氫原子Schrodinger解中的量子數(shù)的物理意義及波函數(shù)圖形分布

1、第7節(jié) 氫原子Schrodinger解中的量子數(shù)的物理意義及波函數(shù)圖形分布第一部分 上節(jié)課復(fù)習(xí)內(nèi)容：第二部分 本節(jié)課授課內(nèi)容：1、三個(gè)量子數(shù)的物理意義2、電子自旋運(yùn)動(dòng)的量子數(shù)及總量子數(shù)3、波函數(shù)與電子云的圖形，徑向分布函數(shù)4、自然單位引言：由氫原子及類氫離子的Schrodinger方程分離出來(lái)的三個(gè)方程R方程、方程和方程的解而引入了三個(gè)量子數(shù)，這三個(gè)量子數(shù)的物理意義第二節(jié) 量子數(shù)的物理意義一、主量子數(shù)n1、主量子數(shù)n是在解R方程時(shí)引入的，它決定體系能量的高低，即，對(duì)于氫原子及類氫離子，原子軌道的能量在軌道運(yùn)動(dòng)中只決定于主量子數(shù)En=-e20428hZn22 (n=1,2,3.)當(dāng)n值變大時(shí)，軌

2、道越遠(yuǎn)離原子核，而當(dāng)n無(wú)窮大時(shí)，體系的能量趨近于0，所以當(dāng)原子核與電子的距離為無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，氫原子及類氫離子的體系總能量為0，這樣的物理模型可以被當(dāng)做參考體系的零點(diǎn)。2、下面考慮能級(jí)差隨主量子數(shù)n的變化關(guān)系En=-e20428hZn22，En+1=-e20428hZ22(n+1)所以En+1=Z2Z-En=- -2 222 80hn(n+1)e4eZ80h244222n+1 22 (n+1)n=eZ80h2221 + n(n+1)2n2(n+1)2所以，當(dāng)n增加時(shí)，En+1-En是減小的，即，隨著主量子數(shù)n的增大，能級(jí)差是逐漸減小的。而對(duì)于一維勢(shì)箱：En=nh8ml42，En+1=(n+1)h8m

3、l24，(n=1,2,3.)所以En+1-En=(n+1)-n)h8ml22(2n+1)h8ml即：隨著量子數(shù)n的增加，一維勢(shì)箱中的粒子的能級(jí)間隔是逐漸加大的。3、對(duì)于氫原子，Z1 所以E1=-e20428h1122=-13.595eV這個(gè)能量是氫原子基態(tài)1s軌道的總能量。 所以，氫原子及類氫離子能級(jí)公式可以寫做：En=-13.595Zn22(eV)(n=1,2,3.)4、用維里定理(virial theorem)求氫原子態(tài)的動(dòng)能(零點(diǎn)能) 對(duì)于電子體系，由virial theorem可能得到：<T>=-12<V>即：電子體系的平均動(dòng)能等于負(fù)二分之一倍的平均勢(shì)能 因此E

4、1s=<T>+<V>=-12<V>+<V>=12<V>=-13.6eV所以<V>=-27.2eV<T>=-12<V>=13.6eV所以，該體系的零點(diǎn)能是13.6 eV。二、角量子數(shù)l將角動(dòng)量算符作用于nlm上可得如下公式：M2nlmh=l(l+1) 222nlm所以M2h=l(l+1) 2M=hl(l+1) 2(l=0,1,2,3.n-1)即，軌道角動(dòng)量是由角量子數(shù)l決定的。另外，伴隨著軌道角動(dòng)量必有軌道磁矩()=-e2meM=he4mel(l+1)l(l+1)e其中e為Bohr磁子e=he4me=

5、9.27410-24JT-1三、磁量子數(shù)在解方程時(shí)引入了磁量子數(shù)m，這的物理意義是：決定電子軌道角動(dòng)量在z軸上的分量Mz，也決定軌道磁矩在磁場(chǎng)方向上的分量z將角動(dòng)量在z軸上的分量算符作用于nlm上可得如下公式：Mznlm=mh2h2nlm,(m=0,±1,±2,.±l)所以Mz=m,(m=0,±1,±2,.±l)同樣，軌道磁矩可以求出，得到z=-me,(m=0,±1,±2,.±l)下面討論Mz與M的關(guān)系對(duì)于l=2時(shí)的狀態(tài)：l=2,m=0,±1,±2M=Ml(l+1)h2h2=h26,-

6、h2h2,0,h2,2h2z=m=-2四、自旋量子數(shù)電子有自旋運(yùn)動(dòng)，自旋量子數(shù)為s，自旋磁量子數(shù)為ms。 自旋運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量為：Ms=hs(s+1) 2(s=12)自旋運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量在z軸的分量為：Msz=msh2,(m=±12)同時(shí)伴隨自旋運(yùn)動(dòng)又有自旋磁矩s=ges(s+1)e它在z軸的分量為：sz=-gemse其中，ge為電子的自旋因子，并且：ge=2.00232五、總量子數(shù)因?yàn)殡娮拥能壍肋\(yùn)動(dòng)與自旋運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量都是矢量，兩者的矢量和就是電子的總角動(dòng)量Mj，它的大小由總量子數(shù)j來(lái)規(guī)定：Mj=M+MsMj=j(j+1)h2電子的總角動(dòng)量Mj沿z軸的分量Mjz由總磁量子數(shù)mj決定j=l+s,l

7、+s-1,.l-s2135=±,±,±,.,±j 222Mjx=mhjmj例如：l=2s=1/2jsjsj=l + s=5/2j=l - s =3/2Mj=(5/2)(h/2) Mj=3/2(h/2)m=0,±1,±2ms=±1/2mj=±1/2,±3/2,±5/2Mjz=±1/2,±3/2,±5/2(h/2)mj=±1/2,±3/2,Mjz=±1/2,±3/2(h/2)第三節(jié) 波函數(shù)和電子云的圖形一、r,2r這種情況一般只用

8、來(lái)表示s態(tài)波函數(shù)對(duì)于氫原子及類氫離子體系，它的1s和2s波函數(shù)為：11s= a3e013z32z - ar0z2s-2arz 1z20 2-= re 3 42aa00對(duì)于1s軌道，它的波函數(shù)是與e(-zr)圖象相似的，如下：?jiǎn)栴}1：對(duì)于2s波函數(shù)（200），它的函數(shù)在r為何值時(shí)會(huì)有一個(gè)節(jié)點(diǎn)和一個(gè)最小值？因?yàn)椋?波函數(shù)最小值點(diǎn)r12s1z2(-zr/2)()= 2-zre 2413而當(dāng)在節(jié)點(diǎn)位置時(shí)波函數(shù)應(yīng)為0，所以2s1z2(-zr/2)()= 2-zre=0 422-zr=0r=2zau2za03 此時(shí) 或者r=幾率P=1s2rsindrdd 221s2rsindrdd22=1srdrsind021s2d0 4r2dr所以，D4r21s4r222zr -e