數(shù)學建模-課程設計參考模板

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上2015-2016第1學期數(shù)學建模課程設計題目 ：醫(yī)療保障基金額度的分配姓名：學號：班級：時間： 摘 要 隨著人們生活水平的提高及社會制度的發(fā)展,醫(yī)療保險事業(yè)顯得越來越重要,各企業(yè)也隨之越來越注重員工的福利措施，醫(yī)療保障基金額度的分配也成為了人們的關注熱點。擴大醫(yī)療保障受益人口也是政府和企業(yè)面臨的難題，因而根據(jù)歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，合理的構造出擬合曲線，分析擬合函數(shù)的擬合程度，從而為基金的調配以及各種分配方案做方向上的指導。本文針對A,B兩個公司關于醫(yī)療保障基金額度的合理分配問題，根據(jù)兩公司從1980-2003年統(tǒng)計的醫(yī)療費用支出數(shù)據(jù)，科學地運用了MATLAB軟件并基于最小二

2、乘法則進行了多項式曲線擬合，成功建立了醫(yī)療保障基金額度的分配模型。最后，對不同階數(shù)的多項式擬合曲線的擬合程度進行了殘差分析，并輸出相關結果，得出擬合程度與多項式階數(shù)的關聯(lián)。此問題建立在收集了大量數(shù)據(jù)的基礎上，以及利用了MATLAB編程擬合曲線，使問題更加簡單，清晰。該模型經(jīng)過適當?shù)母脑?，可以推廣到股票預測，市場銷售額統(tǒng)計等相關領域。關鍵字：matlab，最小二乘多項式擬合,階數(shù)，殘差分析一 問題重述某集團下設兩個子公司：子公司A、子公司B。各子公司財務分別獨立核算。每個子公司都實施了對雇員的醫(yī)療保障計劃，由各子公司自行承擔雇員的全部醫(yī)療費用。過去的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，每個子公司的雇員人數(shù)以及每一年齡

3、段的雇員比例，在各年度都保持相對穩(wěn)定。各子公司各年度的醫(yī)療費用支出見下表（附錄1）。 試利用多項式數(shù)據(jù)擬合，得到每個公司醫(yī)療費用變化函數(shù)，并繪出標出原始數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)曲線。需給出三種不同階數(shù)的多項式數(shù)據(jù)擬合，并分析擬合曲線與原始數(shù)據(jù)的擬合程度。二模型假設1假設A,B兩公司在1980年底才發(fā)放醫(yī)療保障基金。 2假設在19802003年期間，A,B公司的雇員健康狀況基本穩(wěn)定，即沒有大規(guī)模的疾病出現(xiàn)。 3假設在1980-2003年期間，每個子公司的雇員人數(shù)以及每一年齡段的雇員比例，在各年度都保持相對穩(wěn)定。三問題分析解決醫(yī)療保障基金額度的分配問題，就是為了固定資源得到最優(yōu)配置。在此問題中，由于給定的均

4、是離散的數(shù)據(jù)點，并且屬于非線性相關的點，因此我們采用最小二乘法的思想對離散數(shù)據(jù)點進行多項式擬合，分別作出了不同階數(shù)（一階，二階，三階）的擬合曲線，并對各擬合曲線的擬合程度進行了定性和定量的分析，本文主要采用的是圖示法和殘差分析法。由題設知，A,B兩個子公司在1980-2003年的醫(yī)療保障費用支出已給定，利用matlab中的繪圖函數(shù)plot函數(shù)先將給定的離散點繪出，觀察圖形的基本走勢，最終確定出利用最小二乘法的基本思想，將多項式作為基函數(shù)對已知節(jié)點進行擬合，即多項式擬合。為了達到更好的擬合程度，分別采用了不同階數(shù)的曲線擬合，并對最終擬合結果進行誤差分析。采用最小二乘法則進行擬合曲線時，實際上是求

