階段性測試題十一(計數(shù)原理與隨機變量(理))

1、階段性測試題十一(計數(shù)原理與隨機變量(理)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。滿分150分?？荚嚂r間120分鐘。第卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的。)1函數(shù)f：1,2,31,2,3，滿足f(f(x)f(x)，則這樣的函數(shù)個數(shù)共有()A1個B2個C8個D10個答案D解析當(dāng)f(x)1，f(x)2，f(x)3，f(x)x時有4個根據(jù)元素地位的對等性，當(dāng)f(1)1，f(2)1時，則必有f(3)3，假若f(3)2，則f(f(3)f(2)13，類似這樣的情況共有CCC6種故共有10種，選D.22名男生和

2、2名女生隨機地排成一行，則兩名男生排在一起的概率是 ()A. B. C. D.答案B解析解法1：4人排一行共A24種排法，其中兩男生相鄰的排法有A·A12種，P.解法2：如下圖四人站一行，共四個位置兩男生相鄰的站位只能是(1,2)，(2,3)，(3,4)兩男生不相鄰的站位只能是(1,3)，(2,4)，(1,4)故所求概率為P.12343二項式(1sinx)n的展開式中，末尾兩項的二項式系數(shù)之和為7，且二項式系數(shù)最大的一項的值為，則在，上x的值為()A. B.C或 D.或答案D解析由CC7得n6，二項式系數(shù)最大的項為T4項，即C(sinx)3，sinx.x，x或.4用四種不同的顏色給正

3、方體ABCDA1B1C1D1的六個面涂色，要求相鄰兩個面涂不同顏色且四種顏色全用完，則所有不同涂色方法有()A24種 B96種 C72種 D48種答案C解析據(jù)題意知，要將4種顏色涂在正方體的6個面上，必有兩個面要涂相同的顏色，并且由于相鄰的面不能重色，故只能是正方體的3對相對的面中有兩對要同色，故從3個相對的面中取2對相對的面，作為2個元素，同其它的2個面作為4個元素，再將4種顏色分別涂在這4個元素上即可，故共有CA72種不同的涂法5若是離散型隨機變量，P(x1)，P(x2)且x1<x2，又已知E()，D()，則x1x2的值為()A. B.C3 D.答案C解析由期望和方差的計算公式得即由

4、得x242x1，代入得，62，又x1<x2，x1x23.6已知拋物線yax2bxc(a0)的對稱軸在y軸的左側(cè)，其中a、b、c3，2，1,0,1,2,3，在這些拋物線中，記隨機變量“|ab|的取值”，則的數(shù)學(xué)期望E()為()A. B. C. D.答案A解析對稱軸在y軸左側(cè)，<0，ab>0，即a與b同號，滿足條件的拋物線有2CCC126條的取值為0、1、2，P(0)，P(1)，P(2).E()×0×1×2.7隨機變量的分布列如下：101Pabc其中a、b、c成等差數(shù)列，若E()，則D()的值是()A. B. C. D.答案D解析由已知條件知，解得D

5、()2×2×2×.8口袋里放有大小相等的兩個紅球和一個白球，有放回地每次摸取一個球，定義數(shù)列an：an，如果Sn為數(shù)列an的前n項和，那么S73的概率為()AC2·5 BC2·5CC2·5 DC2·5答案B解析有放回地每次摸取一個球，摸到紅球的概率為，摸到白球的概率為，這是一個獨立重復(fù)試驗S73，說明共摸7次，摸到白球比摸到紅球多3次，即摸到白球5次，摸到紅球2次，所以S73的概率為C25.9從5張100元，3張200元，2張300元的奧運預(yù)賽門票中任取3張則所取3張中至少有2張價格相同的概率為()A. B. C. D.答案

6、C解析3張中沒有價格相同的取法有CCC30，則3張中至少有2張相同的概率為.10福娃是2008年北京第二十九屆奧運會的吉祥物，每組福娃都由“貝貝”“晶晶”“歡歡”“迎迎”和“妮妮”這五個福娃組成，甲、乙兩人隨機地從一組五個福娃中選取一個留作紀念按甲先選乙再選的順序不放回的選擇，則在他倆選擇的福娃中“貝貝”和“晶晶”一只也沒有被選中的概率是()A. B. C. D.答案C解析依題意知，甲、乙兩人誰先選，選哪一只都是等可能的，甲先選乙后選的總方法有5×420種，而都沒有選到“貝貝”和“晶晶”的方法有3×26種，所以所求概率為.11從圓的10等分點中任取3個點，組成一個三角形，可

7、構(gòu)成直角三角形的概率是()A. B. C. D.答案C解析10個分點共構(gòu)成C個三角形，10個點可構(gòu)成5條直徑，每條直徑為斜邊的直角三角形有8個，直角三角形共有5×840個，所求概率為，故選C.12設(shè)隨機變量N(1，2)，已知P(2)0.92，則P(0)的值為()A0.08 B0.84 C0.58 D0.92答案D解析P(0)1P(<0)1P(>2)P(2)0.92.點評可據(jù)隨機變量的均值為1知，P(0)P(2)0.92.第卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)13在正方體上任意選擇兩條棱，則這兩條棱相互平行的概

8、率為_答案解析任選兩棱共有C66種不同選法選出的兩棱平行共有3×C18(種)不同選法，概率為.14設(shè)an(n2,3,4，)是(3)n的展開式中x的一次項的系數(shù)，則的值是_答案解析通項Tr1C3nr(1)rx，令1得r2，anC3n2，9×18×.15設(shè)隨機變量B，則D(21)_.答案解析B，D()2××，D(21)4D().161號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出一球，則從2號箱取出紅球的概率是_答案分析從2號箱中取出紅球的概率大小與從一號箱中取出的球有關(guān)，故應(yīng)按

