帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題

1、帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題南壩中學(xué)張學(xué)亮當(dāng)某種物理現(xiàn)象變化為另一種物理現(xiàn)象或物體從一種狀態(tài)變化為另一種狀態(tài)時，發(fā)生這種質(zhì)的飛躍的轉(zhuǎn)折狀態(tài)通常稱為臨界狀態(tài)。粒子進入有邊界的磁場，由于邊界條件的不同，而出現(xiàn)涉及臨界狀態(tài)的臨界問題，如帶電粒子恰好不能從某個邊界射出磁場，可以根據(jù)邊界條件確定粒子的軌跡、半徑、在磁場中的運動時間等。如何分析這類相關(guān)的問題是本文所討論的內(nèi)容。 一、帶電粒子在有界磁場中運動的分析方法 1圓心的確定 因為洛倫茲力F指向圓心，根據(jù)Fv，畫出粒子運動軌跡中任意兩點（一般是射入和射出磁場兩點），先作出切線找出v的方向再確定F的方向，沿兩個洛倫茲力F的方向畫其延長線，兩延長線

2、的交點即為圓心，或利用圓心位置必定在圓中一根弦的中垂線上，作出圓心位置，如圖1所示。 2半徑的確定和計算 利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑（或圓心角），并注意以下兩個重要的幾何特點： 粒子速度的偏向角等于轉(zhuǎn)過的圓心角，并等于AB弦與切線的夾角（弦切角）的2倍，如圖2所示，即=2。 相對的弦切角相等，與相鄰的弦切角互補，即+=180°。 3粒子在磁場中運動時間的確定 若要計算轉(zhuǎn)過任一段圓弧所用的時間，則必須確定粒子轉(zhuǎn)過的圓弧所對的圓心角，利用圓心角與弦切角的關(guān)系，或者利用四邊形內(nèi)角和等于360°計算出圓心角的大小，并由表達式，確定通過該段圓弧所用的時間，其中T即為該粒子做

3、圓周運動的周期，轉(zhuǎn)過的圓心角越大，所用時間t越長，注意t與運動軌跡的長短無關(guān)。 4帶電粒子在兩種典型有界磁場中運動情況的分析 穿過矩形磁場區(qū)：如圖3所示，一定要先畫好輔助線（半徑、速度及延長線）。 a、帶電粒子在穿過磁場時的偏向角由sin=L/R求出；（、L和R見圖標(biāo)） b、帶電粒子的側(cè)移由R2=L2-（R-y）2解出；（y見所圖標(biāo)） c、帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間由得出。 穿過圓形磁場區(qū)：如圖4所示，畫好輔助線（半徑、速度、軌跡圓的圓心、連心線）。 a、帶電粒子在穿過磁場時的偏向角可由求出；（、r和R見圖標(biāo)） b、帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間由得出。 二、帶電粒子在有界磁場中運動類型的分析 1

4、給定有界磁場 （1）確定入射速度的大小和方向，判定帶電粒子出射點或其它 【例1】（2001年江蘇省高考試題）如圖5所示，在y<0的區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應(yīng)強度為B。一帶正電的粒子以速度v0從O點射入磁場，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正向的夾角為。若粒子射出磁場時的位置與O點的距離為l，求該粒子的電量和質(zhì)量之比q/m。 解析：帶正電粒子射入磁場后，由于受到洛侖茲力的作用，粒子將沿圖6所示的軌跡運動，從A點射出磁場，O、A間的距離為l，射出時速度的大小仍為v0，射出方向與x軸的夾角仍為。由洛侖茲力公式和牛頓定律可得， ，（式中R為圓軌道的半徑） 解得 R

5、=mv0/qB 圓軌道的圓心位于OA的中垂線上，由幾何關(guān)系可得 l/2=Rsin 聯(lián)立、兩式，解得 。 點評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射點和出射點，求該粒子的電量和質(zhì)量之比，也可以倒過來分析，求出射點的位置。在處理這類問題時重點是畫出軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系確定軌跡半徑。 （2）確定入射速度的方向，而大小變化，判定粒子的出射范圍 【例2】如圖7所示，矩形勻強磁場區(qū)域的長為L，寬為L/2。磁感應(yīng)強度為B，質(zhì)量為m，電荷量為e 的電子沿著矩形磁場的上方邊界射入磁場，欲使該電子由下方邊界穿出磁場，求：電子速率v的取值范圍？ 解析：（1）帶電粒子射入磁場后，由于速率大小的變化，導(dǎo)致粒子軌跡半徑

6、的改變，如圖所示。當(dāng)速率最小時，粒子恰好從d點射出，由圖可知其半徑R1=L/4，再由R1=mv1/eB，得 當(dāng)速率最大時，粒子恰好從c點射出，由圖可知其半徑R2滿足，即R2=5L/4，再由R2=mv2/eB，得 電子速率v的取值范圍為：。 點評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度的方向，由于入射速度的大小發(fā)生改變，從而改變了該粒子運動軌跡半徑，導(dǎo)致粒子的出射點位置變化。在處理這類問題時重點是畫出臨界狀態(tài)粒子運動的軌跡圖，再根據(jù)幾何關(guān)系確定對應(yīng)的軌跡半徑，最后求解臨界狀態(tài)的速率。 （3）確定入射速度的大小，而方向變化，判定粒子的出射范圍 【例3】（2004年廣東省高考試題）如圖8所示，真

7、空室內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強度的大小B=060T，磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離l=16cm處，有一個點狀的放射源S，它向各個方向發(fā)射粒子，粒子的速度都是v=30×106m/s，已知粒子的電荷與質(zhì)量之比q/m=50×107C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運動的粒子，求ab上被粒子打中的區(qū)域的長度。 解析：粒子帶正電，故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運動，用R表示軌道半徑，有qvB=mv2/R， 由此得 R=mv/qB，代入數(shù)值得R=10cm。 可見，2R>l>R，如圖9所示，因朝不同方向發(fā)射的粒子的圓軌跡都過