5、一個系數(shù)向量，該系數(shù)向量是一個多項式的系數(shù)。在matlab中，主要用polyfit函數(shù)求得擬合多項式的系數(shù)，再用polyval函數(shù)按所得多項式計算所給出的點上的函數(shù)近似值。1polyfit函數(shù)的調用格式：P,S= polyfit(X,Y,n )2. polyval函數(shù)的調用格式：Y=polyval(P,X) 說明：X,Y為已知離散數(shù)據(jù)點，n為多項式階數(shù)，返回P為冪次從高到低的多項式系數(shù)向量,是一個行向量。S是一個數(shù)據(jù)結構，返回采樣點的誤差向量。本題中，將年分，公司A,B的保障基金的數(shù)值分別構造成矩陣。X=1980:2003;A= 8.28,8.76,9.29,10.73,10.88,11.34

6、,11.97,12.02,12.16,12.83,13.90,14.71,16.11,16.40,17.07,16.96,16.88,17.20,19.87,20.19,20.00,19.81,19.40,20.48;B=8.81,9.31,10.41,11.61,11.39,12.53,13.58,13.70,13.32,14.32,15.84, 14.67,14.99,14.56,14.55,14.80,15.41,15.76,16.76,17.68,17.33,17.03,16.95 16.66;其中X是年份矩陣,A是公司A的數(shù)值矩陣，B是公司B的數(shù)值矩陣。四模型建立通過對該問題的分析，

7、基于最小二乘曲線擬合的大量調研資料結果表明，采用多項式數(shù)據(jù)擬合所得到的擬合優(yōu)度較其他形式的基函數(shù)所得的擬合結果高，因此，本題中假定了所給定的離散數(shù)據(jù)點是服從一般多項式的形式： 。 于是，以年份X作為自變量，醫(yī)療費用支出作為因變量Y，根據(jù)散點圖的走勢，對A,B兩子公司分別作了以下階數(shù)的數(shù)據(jù)擬合：（1） 直線趨勢方程：（2） 二階多項式趨勢方程：（3） 三階多項式趨勢方程：（4） 五階多項式趨勢方程：利用matlab軟件進行了繪圖，殘差分析，相應的程序源代碼見附錄。五模型求解1. A子公司的相關數(shù)據(jù)擬合信息1.1 A公司的離散數(shù)據(jù)散點圖：根據(jù)離散點圖的走勢，確定擬合階數(shù)。1.2 A子公司不同階數(shù)擬

8、合曲線與原始數(shù)據(jù)比較示意圖以及相應的殘差變化圖如下：程序運行結果見附錄2：2. B子公司的相關數(shù)據(jù)擬合信息2.1 B子公司的離散數(shù)據(jù)散點圖： 根據(jù)離散點圖的走勢，確定擬合階數(shù)。2.2 B子公司不同階數(shù)擬合曲線與原始數(shù)據(jù)比較示意圖以及相應的殘差變化圖如下：程序運行結果見附錄2 .六模型分析與改進1 模型分析與檢驗:本文主要采用的是基于matlab的多項式擬合，實現(xiàn)了對于給定離散數(shù)據(jù)，在同一坐標下繪出不同階數(shù)（一階，二階，三階，五階）的擬合曲線與原始數(shù)據(jù)的對比圖以及殘差變化圖，并將多項式系數(shù)，殘差以表格形式輸出，整個建模過程直觀，清晰。下面具體從擬合值的準確性來檢驗模型的優(yōu)良性。方法一：對于模型的

9、擬合程度，可直接將擬合函數(shù)和實際值繪制在同一坐標下，對數(shù)據(jù)進行直觀的對比，從而判斷所得擬合函數(shù)的優(yōu)良。方法二：可以利用（）（二范數(shù)）來求取各階的實際數(shù)值與擬合函數(shù)值之間的波動情況，簡略的以此來鑒定該階數(shù)在特定的那種情況下的擬合程度。根據(jù)圖示以及殘差返回值可知，A，B兩子公司在采用多項式擬合時，不同階數(shù)的擬合曲線都是相對穩(wěn)定的，比較而言，采用較高（n<=5）階進行擬合時，誤差會較小，擬合程度較為理想，但當階數(shù)達到一定程度時，會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，即擬合的病態(tài)問題。因此，為了避免這種病態(tài)的產(chǎn)生，在實際應用過程中，應盡可能采用低階進行擬合，對于實現(xiàn)要求較高次數(shù)的多項式擬合，應采用分段，低次的多項式進

