全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

1、中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、選擇題共5小題，每題6分，共30分.1甲如果實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如下圖，那么代數(shù)式可以化簡(jiǎn)為 A B C Da1乙如果，那么的值為 A B C2 D2甲如果正比例函數(shù)y = axa 0與反比例函數(shù)y =b 0 的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為3，2，那么另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為 A2，3 B3，2 C2，3 D3，22乙 在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式x2y22x2y的整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)x，y的個(gè)數(shù)為 A10 B9 C7 D53甲如果為給定的實(shí)數(shù)，且，那么這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對(duì)值是 A1 B C D3乙如圖，四邊形ABCD

2、中，AC，BD是對(duì)角線，ABC是等邊三角形，AD = 3，BD = 5，那么CD的長(zhǎng)為 A B4 C D4.54甲小倩和小玲每人都有假設(shè)干面值為整數(shù)元的人民幣小倩對(duì)小玲說(shuō)：“你假設(shè)給我2元，我的錢數(shù)將是你的n倍；小玲對(duì)小倩說(shuō)：“你假設(shè)給我n元，我的錢數(shù)將是你的2倍，其中n為正整數(shù)，那么n的可能值的個(gè)數(shù)是 A1 B2 C3 D44乙如果關(guān)于x的方程 是正整數(shù)的正根小于3， 那么這樣的方程的個(gè)數(shù)是 A 5 B 6 C 7 D 85甲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6擲兩次骰子，設(shè)其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的概率為，那么中最大的是 A

3、 B C D5乙黑板上寫有共100個(gè)數(shù)字每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個(gè)數(shù)，然后刪去，并在黑板上寫上數(shù)，那么經(jīng)過(guò)99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是 A2021 B101 C100 D99二、填空題共5小題，每題6分，共30分6甲按如圖的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行從“輸入一個(gè)值x到“結(jié)果是否>487？為一次操作. 如果操作進(jìn)行四次才停止，那么x的取值范圍是 .6乙.如果a，b，c是正數(shù)，且滿足，那么的值為 7甲如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE，DB分別交于點(diǎn)M，N，那么DMN的面積是 .7乙.如下圖，點(diǎn)A在半徑為20的圓O上，以O(shè)A為一條對(duì)角線作矩形O

4、BAC，設(shè)直線BC交圓O于D、E兩點(diǎn)，假設(shè)，那么線段CE、BD的長(zhǎng)度差是 。8甲. 如果關(guān)于x的方程x2+kx+k23k+= 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，那么 的值為 8乙設(shè)為整數(shù)，且1n2021. 假設(shè)能被5整除，那么所有的個(gè)數(shù)為 .9甲. 2位八年級(jí)同學(xué)和m位九年級(jí)同學(xué)一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場(chǎng)記分規(guī)那么是：每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分；平局各得1分. 比賽結(jié)束后，所有同學(xué)的得分總和為130分，而且平局?jǐn)?shù)不超過(guò)比賽局?jǐn)?shù)的一半，那么m的值為 .9乙如果正數(shù)x，y，z可以是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，那么稱是三角形數(shù)假設(shè)和均為三角形數(shù)，且abc，那么的取值范圍是 .10甲

5、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB是直徑，AD = DC. 分別延長(zhǎng)BA，CD，交點(diǎn)為E. 作BFEC，并與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F. 假設(shè)AE = AO，BC = 6，那么CF的長(zhǎng)為 .10乙是偶數(shù)，且1100假設(shè)有唯一的正整數(shù)對(duì)使得成立，那么這樣的的個(gè)數(shù)為 三、解答題共4題，每題15分，共60分11甲二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有；關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和小于求的取值范圍11乙. 如下圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B、C分別在x軸正、負(fù)半軸上，。點(diǎn)D在線段AB上，連結(jié)CD交y軸于點(diǎn)E，且。試求圖像經(jīng)過(guò)B、C、E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式。12甲. 如圖，O的直徑為，過(guò)點(diǎn)，且與O內(nèi)切

