高中數(shù)學(xué)練習(xí)題2

1、授課時間：2006年12月7日使用班級：高管06-1(3) 授課時間：2006年12月13日使用班級：造價06-1(3) 授課時間：2006年12月6日使用班級：造價06-2(3) 授課時間：2006年12月11日使用班級：經(jīng)管06-1(3) 授課時間：2006年12月13日使用班級：隧道工程06-1(3) 授課章節(jié)名稱：第3章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第1節(jié)中值定理第2節(jié)洛必達(dá)法則教學(xué)目的：1、正確理解拉格朗日中值定理的內(nèi)容及其幾何意義2、理解洛必達(dá)法則，掌握用洛必達(dá)法則求型和型以及型未定式的極限的方法，了解型極限的求法。教學(xué)重點(diǎn)：洛必達(dá)法則教學(xué)難點(diǎn)：理解洛必達(dá)法則失效的情況,型的極限的求法。教學(xué)

2、方法：講解；啟發(fā)；舉例教學(xué)手段：傳統(tǒng)式作業(yè)：P1271、3、4 P133 2教案實(shí)施效果追記：學(xué)生缺乏洛必達(dá)法則求極限和第一章中的各種方法的綜合運(yùn)用第3.章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第1節(jié)中值定理講授新內(nèi)容一、中值定理拉格朗日中值定理 若函數(shù)()滿足：(1) 在閉區(qū)間,b上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間(,b)內(nèi)可導(dǎo)；則在(,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) (<<b),使得=或 拉格朗日中值定理在幾何上是顯然的，事實(shí)上，如果函數(shù)在上連續(xù)，除端點(diǎn)外處處有不垂直于軸的切線，那么由圖1容易看出，在AB上至少存在一點(diǎn)C(,()，使曲線在點(diǎn)C處的切線平行于弦AB。圖1拉格朗日中值定理給出了函數(shù)在區(qū)間上的改變量與函數(shù)在

3、區(qū)間上某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，從而為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上的性態(tài)提供了理論依據(jù)，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，它在微分學(xué)理論中占有重要地位。羅爾中值定理 若函數(shù)滿足：(1)在閉區(qū)間，b上連續(xù)； (2)在開區(qū)間(，b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)()=(b)，則在(，b)內(nèi)至少存在一個點(diǎn) (<<b)，使得羅爾定理幾何意義:函數(shù)y=()(ab)在幾何上表示一段曲線弧AB。若函數(shù)滿足羅爾定理中的三個條件，即曲線弧在上連續(xù)；除端點(diǎn)外處處有不垂直與軸的切線；弦AB是水平的(圖3-2)。那么在弧AB上至少存在一點(diǎn)C(，()，在該點(diǎn)處曲線的切線也是水平的，即切線平行于弦AB。羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況，而

4、拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。羅爾定理用于驗(yàn)證方程根的存在情況。例1對函數(shù)在區(qū)間-，上驗(yàn)證拉格朗日中值定理的正確性。例2 證明:當(dāng)0時,。證 當(dāng)=0時,。當(dāng)>0時，在區(qū)間0,上考察函數(shù)。顯然它在0,上滿足拉格朗日中值定理的條件。因此有-0=又得<。所以當(dāng)0時，。第2節(jié)洛必達(dá)法則在求函數(shù)的極限時,常會遇到兩個函數(shù)都是無窮小或都是無窮大,這種極限可能存在也可能不存在,通常稱這種比值的極限為不定式。當(dāng)都是無窮小時,稱它為型不定式；當(dāng)都是無窮大時，稱它為型不定式，例如重要極限就是型未定式；而是型未定式，這類極限不能用“商的極限等于極限的商”的運(yùn)算法則來求.洛必達(dá)法則就是求這種未定式的一

5、個重要且有效的方法。1、型和型不定式定理： 設(shè)函數(shù)滿足:(1)；(2)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi),與存在且；(3)存在或?yàn)闊o窮大，則極限存在或?yàn)闊o窮大，且用以上定理求型未定式的值的方法稱為洛必達(dá)(LHospiatl)法則。對于時為型未定式，以及或時為型未定式有類似的定理。定理設(shè)函數(shù)滿足：(1)(2)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)(當(dāng)時),存在,且(3)存在或?yàn)闊o窮大,則。例3求為常量,解這是型未定式，用洛必達(dá)法則，得.例4 求.解這是型未定式，用洛必達(dá)法則，得.等式右端仍為型未定式,再使用洛必達(dá)法則,有.例5求.解例6求解注意在用洛必達(dá)法則時,必須檢查所求極限是否是型(或型)未定式。特別是連續(xù)使用洛必達(dá)法則時必須

