經(jīng)典諧振子與量子諧振子的比較研究

1、經(jīng)典諧振子與量子諧振子的比較研究潘 保 平（天水師范學(xué)院 物理與信息科學(xué)學(xué)院 甘肅 天水 741000）摘要：線性諧振子問題在經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)中都是一個(gè)倍受關(guān)注的問題，他的重要性在于自然界中廣泛存在著簡諧振動(dòng)，許多體系都可以近似地看作線性諧振子。本文從經(jīng)典和量子兩個(gè)角度對(duì)諧振子問題進(jìn)行研究和比較，并用不確定度關(guān)系探討了零點(diǎn)能問題。關(guān)鍵字：諧振子；零點(diǎn)能；不確定度關(guān)系；波粒二象性Classics Harmonic Osicillator andQuantum Harmonic OsicillatorPan Baoping(Department of physics Tianshui Norma

2、l University Gansu TianshuAbstract:This essay discusses the Linear Harmonic scillator from two different aspects Classics and Quantum.It also discusses Zero-point energy by using the uncertainty relation.Key words:harmonic oscillator,zero-point energy,uncertainty relation,wave-particle dualism1、經(jīng)典力學(xué)

3、中的諧振子在經(jīng)典力學(xué)中，諧振子問題可用下面的方式來表述。一質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)沿ox軸運(yùn)動(dòng)，他所受到的回復(fù)力可從勢函數(shù)的微商得到。勢函數(shù) （1）力的表達(dá)式為：（kook定律） （2）i是沿ox軸的單位矢量。運(yùn)動(dòng)方程可以寫成： （3）令 （4）（3）式變?yōu)椋?（5）方程（5）的解具有下列形式： （6）它表示一個(gè)正弦運(yùn)動(dòng)，其振幅為，相位為，角頻率為，相應(yīng)的頻率是： （7）只與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和恢復(fù)力常數(shù)有關(guān)，而振幅和相位都與運(yùn)動(dòng)初始條件有關(guān)。振子的總能量E是： （8）動(dòng)能和勢能的表達(dá)式為： （9） （10）顯然總能量在運(yùn)動(dòng)中式不變的且由（9）（10）式知：當(dāng)時(shí)，勢能有最小值0，而此時(shí)動(dòng)能有最大值。而當(dāng)時(shí)，勢能

4、有最大值，而此時(shí)動(dòng)能值最小為0。進(jìn)一步，對(duì)于經(jīng)典振子：經(jīng)典振子的速度V為;利用，注意： （11）其中為振幅，平衡點(diǎn)為原點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，由（11）式知此時(shí)經(jīng)典振子的速度V有最大值，即經(jīng)典振子在處逗留時(shí)間最短，出現(xiàn)的幾率最小。2、量子力學(xué)中的諧振子在量子力學(xué)中，取諧振子的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，并選原點(diǎn)為勢能零點(diǎn)，則一維諧振子的勢能可表示為：K為反映諧振子作用強(qiáng)度的參數(shù)，諧振子受力，設(shè)振子質(zhì)量為，令： 則一維諧振子的能量本征方程為： （12） 為方便起見引入沒有綱量的變量 代替，它們的關(guān)系式：；并令： （13）則（12）式化簡為; (14這是一個(gè)變系數(shù)的常微分方程。（或）有限點(diǎn)式微分方程的常點(diǎn)，而為方程的正

5、則奇點(diǎn)。考慮方程的解在處的漸進(jìn)行為。當(dāng)很大時(shí)，與相比可以略去，所以方程（14）可寫為：不難證明它的解圍：。因?yàn)椴ê瘮?shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件要求時(shí)應(yīng)有限，所以我們對(duì)波函數(shù)只取指數(shù)上的負(fù)號(hào)。不妨令方程（14）的解為： (15（14）代入（15）式課的滿足方程:用級(jí)數(shù)解法，把展成的冪級(jí)數(shù)來求解方程的解。這個(gè)級(jí)數(shù)必須只含有限項(xiàng)，才能在時(shí)，使有限;而級(jí)數(shù)只含有限項(xiàng)的條件是為奇數(shù)： (16代入（13）式可得諧振子的能級(jí)為：， （17）可見現(xiàn)行諧振子的能量只能取分立值，兩相鄰的能級(jí)間隔為，即。而諧振子的能量本征函數(shù)為： （18）其中是歸一化常數(shù) （19）最低的四個(gè)能級(jí)及相應(yīng)的波函數(shù)如下： （20） （21） （22）