6、于點(diǎn)為O上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且點(diǎn)在上，且，BE的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，求證：BOC12乙如圖，O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對(duì)角線，AC的中點(diǎn)I是ABD的內(nèi)心. 求證：1OI是IBD的外接圓的切線；2AB+AD = 2BD.13甲. 整數(shù)a，b滿足：ab是素?cái)?shù)，且ab是完全平方數(shù). 當(dāng)2021時(shí)，求a的最小值.13乙給定一個(gè)正整數(shù)，凸邊形中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于？并說(shuō)明理由14甲. 求所有正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)，滿足，且.14乙將，n2任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù) 可以相同，使得，求的最小值參考解答 一、選擇題1(甲) .C解：由實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置可知，且，所以 1

7、乙B解：2甲D解：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對(duì)稱性，可知兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為3，2.2乙B解：由題設(shè)x2y22x2y， 得02.因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以有 解得 以上共計(jì)9對(duì).3甲D 解：由題設(shè)知，所以這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為 ，于是 .3乙B解：如圖，以CD為邊作等邊CDE，連接AE. 由于AC = BC，CD = CE，BCD=BCA+ACD=DCE+ACD =ACE，所以BCDACE， BD = AE.又因?yàn)?，所?在Rt中，于是DE=，所以CD = DE = 4. 4甲D解：設(shè)小倩所有的錢數(shù)為x元、小玲所有的錢數(shù)為y元，均為非負(fù)整數(shù). 由題設(shè)可得消去x

8、得 (2y7)n = y+4， 2n =.因?yàn)闉檎麛?shù)，所以2y7的值分別為1，3，5，15，所以y的值只能為4，5，6，11從而n的值分別為8，3，2，1；x的值分別為14，7，6，74乙C解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知，兩根的乘積為，故方程的根為一正一負(fù)由二次函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，所以，即 . 由于都是正整數(shù)，所以，1q5；或 ，1q2，此時(shí)都有. 于是共有7組符合題意 5甲D解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有36個(gè)，其和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的有序數(shù)對(duì)有9個(gè)，8個(gè)，9個(gè)，10個(gè)，所以，因此最大5乙C解：因?yàn)?，所以每次操作前和操作后，黑板上的每個(gè)數(shù)加1后的乘

9、積不變?cè)O(shè)經(jīng)過(guò)99次操作后黑板上剩下的數(shù)為，那么，解得 ，二、填空題6甲7x19解：前四次操作的結(jié)果分別為 3x2，3(3x2)2 = 9x8，3(9x8)2 = 27x26，3(27x26)2 = 81x80.由得 27x26487， 81x80487.解得 7x19.容易驗(yàn)證，當(dāng)7x19時(shí)，487 487，故x的取值范圍是7x196乙.7解：在兩邊乘以得即7甲8解：連接DF，記正方形的邊長(zhǎng)為2. 由題設(shè)易知，所以 ，由此得，所以.在RtABF中，因?yàn)?，所以，于?.由題設(shè)可知ADEBAF，所以 ， .于是 ， . 又，所以. 因?yàn)?，所?7乙. 解：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，那么因?yàn)?，所以?

10、甲解：根據(jù)題意，關(guān)于x的方程有=k240，由此得 (k3)20 又(k3)20，所以(k3)2=0，從而k=3. 此時(shí)方程為x2+3x+=0，解得x1=x2=. 故=8乙.1610解：因此，所以，因此所以共有2021-402=1610個(gè)數(shù)9甲8解：設(shè)平局?jǐn)?shù)為，勝負(fù)局?jǐn)?shù)為，由題設(shè)知，由此得0b43. 又 ，所以. 于是 043，87130，由此得 ，或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不合題設(shè).故9乙.解：依題意得：，所以，代入2得，兩邊乘以a得，即，化簡(jiǎn)得，兩邊除以得 所以另一方面：abc，所以 綜合得另解：可令，由1得，代入2化簡(jiǎn)得，解得，另一方面：abc，所以， 綜合得10甲解：如圖，連接AC，BD，OD.

