西安交大西工大 考研備考期末復習 線性代數(shù) 矩陣及其運算

1、 矩陣是線性代數(shù)的主要研究對象矩陣是線性代數(shù)的主要研究對象. 它在線性代它在線性代方法討論線性方程組的解法及有解的條件方法討論線性方程組的解法及有解的條件.陣的概念及其運算陣的概念及其運算. 陣的秩、陣的秩、 可逆矩陣以及矩陣的初等變換、可逆矩陣以及矩陣的初等變換、 分塊矩分塊矩 本章介紹矩陣的概念、本章介紹矩陣的概念、 矩陣的基本運算、矩矩陣的基本運算、矩題可以用矩陣表達并用有關理論解決題可以用矩陣表達并用有關理論解決.數(shù)與數(shù)學的許多分支中都有重要應用數(shù)與數(shù)學的許多分支中都有重要應用, 許多實際問許多實際問最后最后, 利用矩陣的有關概念與利用矩陣的有關概念與 (1)212222111211m

2、nmmnnaaaaaaaaaA , 元素是實數(shù)的矩陣稱為元素是實數(shù)的矩陣稱為，元素是復數(shù)，元素是復數(shù)例例 如如,012425893421.5315890321 A ( aij )m n 或或 A = ( aij ) .的矩陣稱為的矩陣稱為 （1）式也可簡記為）式也可簡記為 只有一行的矩陣稱為只有一行的矩陣稱為(也稱為也稱為).如如 A = ( a11 ，a12 ，a1n ).12111maaaB如如 只有一列的矩陣稱為只有一列的矩陣稱為(也稱為也稱為). 若一個矩陣的所有元素都為零，則稱這個矩若一個矩陣的所有元素都為零，則稱這個矩nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 行數(shù)和

3、列數(shù)相同的矩陣稱為行數(shù)和列數(shù)相同的矩陣稱為例如例如 引起混淆的情況下，也可記為引起混淆的情況下，也可記為 陣為陣為， m n 零矩陣記為零矩陣記為 m n ，在不會，在不會稱為稱為 n n 方陣，常稱為方陣，常稱為 或或，nnaaaA2211都為零的方陣稱為都為零的方陣稱為，如，如主對角線上的元素不全為零，其余的元素全主對角線上的元素不全為零，其余的元素全 簡記為簡記為 A= ( aij )n .為為 n 階對角矩陣階對角矩陣, 其中未標記出的元素全為零其中未標記出的元素全為零, 即即.200010003)21,diag(3,對角矩陣常記為對角矩陣常記為 A = 例如例如 aij = 0 ,

4、i j , i, j = 1, 2, , n , 主對角線上的元素全為主對角線上的元素全為 1 的對角矩陣稱為的對角矩陣稱為.111nnE, 簡記為簡記為 E 或或 I . 如如 主對角線上的元素全相等的對角矩陣稱為主對角線上的元素全相等的對角矩陣稱為nccc, （c 為常數(shù)）為常數(shù)）. 例如例如 主對角線下主對角線下 (上上) 方的元素全為零的方陣稱為方的元素全為零的方陣稱為,22211211nnnnaaaaaa.21222111nnnnaaaaaa. 例如例如 在方陣在方陣 A = ( aij )n 中中, 如果如果 aij = aji (i, j = 1, 2, ,475731512.2

5、73702321n) , 則稱則稱 A 為為. 例如例如稱稱 A 為為. 如果如果 aij = - -aji (i, j = 1, 2, , , n) 則稱則稱 A 為為. 如果如果 A 還是實矩陣還是實矩陣,則則 矩陣矩陣 A = ( aij )mn 與與 B = ( bij )pq 如果滿足如果滿足652413fedcba與與 例如例如 m = p 且且 n = q , 則稱這兩個矩陣為則稱這兩個矩陣為 n 個變量個變量 x1 , x2 , , xn 與與 m 個變量個變量 y1 , y2 , , ym 之間的關系式之間的關系式(2)22112222121212121111 ,xaxaxa