6、（23）3、討論經(jīng)典諧振子與量子諧振子有著本質(zhì)的區(qū)別，下面將逐一討論與比較：3.1、能級(jí)由（9）（10）式可知經(jīng)典諧振子的能量取值是連續(xù)的，而由（17）式可知量子諧振子的取值是分立的，即是量子化的，其中n為量子數(shù)。且能級(jí)是等間距的，間距是。能量取分立值是微觀粒子具有波粒二象性這一量子特征的重要體現(xiàn)。由（9）式可知當(dāng)時(shí)經(jīng)典諧振子的最低動(dòng)能為零，而由（17）式可知，量子諧振子在基態(tài)的能量不為零。即當(dāng)n=0時(shí)，,稱為零點(diǎn)能，這與經(jīng)典諧振子完全不同。它與無限勢阱總粒子的基態(tài)能量（ n=1,2,3.）不為零是很相似的，這是一種量子效應(yīng),是微觀粒子波粒二象性的表現(xiàn)。同樣，也可用不確定度關(guān)系定性說明。利用坐

7、標(biāo)和動(dòng)量的不確定關(guān)系：諧振子的能量不確定度關(guān)系：使極小的的值可由極值條件：可求得，因此諧振子的零點(diǎn)能：可見諧振子的基態(tài)是諧振子問題的最小不確定態(tài)，這是由其量子本性所決定的。 3.2、波函數(shù)在量子力學(xué)中波函數(shù)本身無意義，但波函數(shù)的絕對(duì)值平方：與粒子在空間某點(diǎn)出現(xiàn)的幾率成正比。首先我們以基態(tài)討論。對(duì)于量子諧振子的基態(tài)： ， 相應(yīng)的幾率密度為：易知在x=0處有最大值：，即在原點(diǎn)找到粒子的概率最大，由于能量，可知此時(shí)的經(jīng)典回轉(zhuǎn)點(diǎn)為。按經(jīng)典力學(xué)，能量為E的諧振子所能大到離平衡位置最遠(yuǎn)的距離是稱為諧振子的經(jīng)典回轉(zhuǎn)點(diǎn)。a、由于經(jīng)典諧振子在x=0處時(shí)能最小，并由（9）（10）式可知，此時(shí)的動(dòng)能必定最大（因?yàn)闄C(jī)

8、械能守恒），即諧振子的速度最大，見（11）式，振子在x=0處逗留時(shí)間最短，因此經(jīng)典諧振子在x=0處的幾率最小。而按量子力學(xué)計(jì)算，見（26）式，在x=0處的幾率卻是最大的（見圖1）.經(jīng)典與量子剛好相反。b、當(dāng)經(jīng)典諧振子的能量為時(shí)，經(jīng)典回轉(zhuǎn)點(diǎn)，經(jīng)典振子只能處于的區(qū)域中。應(yīng)為在處，勢能，即等于總能量。在這點(diǎn)速度減慢為零，不能再繼續(xù)往外跑。而按照量子力學(xué)計(jì)算，粒子在的區(qū)域，仍有不為零的幾率。對(duì)于基態(tài)，概率為： 對(duì)于第一激發(fā)態(tài)，粒子在經(jīng)典禁區(qū)出現(xiàn)的概率為0.1116.這種明顯的量子效應(yīng)在基態(tài)表現(xiàn)的特別突出，對(duì)于量子諧振子大約有16%的粒子跑到了的區(qū)域以外，這是經(jīng)典不允許的。當(dāng)線性諧振子在前幾個(gè)態(tài)時(shí)，幾率密度與經(jīng)典情況毫無相似之處，而隨著量子數(shù)n增加，相似性也隨著增加。圖2和圖3畫出了n=0及n=10是線性諧振子的幾率密度：圖中虛線表示經(jīng)典線性諧振子的幾率密度，實(shí)線表示