11、 由AB是O的直徑知BCA =BDA = 90°.依題設(shè)BFC = 90°，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，所以BCF =BAD,所以 RtBCFRtBAD ，因此 .因?yàn)镺D是O的半徑，AD = CD，所以O(shè)D垂直平分AC，ODBC， 于是 . 因此.由，知因?yàn)?，所?，BA=AD ，故.10乙.12解：依題意得 由于是偶數(shù)，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍數(shù)，即，當(dāng)1100時(shí)，4的倍數(shù)共有25個(gè)，但要滿足題中條件的唯一正整數(shù)對(duì)，那么：，其中p是素?cái)?shù)，因此，k只能取以下12個(gè)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25，從而這樣的n有12個(gè)。三、解答

12、題11甲解： 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒有，所以，即，所以 3分當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，且 ，解得 8分設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得因?yàn)?，所以，解得，或因?15分11乙.解：因?yàn)閟inABC =，所以AB = 10由勾股定理，得易知， 因此 CO = BO = 6 于是，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為由，得所以 ，解得 因此D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn) D的坐標(biāo)為 因此CD，AO分別為AB，BC的兩條中線，點(diǎn)E為ABC的重心，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為也可由直線CD交y軸于點(diǎn)E來(lái)求得. 設(shè)經(jīng)過(guò)B，C，E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入，解得a = 故經(jīng)過(guò)B，C，E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為12甲 證明：連接BD，

13、因?yàn)闉榈闹睆剑杂忠驗(yàn)?，所以CBE是等腰三角形 5分設(shè)與交于點(diǎn)，連接OM，那么又因?yàn)椋?10分又因?yàn)榉謩e是等腰，等腰的頂角，所以BOC 15分12乙.證明：1如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角相等的性質(zhì)知：，所以， CI = CD 同理，CI = CB 故點(diǎn)C是IBD的外心連接OA，OC，因?yàn)镮是AC的中點(diǎn)，且OA = OC，所以O(shè)IAC，即OICI 故OI是IBD外接圓的切線 2如圖，過(guò)點(diǎn)I作IEAD于點(diǎn)E，設(shè)OC與BD交于點(diǎn)F由，知OCBD因?yàn)镃BF =IAE，BC = CI = AI，所以所以BF = AE 又因?yàn)镮是ABD的內(nèi)心，所以故也可由托勒密定理得：，再將代入即得結(jié)論

14、。13甲解：設(shè)ab = mm是素?cái)?shù)，ab = n2n是自然數(shù). 因?yàn)?(a+b)24ab = (ab)2，所以 (2am)24n2 = m2， (2am+2n)(2am2n) = m2. 5分1當(dāng)時(shí)，因?yàn)?am+2n與2am2n都是正整數(shù)，且2am+2n2am2n (m為素?cái)?shù))，所以 2am+2nm 2，2am2n1.解得 a，. 于是 = am. 10分又a2021，即2021.又因?yàn)閙是素?cái)?shù)，解得m89. 此時(shí)，a=2025.當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，a的最小值為2025. 2當(dāng)時(shí)，因?yàn)?021，所以，從而得a的最小值為2021素?cái)?shù)。綜上所述，所求的a的最小值為2021。15分13乙.解：設(shè)凸n邊形最

15、多有k個(gè)內(nèi)角等于150°，那么每個(gè)150°內(nèi)角的外角都等于30°，而凸n邊形的n個(gè)外角和為360°，所以，只有當(dāng)時(shí)，k才有最大值12. 5分下面我們討論時(shí)的情況： 1當(dāng)時(shí)，顯然，k的值是11； 2當(dāng)時(shí)，k的值分別為1，2，3，4，5；3當(dāng)時(shí)，k的值分別為7，8，9，10. 10分綜上所述，當(dāng)時(shí)，凸n邊形最多有個(gè)內(nèi)角等于150°；當(dāng)時(shí)，凸n邊形最多有個(gè)內(nèi)角等于150°；當(dāng)時(shí)，凸n邊形最多有12個(gè)內(nèi)角等于150°；當(dāng)時(shí)，凸n邊形最多有11個(gè)內(nèi)角等于150°。. 15分14甲解：由于都是正整數(shù)，且，所以1，2，2021于是 5分當(dāng)時(shí)，令，那么 .10分 當(dāng)時(shí)，其中，令 ，那么 綜上，滿足