6、y,xaxaxay,xaxaxaynmnmmmnnnn表示一個從變量表示一個從變量 x1 , x2 , , xn 到變量到變量 y1 , y2 , , ym 的的，其中其中 aij 為常數(shù)為常數(shù).線性變換（線性變換（2）的系數(shù)）的系數(shù) aij 構(gòu)成矩陣構(gòu)成矩陣 A = ( aij )m n .給定了線性變換（給定了線性變換（2），它的系數(shù)所構(gòu)成的矩），它的系數(shù)所構(gòu)成的矩陣（稱為陣（稱為）也就確定）也就確定. 反之，如果給出一反之，如果給出一個矩陣作為線性變換的系數(shù)矩陣，則線性變換也就個矩陣作為線性變換的系數(shù)矩陣，則線性變換也就確定確定.在這個意義上，線性變換和矩陣之間存在在這個意義上，線性變換

7、和矩陣之間存在著一一對應的關系著一一對應的關系.由于矩陣和線性變換之間存在一一對應的關由于矩陣和線性變換之間存在一一對應的關系，因此可以利用矩陣來研究線性變換，也可利系，因此可以利用矩陣來研究線性變換，也可利用線性變換來解釋矩陣的涵義用線性變換來解釋矩陣的涵義.例如，線性變換例如，線性變換 32123112,63xxxyxxy.112603 A所對應的矩陣為所對應的矩陣為nnE111單位矩陣單位矩陣所對應的線性變換為所對應的線性變換為 nnxyxyxy,2211稱之為稱之為矩陣矩陣 cossinsincos所對所對 cossin,sincos11yxyyxx應的線性變換應的線性變換OxyP1P

8、圖圖 2. 3 這是把這是把OP（依逆時針方向）旋轉(zhuǎn)（依逆時針方向）旋轉(zhuǎn) 角（即把點角（即把點 P以原點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)以原點為中心逆時針旋轉(zhuǎn) 角）的旋轉(zhuǎn)變換角）的旋轉(zhuǎn)變換.設有線性方程組設有線性方程組)I (.,22112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa若令若令,21222221111211212222111211 mmnmmnnmnmmnnbaaabaaabaaaBaaaaaaaaaA則矩陣則矩陣 A 稱為方程組（稱為方程組（I）的）的，矩陣，矩陣 B 稱稱為方程組（為方程組（I）的）的方程組（方程組（I）與增廣）與增廣矩陣一一

9、對應，因此，對方程組（矩陣一一對應，因此，對方程組（I）的研究，可）的研究，可變成對增廣矩陣變成對增廣矩陣 B 的研究的研究. mmnmmnnmnmmnnbaaabaaabaaaBaaaaaaaaaA21222221111211212222111211, mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,二次曲線的一般方程為二次曲線的一般方程為ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 . (II)(II) 的左端可以用表的左端可以用表xy1xy1abdbcedef來表示，其中每一個數(shù)就是它所在的行和列所對應來

10、表示，其中每一個數(shù)就是它所在的行和列所對應的的 x , y 或或 1 的乘積的系數(shù)，而的乘積的系數(shù)，而 (II) 的左端就是按這的左端就是按這樣的約定所形成的項的和樣的約定所形成的項的和. 換句話說，只要規(guī)定了換句話說，只要規(guī)定了x , y , 1 的次序，二次方程的次序，二次方程 (II) 的左端就可以簡單地的左端就可以簡單地用矩陣用矩陣 fedecbdbaA來表示來表示. 通常，通常，A 稱為二次曲線稱為二次曲線 (II) 的矩陣的矩陣.ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 xy1xy1abdbcedef從方程到矩陣的過程如下：從方程到矩陣的過程如下：f

11、edecbdba設設 A, B, C 為同型矩陣為同型矩陣, 則則 (1) A + B = B + A ( ) ; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (); (3) A + O = O + A = A, (4) A + ( - -A ) = O .其中其中 O 與與 A 是同型矩陣是同型矩陣; 記記 設設,A730152,B935423.3459C (1) 問三個矩陣中哪些能進行加法運算問三個矩陣中哪些能進行加法運算, 并求并求其和其和, 哪些不能進行加法運算哪些不能進行加法運算, 說明原因說明原因; (2) 求求 C 的負矩陣的負矩陣.mnmmnnnmijk