6、每一次都做檢查。如例2中所求的極限都是型未定式，直到最后出現(xiàn)重要極限.例4中最后出現(xiàn),已不再是型未定式，不能再應(yīng)用洛必達(dá)法則，否則會導(dǎo)致錯誤結(jié)果。例7 求.解這是時的型未定式。由洛必達(dá)法則，得例8 求解這是型未定式，用洛必達(dá)法則，得.例9 求為整數(shù))解.顯然當(dāng)不是整數(shù)時，結(jié)論仍成立。當(dāng)時,三個函數(shù),都是無窮大量，例6說明隨著的增大，較增大得要慢.例7說明隨著的增大, 較增大得要慢。也就是說增大的最快，次之，增大最慢。例10 求.解.2、其他類型的未定式除上述,型未定式以外,還有其他類型的未定式,如,等。求這些未定式的值，通常是將其轉(zhuǎn)化成為或型未定式，用洛必達(dá)法則來計算.下面以例題說明。 例11

7、求解這是型未定式,若改寫成=則等式右端為型未定式，用洛必達(dá)法則，得=例12 求.解 這是型未定式,將其改寫成=,等式右端為型未定式,用洛必達(dá)法則,得,所以.例13求.解 這是型未定式,設(shè),取對數(shù)得所以或。而 是型未定式，用洛必達(dá)法則，得，=例14求.解 這是型未定式。因?yàn)?而,等式右端是型未定式,用洛必達(dá)法則,得所以=例15求.解 這是型未定式。因?yàn)?而所以=.由以上各例看出，洛必達(dá)法則是求未定式的值的一種簡便有效的法則，應(yīng)用這一法則時必須注意以下幾點(diǎn)：(1) 必須將未定式化為或型才能使用洛必達(dá)法則.在連續(xù)使用洛必達(dá)法則時必須每一次都檢查所求極限是否是或型未定式。(2) 在用洛必達(dá)法則求未定式

8、的值時,要注意將所求極限盡量簡化.例如,適當(dāng)應(yīng)用無窮小的替換可以簡化運(yùn)算.例17求.解 求這個型未定式的值要連續(xù)使用洛必達(dá)法則,此時分母的高階導(dǎo)數(shù)較繁,設(shè)法簡化計算過程.由于時,與是等價無窮小,用等價無窮小替換得=,而=.(3) 在應(yīng)用洛必達(dá)法則時，要注意定理中的條件(3)，存在或?yàn)闊o窮大時,才有.若不存在也不為時,不能斷言不存在.例18求.解 當(dāng)時,為有界函數(shù),所以,故知，此極限是型未定式.用洛必達(dá)法則,得=.因?yàn)椴淮嬖?等式右端的極限不存在也不是無窮大量.因此不能應(yīng)用洛必達(dá)法則求該極限。若將所求極限變形為=·,因?yàn)?1,，由極限運(yùn)算法則知=·.故所求極限是存在的.小結(jié)：

9、1.本節(jié)我們學(xué)習(xí)了拉格朗日中值定理，它是我們后面研究函數(shù)的性態(tài)的理論基礎(chǔ)，要求記憶內(nèi)容，理解其幾何意義。2.洛必達(dá)法則是處理不定式極限的有效方法，它是第一章中求極限方法的一個補(bǔ)充，大家要通過練習(xí)掌握其規(guī)律。授課時間：2006年12月11日使用班級：高管06-1(3) 授課時間：2006年12月15日使用班級：造價06-1(3) 授課時間：2006年12月11日使用班級：造價06-2(3) 授課時間：2006年12月15日使用班級：經(jīng)管06-1(3) 授課時間：2006年12月15日使用班級：隧道工程06-1(3) 授課章節(jié)名稱：第3章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第3節(jié)函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)的極值教學(xué)目的：1

10、、掌握用單調(diào)性的判別定理求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法2、理解極值的概念、極值的必要條件、兩個判別法3、掌握求極值的方法教學(xué)重點(diǎn)：求初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值教學(xué)難點(diǎn)：極值的概念、必要條件的理解教學(xué)方法：講解；啟發(fā)；舉例教學(xué)手段：傳統(tǒng)式作業(yè)：P1392（單）、3（單）、4、5教案實(shí)施效果追記：學(xué)生有高中階段的學(xué)習(xí)，本節(jié)內(nèi)容較易理解。第3.章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第3節(jié)函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)的極值講授新內(nèi)容一、函數(shù)單調(diào)性判定法函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要特性。一般說來，用定義直接判定函數(shù)的單調(diào)性是比較困難的,下面介紹利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號判定函數(shù)單調(diào)性的方法從圖3、圖4可以看出，若函數(shù)的圖形在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)上升(下降)的

11、，則過該弧段上任意一點(diǎn)作切線,其傾角為銳(鈍)角,從而,即對此，有如下定理：定理1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)(1) 如果在內(nèi)>0，那么函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加；(2) 如果在內(nèi)<0，那么函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)減少。證 在區(qū)間內(nèi)任取兩點(diǎn)、,不妨設(shè)<函數(shù)在,上連續(xù),在()內(nèi)可導(dǎo)由拉格朗日中值定理知,至少存在一點(diǎn)(),使得(),<<由于,因此>0,故(1) 若在內(nèi)>0,則有>0,即可推出>0亦即,所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加(2) 若在內(nèi)<0,則有<0, 即可推出,亦即從而函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少上述定理中的閉區(qū)間換成開區(qū)間或無限區(qū)間，結(jié)論也成立。例1 討論

