高二數(shù)學(xué) 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、 高二 年級(jí) 數(shù)學(xué) 科輔導(dǎo)講義（第 講）學(xué)生姓名： 授課教師： 授課時(shí)間： 專 題雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程目 標(biāo)掌握雙曲線的定義、焦點(diǎn)、離心率；漸進(jìn)線等概念重 難 點(diǎn)雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程常 考 點(diǎn)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；求弦中點(diǎn)的軌跡方程第一部分、基礎(chǔ)知識(shí)梳理（1）雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡。其中：兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)間的距離叫做焦距。注意：與（）表示雙曲線的一支。表示兩條射線；沒(méi)有軌跡；（2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象及幾何性質(zhì)：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程圖 形xOF1F2PyA2A1xOF1PB2B1F2頂 點(diǎn)對(duì)稱軸軸

2、，軸；虛軸為，實(shí)軸為焦 點(diǎn)焦 距 離心率（離心率越大，開(kāi)口越大）漸近線通 徑（3）雙曲線的漸近線：求雙曲線的漸近線，可令其右邊的1為0，即得，因式分解得到。與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是；（4）等軸雙曲線為，其離心率為（5）常用結(jié)論： 雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交雙曲線的同一支于兩點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)度為,則的周長(zhǎng)= 設(shè)雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)且垂直于對(duì)稱軸的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，則的坐標(biāo)分別是 第二部分 例題解析考點(diǎn)一：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1：討論表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征。例2：根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（1）過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。（2），經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，2），且焦點(diǎn)在軸上。

3、（3）與雙曲線有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)考點(diǎn)二、運(yùn)用雙曲線的定義求軌跡方程例3：已知兩點(diǎn)、，求與它們的距離差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)的軌跡。例4：在中，且，求點(diǎn)的軌跡。例5：求下列動(dòng)圓圓心的軌跡方程：（1）與內(nèi)切，且過(guò)點(diǎn)。（2）與和都外切。（3）與外切，且與內(nèi)切?？键c(diǎn)三、雙曲線定義的運(yùn)用例6、已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，求的大小。例7、已知、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且滿足，求的面積?？键c(diǎn)四、中點(diǎn)弦問(wèn)題 具有斜率的弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消去四個(gè)參數(shù)。例題8 已知雙曲線，過(guò)A（2，1）的直線

4、與雙曲線交于兩點(diǎn) 及，求線段的中點(diǎn)P的軌跡方程。 第三部分 鞏固練習(xí)一、選擇題：1、設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).若在雙曲線右支上存在點(diǎn)，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）A. B. C. D. 2、設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為，如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 3、設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是雙曲線（a0，b0）的焦點(diǎn)，若在雙曲線上存在點(diǎn)P，滿足P60°，OP，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）A. x±y0 B. x±y0C. x±0 D. ±y04、到兩

5、互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過(guò)其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是（ ）A. 直線 B. 橢圓 C. 拋物線 D. 雙曲線5、已知雙曲線的一條漸近線方程是y，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（ ）A. B. C. D. 6、已知、為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8二、填空題：7、點(diǎn)在雙曲線的右支上，若點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離等于，則_ 8、已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ；漸近線方程為 。9、已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同。則雙曲線的方程為 。10、若

6、雙曲線1（b0）的漸近線方程為y，則等于 。鞏固練習(xí) 參考答案：1、C 解析：利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，進(jìn)而得出a與b之間的等量關(guān)系，由此可知答案選C。本題主要考查三角形與雙曲線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，突出了對(duì)計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)能力的考查，屬于中檔題。2、D 解析：不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其方程為：，則一個(gè)焦點(diǎn)為，B（0，b）。一條漸近線的斜率為：，直線FB的斜率為：，解得。3、D 解析：本題將解析幾何與三角知識(shí)相結(jié)合，主要考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形、幾何性質(zhì)、漸近線方程，以及斜三角形的解法，屬中檔題。4、D 解析：本題使用了排除法。軌跡是軸對(duì)稱圖形，因此排除A、C，軌跡與已知直線不能有交點(diǎn)，故排除D。5、B 解析：本題主要考查雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于容易題。依題意知，所以雙曲線的方程為6、B 本小題主要考查雙曲線的定義、幾何性質(zhì)、余弦定理，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)本題還可以有效地考查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力.【解析1】由余弦定理得cos【解析2】由焦點(diǎn)三角形面積公式得：7、2 解析：考查圓錐曲線的基本概念和第二定義的轉(zhuǎn)化，得到a2，c6，8、 9、解