=20 +|F E G|只會(huì)日語(yǔ)的人數(shù)為 : | J|-|E J|=5-2 =3得:|E F J|=|U|-3=24-3=21所以 |F E G|=x=21-20=1于是最后得:y1= 13-4-4+1-2=4y2= 9-4-4+1=2y3=10-4-4+1=3y4=330. 答案:解 . 由 |P(B|=64=26,得 |B|=6由 |P(A B|=256=28,得 |A B|=8由包含排斥原理得 |A B|=|A|+|B |A B|=|A|+|B|-|A B|,得 8=3+6-|A B| ,

24、所以 |A B|=1|A-B|=|A|-|A B|=3-1=2|AB|=|A B|-|A B|=8-1=731. 答案:1. (1P(A=P(1,1=,1 ,1, 1,1(2 P(B= P(1= P(,12. (1 1 P(A 為假。因?yàn)?P(A中沒(méi)有元素 1。(2.1P(A 為假。因?yàn)?1中有元素 1,而 P(A中沒(méi)有元素 1。(3.1 P(B 為真。因?yàn)?P(B中沒(méi)有元素 1。(4.1P(B 為真。因?yàn)?1中有元素 1,而 P(B也有元素 1。3. (1. AB =,(2.A B=(A B -(A B= 1,1-1=1(3 P(A-P(B =,1,1, 1,1-,1=1, 1,132. 答案:(A B C=33. 答案:(1 ( C S D (2 ( DG=H (3 (DG (4 ( GF S (5 ( (M C S H 34. 答案:X/R=(N,V,S,Z,P,T, Y,Q,U,W 35. 答案:X/R=(P,Y,V,Q,T, S,R,U,W,Z 36. 答案:1.真值為假。因?yàn)?B=