9、從一號箱中取出紅球和白球討論，故這是一個條件概率問題解析記事件A：最后從2號箱中取出的是紅球；事件B：從1號箱中取出的是紅球則P(B)，P()1P(B)，P(A|B)，P(A|)，從而P(A)P(AB)P(A)P(A|B)P(B)P(A|)P()××.三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(本小題滿分12分)(08·遼寧)某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量(單位：噸)進行統(tǒng)計，最近100周的統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：周銷售量234頻數(shù)205030(1)根據(jù)上面統(tǒng)計結(jié)果，求周銷售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率；(2)已知每噸該商品

10、的銷售利潤為2千元，表示該種商品兩周銷售利潤的和(單位：千元)若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望解析(2)的可能值為8、10、12、14、16，且P(8)0.220.04，P(10)2×0.2×0.50.2，P(12)0.522×0.2×0.30.37，P(14)2×0.5×0.30.3，P(16)0.320.09.的分布列為810121416P0.040.20.370.30.09E()8×0.0410×0.212×0.3714×0.316×0.0912

11、.4(千元)18(本小題滿分12分)某氣象站天氣預(yù)報的準確率為80%，計算(結(jié)果保留到小數(shù)點后第2位)：(1)5次預(yù)報中恰有2次準確的概率；(2)5次預(yù)報中至少有2次準確的概率；(3)5次預(yù)報中恰有2次準確，且其中第3次預(yù)報準確的概率解析(1)5次預(yù)報中恰有2次準確的概率為P5(2)C×0.82×(10.8)5210×0.82×0.230.05.(2)5次預(yù)報中至少有2次準確的概率為1P5(0)P5(1)1C×0.80×(10.8)50C×0.81×(10.8)510.99.(3)5次預(yù)報中恰有2次準確，且其中第3

12、次預(yù)報準確的概率為08×C×0.8×(10.8)414×0.82×0.230.02.19(本小題滿分12分)把一顆骰子投擲兩次，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b，試就方程組，解答下列問題：(1)在出現(xiàn)點數(shù)有2的情況下，求方程組只有一個解的概率；(2)求方程組只有正數(shù)解的概率解析(1)方程組無解a2b，同時，該方程組不會出現(xiàn)無數(shù)組解的情況，又出現(xiàn)點數(shù)有2的情況共有11種，而當(dāng)a2，b1；a4，b2時方程組無解，出現(xiàn)點數(shù)有2的情況下，方程組只有一個解的概率P11.(2)要使方程組只有正數(shù)解，只需直線axby3即1與直線

13、2xy2交點在第一象限，如圖所示因此或，即，或.當(dāng)a1,2時，b2,3,4,5,6.當(dāng)b1時，a4,5,6；因此，方程組只有正數(shù)解的概率P2.20(本小題滿分12分)(08·福建)某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當(dāng)科目A成績合格時，才可繼續(xù)參加科目B的考試已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書現(xiàn)某人參加這項考試，科目A每次考試成績合格的概率均為，科目B每次考試成績合格的概率均為.假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響(1)求他不需要補考就可獲得證書的概率；(2)在這項考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望E()解析解：設(shè)

14、“科目A第一次考試合格”為事件A1，“科目A補考合格”為事件A2；“科目B第一次考試合格”為事件B1，“科目B補考合格”為事件B2.(1)不需要補考就獲得證書的事件為A1·B1，注意到A1與B1相互獨立，則P(A1·B1)P(A1)×P(B1)×.答：該考生不需要補考就獲得證書的概率為.(2)由已知得，2,3,4，注意到各事件之間的獨立性與互斥性，可得P(2)P(A1·B1)P(1·2)××，P(3)P(A1·1·B2)P(A1·1·2)P(1·A2·B1

15、)××××××.P(4)P(1·A2·1·B2)P(1·A2·1·2)××××××，故E()2×3×4×.答：該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.21(本小題滿分12分)設(shè)甲、乙兩名射手在一次射擊中分別射中的環(huán)數(shù)為兩個相互獨立的隨機變量，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0

16、.3,0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)解析(1)依題意得0.53aa0.11解得a0.1.乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2，乙射中7環(huán)的概率為1(0.30.30.2)0.2.的分布列為：10987P0.50.30.10.1的分布列為：10987P0.30.30.20.2(2)由(1)可得：E()10×0.59×0.38×0.17×0.19.2(環(huán))，E()10×0.39×0.38×0.27×0.28.7(環(huán))，D()(109.2)2×

17、0.5(99.2)2×0.3(89.2)2×0.1(79.2)2×0.10.96，D()(108.7)2×0.3(98.7)2×0.3(88.7)2×0.2(78.7)2×0.21.21.由于E()>E()，說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高；又因為D()<D()說明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中，比較穩(wěn)定所以，甲比乙的射擊技術(shù)好22(本小題滿分14分)某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18、19、20層可以停靠若該電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，用表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，求：(1)隨機變量的分布列；(2)隨機變量的期望分析本題中每位乘客在每層樓下的可能性是相等的，于是確定為“等可能性事件概率模型”，考查一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨立重復(fù)試驗，可確定為“n次獨立重復(fù)試驗概率模型”解析解法1：(1)的所有可能值為0、1、2、3、4、5.由等可能性事件的概率公式得P(0)，P(1).P(2)，P(3).P(4)，P(5).從而的分布列為012345P(2)由(1)得的期望為E()0×1×2×3