10、行組合擬合。2 模型評價:2.1 模型優(yōu)點：(1) 本文對A,B公司在進行四個模型的建模時，基函數(shù)采用的是相對簡單，形式較統(tǒng)一化的多項式，整個擬合過程相對簡單，便于理解。(2) 利用matlab繪圖功能實現(xiàn)了對于給定離散數(shù)據(jù)，在同一坐標下繪出不同階數(shù)（一階，二階，三階，五階）的擬合曲線與原始數(shù)據(jù)的對比圖以及殘差變化圖，對后續(xù)的模型分析和檢驗提供了較為直觀的圖形依據(jù)。(3) 利用matlab標準輸出，將不同階數(shù)（一階，二階，三階，五階）的多項式系數(shù)，殘差以表格形式打印出來，對后續(xù)的模型分析和檢驗提供了較為準確的數(shù)據(jù)依據(jù)。2.2 模型缺點：(1） 在建立模型時，只是對文中所給定的離散數(shù)據(jù)進行了簡單

11、的擬合，功能相對單一，可擴展性差。(2) 模型的準確性直接影響模型的正確性，在數(shù)據(jù)處理方面存一定的不足，影響模型的正確性。 (3） 按題目要求本文只是簡單的運用多項式擬合，得到每個公司醫(yī)療費用變化函數(shù)，適用性不強。3 模型改進和推廣：(1) 在擬合時可用較為復雜的一般的擬合函數(shù)代替簡單的多項式擬合，得到每個公司醫(yī)療費用變化函數(shù)，使得結果更加精確， (2)過去的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，每個子公司的雇員人數(shù)以及每一年齡段的雇員比例，在各年度都保持相對穩(wěn)定，本文建立的模型可用來預測2003年之后各子公司各年度的醫(yī)療費用支出情況。（3）本文建立的模型可用來預測各部分比例較固定的事物的發(fā)展趨勢，比如預測某一地區(qū)短

12、期內某一類產(chǎn)品的幾類子產(chǎn)品的銷售量；（4）本文建立的模型可推廣到市場預測，對市場調查后的數(shù)據(jù)進行運算、處理以及股票預測等應用領域。七建模心得數(shù)學建模，對于我們數(shù)學專業(yè)的學生來說并不陌生，但又不是太了解。本學期開設了數(shù)學模型，使我們真正知道了什么叫做數(shù)學建模。在學習之中，鍛煉了我們的能力，獲益非淺。真正用到了數(shù)學的理論知識去解決我們在實際生活上的一些問題。從最初的“建?！焙喗?，我們了解到數(shù)學在實際生活中的應用之廣、之深、之切。小到日常的衣食住行，大到科技進步，人類生存。龐大的數(shù)學知識體系良好地規(guī)范我們的生活，與我們每個人都息息相關，并隨著科技的進步，數(shù)學與我們的關系也越來越密切。終于明白了，為什

13、么數(shù)學是真正的科學工具，是人類發(fā)展進步的基礎學科，它既能規(guī)范現(xiàn)在，又能預測未來。在這次實踐中，我們選擇的是關于醫(yī)療保障基金額度的分配模型 ，可以說是一個小模型，里面所用到的知識和方法也是比較容易的。在分配到相應題目之后，全體組員就開始著手分頭行動，經(jīng)過三天的努力模型基本建成，通過三天的互相交流，我們感覺到團隊精神是數(shù)學建模是否取得好成績的最重要的因素，一隊四個人要相互支持，相互鼓勵。在今后的學習生活中，我們應當將理論與實踐相結合，努力提高自己的數(shù)學專業(yè)水平，盡早成為一名優(yōu)秀的數(shù)學人。參考文獻：1姜啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學模型，北京：高等教育出版社，2011年.2李慶揚 王能超 易大義，數(shù)值分析

