地下水數(shù)值模擬課程復習

1、地下水數(shù)值模擬地下水數(shù)值模擬課程復習課程復習課程考試題型課程考試題型n一、填空題（一、填空題（110）n二、簡答題（二、簡答題（65）n三、論述題（三、論述題（103）n四、綜合題（四、綜合題（152）授課內(nèi)容授課內(nèi)容n第一章第一章 緒論緒論n第二章第二章 地下水運動的數(shù)學模型地下水運動的數(shù)學模型n第三章第三章 有限差分法有限差分法n第四章第四章 有限單元法有限單元法n第五章第五章 其他數(shù)值方法其他數(shù)值方法邊界元邊界元n第六章第六章 反求參數(shù)的數(shù)值方法反求參數(shù)的數(shù)值方法第一章第一章n知識點n求解數(shù)學模型的方法n常用的數(shù)值方法n數(shù)值模擬的一般步驟n重點n解析法與數(shù)值法的主要差別n地下水數(shù)值模擬的

2、步驟數(shù)學模型的求解方法數(shù)學模型的求解方法數(shù)值法數(shù)值法解析法解析法用數(shù)學上的積分方法或積用數(shù)學上的積分方法或積分變換等方法求得數(shù)學模分變換等方法求得數(shù)學模型的解析表達式型的解析表達式解的精度高，通常稱為解的精度高，通常稱為解解析解析解或或精確解精確解適用于含水層幾何形狀規(guī)適用于含水層幾何形狀規(guī)則、性質均勻、厚度固定、則、性質均勻、厚度固定、邊界條件單一的理想情況邊界條件單一的理想情況把刻畫地下水問題的數(shù)學把刻畫地下水問題的數(shù)學模型模型離散化離散化，解出滲流域，解出滲流域有限個結點上的數(shù)值解有限個結點上的數(shù)值解解是數(shù)學模型的解是數(shù)學模型的近似解近似解或或數(shù)值解數(shù)值解適用性廣、通用性強、可適用性廣、

3、通用性強、可程序化，修改模型方便程序化，修改模型方便常用的數(shù)值方法常用的數(shù)值方法n有限差分法有限差分法 （ FDM ，F(xiàn)inite Difference Method ）n有限元法有限元法 （ FEM， Finite Element Method） n邊界元法邊界元法 （ BEM ，Boundary Element Method） n離散單元法離散單元法 （DEM，Discrete Element Method）n地下水數(shù)值模擬的基本步驟地下水數(shù)值模擬的基本步驟u確定模擬范圍，收集有關資料確定模擬范圍，收集有關資料u建立地下水系統(tǒng)的概念模型建立地下水系統(tǒng)的概念模型u建立地下水系統(tǒng)的數(shù)學模型建立

4、地下水系統(tǒng)的數(shù)學模型u建立數(shù)值模擬模型建立數(shù)值模擬模型u模型的識別和調(diào)參模型的識別和調(diào)參u預報預報第二章n知識點n求解地下水問題的數(shù)學模型的組成n方程+定解條件（初始條件和邊界條件）第三章重點n知識點：n有限差分的基本概念n三種差分格式n差分方程的特點及其求解方法n二維水流問題的差分方法n重點：n有限差分方法的基本思想及其特點n高階導數(shù)的公式推導n顯式、隱式、中心式的表達式及其區(qū)別nADI法的主要步驟有限差分法的基本思想有限差分法的基本思想 從物理現(xiàn)象引出相應從物理現(xiàn)象引出相應微分方程微分方程（方程（方程+邊界條件）；邊界條件）； 用差分網(wǎng)格用差分網(wǎng)格離散離散求解域；求解域； 用差分公式將基本

5、方程轉化為用差分公式將基本方程轉化為差分方程差分方程（代數(shù)方程）；（代數(shù)方程）； 用差分方程的解作為微分方程的近似解。用差分方程的解作為微分方程的近似解。差分公式對比名稱名稱公式公式截斷誤差截斷誤差一一階階導導數(shù)數(shù)前差前差后差后差中心差中心差二階導數(shù)二階導數(shù)xxfxxfdxdf)()(xxxfxfdxdf)()(xxxfxxfdxdf2)()()(2xO )( xO )( xO 222)()()(2)(xxxfxfxxfdxfd)(2xO 顯式差分隱式差分中心式差分差分方程公式向前差分向前差分向后差分向后差分中心差分中心差分截斷誤差收斂性穩(wěn)定性無條件收斂和穩(wěn)定無條件收斂和穩(wěn)定無條件收斂和穩(wěn)定無

6、條件收斂和穩(wěn)定 無條件收斂和穩(wěn)定無條件收斂和穩(wěn)定求解直接代入直接代入追趕法追趕法求解代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組追趕法追趕法求解代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組thhTxhhhxhhhkikikikikikikiki1*211211111)(2)(221thhTxhhhkikikikiki1*211111)(2thhTxhhhkikikikiki1*211)(22/10)()(2tOxO)()(2tOxO)()(22tOxO ADI法的基本思想法的基本思想第一步：第一步：第二步：第二步：對對x方向取隱式差分方向取隱式差分對對y方向取顯式差分方向取顯式差分對對x方向取顯式差分方向取顯式差分對對y方向取隱式差