12、akakakakakakakakaka212222111211）（, 設設 A, B 為同型矩陣為同型矩陣, k, l 為常數(shù)，則為常數(shù)，則(1) 1A = A;(2) k(lA) = (kl) A;(3) k(A + B) = kA + kB;(4) (k + l)A = kA + lA. 矩陣相加與數(shù)乘矩陣，統(tǒng)稱為矩陣的矩陣相加與數(shù)乘矩陣，統(tǒng)稱為矩陣的. 設設,B,A22121203且且 B,XA 32求矩陣求矩陣 X .023138 X設有三組變量設有三組變量 x1 , x2 , x3 , x4 ； y1 , y2 , y3 ； z1 , z2 ，它們之間的關系分別為，它們之間的關系分別

13、為) 1 (,3432421414333232131332322212123132121111yayayaxyayayaxyayayaxyayayax)2(,232131322212122121111zbzbyzbzbyzbzby求求 x1 , x2 , x3 , x4 與與 z1 , z2 之間的關系之間的關系. 把把 (2) 代入代入 (1) ，得，得31kkikiyax2131jjkjkikzba2131jjkjikkzba3121kjkjikjzba)3(. )4 , 3 , 2 , 1(3121izbajkkjikj如果用如果用21)4()4 , 3 , 2 , 1(jjijiizc

14、x來表示來表示 x1 , x2 , x3 , x4 與與 z1 , z2 之間的關系，比較之間的關系，比較(3) 、(4) 兩式，就有兩式，就有)5(. )2 , 1; 4 , 3 , 2 , 1(31jibackkjikij用矩陣的表示法，就是，如果矩陣用矩陣的表示法，就是，如果矩陣A = ( aik )4 3 , B = ( bkj )3 2分別表示變量分別表示變量 x1 , x2 , x3 , x4 與與 y1 , y2 , y3 以及以及 y1 , y2 y3與與 z1 , z2 之間的關系，那么表示之間的關系，那么表示 x1 , x2 , x3 , x4 與與 z1 , z2 之間的

15、關系的矩陣之間的關系的矩陣C = ( cij )4 2就由公式就由公式 (5) 決定決定.矩陣矩陣 C 稱為矩陣稱為矩陣 A 與與 B 的乘的乘積，記為積，記為C = A B .本例中的三個表格可用三個矩陣表示本例中的三個表格可用三個矩陣表示, 設設 1616201625305020A 96801024010480167501815018000C 150150180140160150100120100190180200B顯而易見顯而易見 矩陣矩陣 A 的列數(shù)的列數(shù) = 矩陣矩陣 B 的行數(shù)的行數(shù), 矩陣矩陣 C 的行數(shù)的行數(shù) = 矩陣矩陣 A 的行數(shù)的行數(shù), 矩陣矩陣 C 的列數(shù)的列數(shù) = 矩

16、陣矩陣 B 的列數(shù)的列數(shù).如果記如果記 A = (aij)24 , B = (bij) 43 , C = (cij) 23 ,則則 cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j , i = 1, 2, j = 1, 2, 3,我們把矩陣我們把矩陣 C 稱為矩陣稱為矩陣 A 與矩陣與矩陣 B 的的. pkkjik,ba1, 計算兩個矩陣的乘積計算兩個矩陣的乘積. 549143223 71319715 1673544267541765421 6667632817933015 利用下列模型驗證單位矩陣的性質(zhì)利用下列模型驗證單位矩陣的性質(zhì). 100010001654321 654321

17、 165748921100010001 165748921 定義了矩陣的乘法運算后定義了矩陣的乘法運算后, 對于線性方程組對于線性方程組,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa若令若令,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA,21nxxxX,21mbbbb則上述線性方程組可寫成如下矩陣形式則上述線性方程組可寫成如下矩陣形式: 求矩陣求矩陣63422142B,A的乘積的乘積 AB 及及 BA.例例例例 5 5求矩陣求矩陣63422142B,A的乘積的乘積 AB 及及 BA.解解解解63422142AB2142634

