高數(shù)A下A試卷及答案

1、課程考試試題學(xué)期學(xué)年 2010/2011 2 高等數(shù)學(xué)A2（ A卷） 擬題人:校對(duì)人:擬題學(xué)院（系）: 適 用 專 業(yè): 數(shù)理學(xué)院 趙立寬 機(jī)電，信息，應(yīng)物等專業(yè) 江莉 （答案寫在答題紙上，寫在試題紙上無效）一、填空題（每小題3分，共15分）1設(shè)，則 。2一階線性微分方程的通解為 。3設(shè)L是橢圓周，則曲線積分 。4函數(shù)展開為的冪級(jí)數(shù)是 。5已知向量，則 。二、選擇題（每小題3分，共15分）1函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處（ ）。偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在 可微 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 2二重積分交換積分次序可化是（ ）。 3曲面在點(diǎn)（1,1,2）處的切平面方程是（ ）。 4若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)（ ）。絕對(duì)收

2、斂 發(fā)散 收斂 斂散性不能確定5以為周期的函數(shù)在上的表達(dá)式為，其傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為則（ ）。 1 2 0 3. 三、（共21分）1、（7分）設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。 2、（7分）計(jì)算二重積分，其中區(qū)域是由，及所圍區(qū)域。3、（7分）利用高斯公式計(jì)算曲面積分，其中為曲面（），取下側(cè)。 四、（共21分）1、（7分）利用格林公式計(jì)算曲線積分，其中L是從(1,0)沿曲線到點(diǎn)B (-1,0)的圓弧。 2、（7分）求微分方程的通解。 3、（7分）已知函數(shù)，（1）求該函數(shù)在點(diǎn)A（1，-1，2）處的梯度；（2）求該函數(shù)在點(diǎn)A（1，-1，2）處沿著從點(diǎn)A（1，-1，2）到點(diǎn)B（2，0，3）的方向的方向?qū)?/p>

3、數(shù)；（3）該函數(shù)在點(diǎn)A（1，-1，2）處沿著哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大？求出這個(gè)最大值。五、（共16分）1、（8分）求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域及和函數(shù)。2、（8分）曲面的方程為，在坐標(biāo)面上的投影為，求曲面的面積。六、（共12分）1、（6分）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列為單調(diào)數(shù)列，且級(jí)數(shù)發(fā)散，證明級(jí)數(shù)收斂。 2、（6分）設(shè)函數(shù)是由方程確定的函數(shù)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，求證：。 2010-2011 學(xué)年 2 學(xué)期 高等數(shù)學(xué)A2（A） 卷 試題標(biāo)準(zhǔn)答案擬 題 人： 趙立寬 書寫標(biāo)準(zhǔn)答案人： 趙立寬 擬題學(xué)院（系）： 數(shù)理學(xué)院 適用專業(yè)：機(jī)電、信息、應(yīng)物等相關(guān)專業(yè) （答案要注明各個(gè)要點(diǎn)的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)）一、 填空題：（每小

4、題3分，共15分）1. ；2.；3. ；4. ；5. 二、選擇題：（每小題3分，共15分） 1) B. 2) D. 3) A. 4) C. 5) C. 三、（共21分）1、解： -3分 - 7分2 、解：曲線與的交點(diǎn)為（1,1） -1分所以 ， -4分 -7分3、解 ,取,取上側(cè),記與所圍成區(qū)域?yàn)?則由Gauss公式知得 -2分 -3分原式 -5分 -7分四、（共21分）1、解 取,方向從B（-1,0）點(diǎn)到A（1,0） -2分記與所圍成區(qū)域?yàn)?則由Green公式知: - -5分 -7分2、解（1）求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解：特征方程為，則其特征根為 -2分齊次方程的通解為（與為任意常數(shù)） -3分（

5、2）求原方程的特解：由于不是特征根，則令，代入原方程得即，從而有，即 -6分原方程的通解為：（與為任意常數(shù)） -7分3、解 （1） -2分（2）令，則其方向余弦為，從而有 -5分（3）由方向?qū)?shù)和梯度的關(guān)系可知：當(dāng)沿梯度方向時(shí)，方向?qū)?shù)最大且最大值為梯度的模 -7分五、（共16分）1、解：，即冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為1 -2分而級(jí)數(shù)，都發(fā)散，所以冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?4分設(shè)冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)為，則 -6分= -8分2、解：的方程為，：或于是該曲面的面積為： -4分 -8分六、（共12分）1、證明：（1）若正項(xiàng)數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則數(shù)列必有界，因?yàn)閱握{(diào)有界數(shù)列存在極限，設(shè)，又因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散，所以，從而于是，由根值審斂法知收斂； -3分（2） 若正項(xiàng)數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列 ，則 ， 所以為收斂的等比級(jí)數(shù)，再有比較審斂法知收斂 -6分另一證法：若正項(xiàng)數(shù)列是單調(diào)有界數(shù)列，則存在，設(shè)，因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散，所以，從而于是，由根值審斂法知收斂； -3分