14、，北京：清華大學出版社，2008年.3劉衛(wèi)國，MATLAB程序設計與應用，北京：高等教育出版社，2009年.4Gerald Recktenwald ，數(shù)值方法和matlab實現(xiàn)與應用，北京：機械工業(yè)出版社，2004年.附錄：附錄1:年度公司A公司B19808.288.8119818.769.3119829.2910.41198310.7311.61198410.8811.39198511.3412.53198611.9713.58198712.0213.70198812.1613.32198912.8314.32199013.9015.84199114.7114.67199216.1114.9

15、9199316.4014.56199417.0714.55199516.9614.80199616.8815.41199717.2015.76199819.8716.76199920.1917.68200020.0017.33200119.8117.03200219.4016.95200320.4816.66附錄2(matlab程序源代碼）：X=1980:1:2003;Y=8.81,9.31,10.41,11.61,11.39,12.53,13.58,13.70,13.32,14.32,15.84, 14.67,14.99,14.56,14.55,14.80,15.41,15.76,16.76

16、,17.68,17.33,17.03,16.95 16.66;xfit=linspace(1980,2003);p1=polyfit(X,Y,1);yfit1=polyval(p1,xfit);r1= Y-polyval(p1,X);p2=polyfit(X,Y,2);yfit2=polyval(p2,xfit);r2= Y-polyval(p2,X);p3=polyfit(X,Y,3);yfit3=polyval(p3,xfit);r3= Y-polyval(p3,X);p5=polyfit(X,Y,5);yfit5=polyval(p5,xfit);r5= Y-polyval(p5,X);

17、fprintf('nCurve coefficientsn ');fprintf(' constant x x2 x3 x4 x5n ');fprintf('liner ');fprintf(' %14e',fliplr(p1);fprintf('n'); %fliplr(p1)對p1實施左右翻轉fprintf('quadratic');fprintf(' %14e',fliplr(p2);fprintf('n');fprintf('cubic ');

18、fprintf(' %14e',fliplr(p3);fprintf('n');fprintf('higher ');fprintf(' %14e',fliplr(p5);fprintf('n');subplot(2,1,1);plot(X,Y,'-p',xfit,yfit1,'g-',xfit,yfit2,'m:',xfit,yfit3,'b:',xfit,yfit5,'y-');legend('data','

19、liner','quadratic','cubic','higher');xlabel('X');ylabel('Y');title('線性，二階，三階，五階的擬合曲線與原始數(shù)據(jù)比較圖');subplot(2,1,2);plot(X,r1,'-o',X,r2,'-s',X,r3,':d',X,r5,'-*');legend('liner','quadratic','cubic',&

20、#39;higher');xlabel('X');ylabel('Y');title('線性，二階，三階,五階的擬合曲線殘差變化圖');fprintf('nresidualsn |r|_2 max errorn ');fprintf('liner %8.5f %8.5fn',norm(r1),norm(r1,inf); %norm(r1)求矩陣r1的二范數(shù)。fprintf('quadratic %8.5f %8.5fn',norm(r2),norm(r2,inf);fprintf('

21、cubic %8.5f %8.5fn',norm(r3),norm(r3,inf);fprintf('higher %8.5f %8.5fn',norm(r5),norm(r5,inf);附錄3(程序用到的相關數(shù)據(jù))：X=1980:2003;A= 8.28,8.76,9.29,10.73,10.88,11.34,11.97,12.02,12.16,12.83,13.90,14.71,16.11,16.40,17.07,16.96,16.88,17.20,19.87,20.19,20.00,19.81,19.40,20.48;B=8.81,9.31,10.41,11.61,11.39,12.53,13.58,13.70,13.32,14.32,15.84, 14.67,14.99,14.56,14.55,14.80,15.41,15.76,16.76,17.68,17.33,17.03,16.95 16.66;其中X是年份矩陣,A是公司A的數(shù)值矩陣，B是公司B的數(shù)值矩陣。附錄4(最終運行結果)：A子公司的運行結果：Curve coefficients cons