7、分方向取隱式差分 每推進一個時間水平，需要求解式（a）（b）各一次，在x、y方向交替使用隱式差分，故稱為交替方向隱式差分法。 2/)(2)(221,1,*211,1,11,221, 121,21, 1thhTyhhhxhhhkjikjikjikjikjikjikjikjin從從k+1/2k+1/2時刻到時刻到k+1k+1時刻時刻（b）2/)(2)(2,21,*21,1,221, 121,21, 1thhTyhhhxhhhkjikjikjikjikjikjikjikjin從從k k時刻到時刻到k+1/2k+1/2時刻時刻（a）每個方程中只含有三個未知數(shù)，形成三對角方程組，可用追趕法求解無條件收斂

8、和穩(wěn)定截斷誤差為：高階導數(shù)的有限差分形式高階導數(shù)的有限差分形式y(tǒng)xf2?015234678910111202yxf033xf0224yxf第四章重點n知識點：n有限單元法的基本概念n三角形單元的有限單元方程n四邊形單元的有限單元方程n重點：n有限單元法的基本思想及其特點n加權余量法及伽遼金法的基本原理n三角形單元基函數(shù)的表達形式及其性質n有限單元方程系數(shù)矩陣的運算及整體分析n等參有限元的基本概念有限單元法的基本思想 把連續(xù)系統(tǒng)離散成有限個單元，并在每一個單元中把連續(xù)系統(tǒng)離散成有限個單元，并在每一個單元中設定有限個節(jié)點，從而將連續(xù)體看作僅在節(jié)點處相連接設定有限個節(jié)點，從而將連續(xù)體看作僅在節(jié)點處相

9、連接的一組單元的集合體；的一組單元的集合體； 選定場函數(shù)的節(jié)點值作為基本未知量并在每一單元選定場函數(shù)的節(jié)點值作為基本未知量并在每一單元中假設一個近似插值函數(shù)以表示單元中場函數(shù)的分布規(guī)中假設一個近似插值函數(shù)以表示單元中場函數(shù)的分布規(guī)律；律； 建立用于求解節(jié)點未知量的有限元方程組。建立用于求解節(jié)點未知量的有限元方程組。 加權余量法z)y,(x, 0)(fuLfNLfuLnjjj1)(對對n n個未知數(shù)來說只有一個方程無法求解，故引入相互線性獨立的權函數(shù)個未知數(shù)來說只有一個方程無法求解，故引入相互線性獨立的權函數(shù) 01dfNLdinjjji取權函數(shù)，使得余量的加權積分為零，從而求得微分取權函數(shù)，使得

10、余量的加權積分為零，從而求得微分方程近似解的方法稱為加權余量法。方程近似解的方法稱為加權余量法。 伽遼金方法將權函數(shù)取為基函數(shù)。伽遼金方法將權函數(shù)取為基函數(shù)。 三角形單元的基函數(shù)三角形單元的基函數(shù)kkjjiiHNHNHNyxH),(ycxbaNycxbaNycxbaNkkkekjjjejiiiei212121基函數(shù)基函數(shù) 基本性質：基本性質：jijiyxNjji 0 1),(1),(),(),(yxNyxNyxNkji有限單元方程的組成FdtdHPHD導水矩陣導水矩陣給水矩陣給水矩陣源匯項列陣源匯項列陣邊界列陣邊界列陣基函數(shù)的積分運算基函數(shù)的積分運算12dxdyNNeji62dxdyNei3d

11、xdyNei2ilillldsN等參有限元任意四邊形單元與典型正方形任意四邊形單元與典型正方形單元之間的坐標變換所用的參數(shù)與單元之間的坐標變換所用的參數(shù)與單元內(nèi)水頭插值所用的參數(shù)一致，單元內(nèi)水頭插值所用的參數(shù)一致，都是相同的單元基函數(shù)，故該方法都是相同的單元基函數(shù)，故該方法稱為稱為等參有限元法等參有限元法。 mmkkjjiimmkkjjiiNyNyNyNyyNxNxNxNxx坐標變換式：坐標變換式：1141),( 1141),( 1141),( 1141),( mkjiNNNN其中：其中：mmkkjjiiNxNxNxNxx水頭的近似表達式水頭的近似表達式 第五章n邊界單元法的基本思想n將微分方程的基本解化為邊界積分方程，將邊界剖分將微分方程的基本解化為邊界積分方程，將邊界剖分為有限個單元，在離散的區(qū)域邊界上將邊界積分方程為有限個單元，在離散的區(qū)域邊界上將邊界積分方程化為代數(shù)方程求解?；癁榇鷶?shù)方程求解。n邊界單元法的優(yōu)缺點優(yōu)點優(yōu)點缺點缺點1、降低問題求解的空間維數(shù)、降低問