8、S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點P1就是粒子能打中的左側(cè)最遠點。為定出P1點的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于Q點，過Q作ab的垂線，它與ab的交點即為P1。 ， 再考慮N的右側(cè)。任何粒子在運動中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑、S為圓心作圓，交ab于N右側(cè)的P2點，此即右側(cè)能打到的最遠點。 由圖中幾何關(guān)系得 ， 所求長度為 P1P2=NP1+NP2， 代入數(shù)值得 P1P2=20cm。 點評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度的大小，其對應(yīng)的軌跡半徑也就確定了。但由于入射速度的方向發(fā)生改變，從而改變了

9、該粒子運動軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點位置變化。在處理這類問題時重點是畫出臨界狀態(tài)粒子運動的軌跡圖（對應(yīng)的臨界狀態(tài)的速度的方向），再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對應(yīng)的出射范圍。 2給定動態(tài)有界磁場 （1）確定入射速度的大小和方向，判定粒子出射點的位置 【例4】（2006年天津市理綜試題）在以坐標(biāo)原點O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場，如圖10所示。一個不計重力的帶電粒子從磁場邊界與x軸的交點A處以速度v沿-x方向射入磁場，恰好從磁場邊界與y軸的交點C處沿+y方向飛出。 （1）請判斷該粒子帶何種電荷，并求出其比荷q/m； （2）若磁場的方向和所在空間范

10、圍不變，而磁感應(yīng)強度的大小變?yōu)锽，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場，但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改變了60°角，求磁感應(yīng)強度B多大？此次粒子在磁場中運動所用時間t是多少？ 解析：（1）由粒子的飛行軌跡，利用左手定則可知，該粒子帶負電荷。 如圖11所示，粒子由A點射入，由C點飛出，其速度方向改變了90°，則粒子軌跡半徑 r=R，又 ， 則粒子的荷質(zhì)比為 。 （2）粒子從D點飛出磁場速度方向改變了60°角，故AD弧所對圓心角60°，粒子做圓周運動的半徑，又，所以 ， 粒子在磁場中飛行時間：。 點評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度的大小和

11、方向，但由于有界磁場發(fā)生改變（包括磁感應(yīng)強度的大小或方向的改變），從而改變了該粒子在有界磁場中運動的軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點位置變化。在處理這類問題時重點是畫出磁場發(fā)生改變后粒子運動的軌跡圖，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對應(yīng)的出射點的位置。 （2）確定入射速度和出射速度的大小和方向，判定動態(tài)有界磁場的邊界位置 【例5】（1994年全國高考試題）如圖12所示，一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點能從x軸上的b點以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于xy平面、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)

12、域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計。 解析：質(zhì)點在磁場中作半徑為R的圓周運動， qvB=（Mv2）/R，得R=（MV）/（qB）。 根據(jù)題意，質(zhì)點在磁場區(qū)域中的軌道是半徑等于R的圓上的1/4圓周，這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切。如圖13所示，過a點作平行于x軸的直線，過b點作平行于y軸的直線，則與這兩直線均相距R的O點就是圓周的圓心。質(zhì)點在磁場區(qū)域中的軌道就是以O(shè)為圓心、R為半徑的圓（圖中虛線圓）上的圓弧MN，M點和N點應(yīng)在所求圓形磁場區(qū)域的邊界上。 在通過M、N兩點的不同的圓周中，最小的一個是以MN連線為直徑的圓周。所以本題所求的圓形磁場區(qū)域的最小半徑為： ，

13、所求磁場區(qū)域如圖13所示中實線圓所示。 點評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度和出射速度的大小和方向，但由于有界磁場發(fā)生改變（磁感應(yīng)強度不變，但磁場區(qū)域在改變），從而改變了該粒子在有界磁場中運動的軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點位置變化。在處理這類問題時重點是畫出磁場發(fā)生改變后粒子運動的軌跡圖，確定臨界狀態(tài)的粒子運動軌跡圖，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對應(yīng)的磁場區(qū)域的位置。 綜上所述，運動的帶電粒子垂直進入有界的勻強磁場，若僅受洛侖茲力作用時，它一定做勻速圓周運動，這類問題雖然比較復(fù)雜，但只要準確地畫出運動軌跡圖，并靈活運用幾何知識和物理規(guī)律，找到已知量與軌道半徑R、周期T的關(guān)系，求出粒子在

14、磁場中偏轉(zhuǎn)的角度或距離以及運動時間不太難。 【鞏固練習(xí)】 1（2005年理綜I）如圖14所示，在一水平放置的平板MN的上方有勻強磁場，磁感應(yīng)強度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向里。許多質(zhì)量為m帶電量為+q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個方向，由小孔O射入磁場區(qū)域。不計重力，不計粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中。哪個圖是正確的？ A B C D 答案：A 2（1999年全國高考試題）如圖15所示中虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側(cè)的半空間存在一磁感強度為B的勻強磁場，方向垂直紙面向外是MN上的一點，從O點可以向磁場區(qū)域發(fā)射電量為+q、質(zhì)量為m、速率為v的粒子，粒子射入磁場時的速度可在紙面內(nèi)各個方向已知先后射入的兩個粒子恰好在磁場中給定的P點相遇，P到O的距離為L不計重力及粒子間的相互作用。 （1）求所考察的粒子在磁場中的軌道半徑； （2）求這兩個粒子從O點射入磁場的時間間隔。 答案：（1）R=mv/qB；（2）t=4marccos（LqB/2mv）/qB。 3（2007年武漢市理綜模擬試題）如圖16所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為