18、2BA,1683216.0000由定義有由定義有63422142AB21426342BA,1683216.0000由定義有由定義有關于矩陣的乘法運算關于矩陣的乘法運算, 需要注意以下幾點需要注意以下幾點: 左乘左乘 B”或或“B 右乘右乘 A”.作乘法時作乘法時,應指明它們相乘的次序應指明它們相乘的次序. 如如 AB 讀作讀作“A中中AB和和BA 雖然都有定義雖然都有定義, 但但 AB BA.所以所以, 在在使使AB與與BA 都有定義都有定義, 它們也不一定相等它們也不一定相等. 的矩陣的矩陣A 和和 B , AB 有定義有定義, 但但 BA 就沒有定義就沒有定義. 即即 AB 有定義有定義,

19、 BA不一定有定義不一定有定義.中中,431102311014,20121301BA例例例例 4 4已已知知求求 AB.因因為為 A 是是 24 矩矩陣陣, B 是是 43 矩矩陣陣, A定定義義有有其其乘乘積積 AB = C 是是一一個個 23 矩矩陣陣, 由由矩矩陣陣乘乘積積的的的的列列數(shù)數(shù)等等于于 B 的的行行數(shù)數(shù), 所所以以矩矩陣陣 A 與與 B 可可以以相相乘乘,解解解解如如例例例例 5 5求矩陣求矩陣63422142B,A的乘積的乘積 AB 及及 BA.解解解解由定義有由定義有63422142AB21426342BA,1683216.0000如如 ,OB,CBABC,B,A1122

20、540211113211但但 A C .例如例如. .例如例如 本節(jié)本節(jié)中中 A O, B O, 但但 BA = O.例例例例 5 5求矩陣求矩陣63422142B,A的乘積的乘積 AB 及及 BA.解解解解由定義有由定義有63422142AB21426342BA,1683216.0000 (1) OkmAmp= Okp , AmpOpn= Omn ; (2) 設設 A 是是 m n 矩陣矩陣, Em 是是 m 階單位矩階單位矩 (5) k(AB) = (kA)B = A(kB). (B + C)A = BA + CA;(3) (AB)C = A(BC);(4) A(B + C) = AB +

21、 AC, EmA = A, AEn = A ;陣陣, En 是是 n 階單位矩陣階單位矩陣, 則則 如果如果 A 是是 n 階方陣階方陣, 那么那么, AA 有意義有意義, AmAAA個也有意義也有意義, 因此有下述定義因此有下述定義:. AmmAAAA個另外還規(guī)定，另外還規(guī)定， 0 = E. 設設 A 為方陣為方陣, k, l 為正整數(shù)為正整數(shù), 則則階方陣階方陣 A 與與 B , 一般來說一般來說 (AB)k AkBk .又因矩陣乘法一般不滿足交換律又因矩陣乘法一般不滿足交換律, 所以對于兩個所以對于兩個 n AkAl = Ak+l , (Ak)l = Akl .設設,001001A計算計

22、算 A2, A3, An (n3). 設設 其中其中 E 為三階單位矩陣為三階單位矩陣,000100010B所以所以nnBEA)(.! 2) 1(221nnnnBBnnBnE注意到注意到,0000001002B, B3 = B4 = = Bn = O,因而因而nnBEA)(221! 2) 1(BnnBnEnnnnnnnnnnnnn0002) 1(121(n 2).08122351TA 例如矩陣例如矩陣01258231A的轉(zhuǎn)置矩陣為的轉(zhuǎn)置矩陣為, . 設設 A，B，C，A1，A2， ，Ak 是矩陣，且是矩陣，且 (A1A2Ak)T = AkT A2TA1T ;(1) (AT)T = A ;(2) (B + C)T = BT + CT ;(3) (kA)T = kAT;(4) (AB)T = BTAT ; 則則它們的行數(shù)與列數(shù)使相應的運算有定義，它們的行數(shù)與列數(shù)使相應的運算有定義， k 是數(shù)，是數(shù)， (5) 若若 A 為為 n 階矩陣階矩陣, 則則 (Am)T = (AT)m ,A 為反對稱矩陣的充要條件是為反對稱矩陣的充要條件是 AT = - - A . (6) A 為對稱矩陣的充要條件是為對稱矩陣的充要條件是 AT = A;m 為正整數(shù)為正整數(shù);102324171231102AB,B,A102324171