12、函數(shù)的單調(diào)性解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?2) .令=0 得(3)列表討論的符號如下：0 -0+0由定理1可知：在內(nèi)單調(diào)增加；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少。例2 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解 (1) 函數(shù)的定義域?yàn)?(2) 令得,當(dāng)時,不存在(3) 列表討論符號如下：（-,0）0（0,1）1(1,+）+不存在 0 + 00.5由定理3可知：函數(shù)的單增區(qū)間為（-，0和1，+）；單減區(qū)間0，1上述兩例告訴我們，導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)可能是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)。因此，討論函數(shù)單調(diào)性時,應(yīng)首先求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，并用這些點(diǎn)將函數(shù)的定義域劃分為若干個子區(qū)間，然后在每一個區(qū)間上討論的符號，從中確定函數(shù)的

13、單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間。例3 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?(2)令得這兩個根把分為三個區(qū)間：、(1,3)、 (3)列表討論在各部分區(qū)間上的符號如下:1（1，3）3（3，+）+0 0+3由表可知是的單調(diào)增加區(qū)間,1,3是的單調(diào)減少區(qū)間需要指出的是,若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)連續(xù),而在該區(qū)間內(nèi)除有限個點(diǎn)處為零或不存在外,其余各點(diǎn)處均為正(或負(fù))時,則函數(shù)在該區(qū)間上仍是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)，例如,的導(dǎo)數(shù),當(dāng)時,當(dāng)時,時.此時函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增加的（見圖35）例4 證明當(dāng)證設(shè)則當(dāng)故由定理2可知,為單調(diào)增加，又。即，因此二、函數(shù)的極值與極值點(diǎn)定義1. 極值的概念如圖5所示,對于某些函數(shù)的圖形有的是上升的

14、曲線段,有的是下降的曲線段,其分界點(diǎn)有的如波峰,有的如波谷,如圖中的A、B、C、D四點(diǎn)由圖可以看出,點(diǎn)、處的函數(shù)值有的總比它左右近旁的函數(shù)值大，如、；有的總比它左右近旁的函數(shù)值小,如()、()我們把這樣的函數(shù)值稱為函數(shù)的極值,把點(diǎn)、稱為函數(shù)的極值點(diǎn),一般有如下定義：定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)有定義，若對于該鄰域內(nèi)任何異于的總有(或)恒成立，則稱為函數(shù)的極大（小）值；點(diǎn)稱為函數(shù)的極大（小）點(diǎn)。函數(shù)的極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值注意：（1）極值是指函數(shù)值，而極值點(diǎn)是指自變量的值，兩者不應(yīng)混淆（2）函數(shù)的極值是局部性概念，是函數(shù)局部的最大值或最小值，但在函數(shù)的定義域內(nèi)它

15、不一定是函數(shù)最大值或最小值另外函數(shù)的極大值不一定比極小值大，例如從圖(3-6)可以看出，極大值小于極小值()（3）函數(shù)的極值只能在區(qū)間的內(nèi)部取得，在區(qū)間的端點(diǎn)處不能取得。而函數(shù)的最大值或最小值可能在區(qū)間內(nèi)部取得，也可能在區(qū)間端點(diǎn)處取得2函數(shù)極值的判定和求法怎樣求函數(shù)的極值呢？從圖6可以看出，函數(shù)在處取得極值，曲線在點(diǎn)A、B、C處有水平切線，即這些點(diǎn)處的切線平行軸，于是有由此得如下定理：定理2（極值的必要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在處取得極值，則必有通常我們把導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)（即方程的實(shí)根）叫做函數(shù)的駐點(diǎn)定理2表明，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必為它的駐點(diǎn)；反之，函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是它的極值點(diǎn)例如點(diǎn)。怎樣進(jìn)一步

16、判定函數(shù)駐點(diǎn)是否為它的極值點(diǎn)呢？下面給出判定函數(shù)極值的第一判定法：定理3 （極值的第一判定法） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，且在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)（點(diǎn)除外），若在該鄰域內(nèi)(1) 大值；(2) 當(dāng)時，；當(dāng)時,>0,則函數(shù)在點(diǎn)處有極小值,為的極小點(diǎn)；(3)若在點(diǎn)的左右兩側(cè)近旁，的符號相同，則函數(shù)這一定理的正確性是顯然的，如圖(3-6)所示，在點(diǎn)處取得極大值，當(dāng)由單調(diào)增加變?yōu)閱握{(diào)減少，從而為函數(shù)的極大值；當(dāng)由單調(diào)減少變?yōu)閱握{(diào)增加，從而為函數(shù)的極小值；近旁的增減性不發(fā)生變化，所以不是函數(shù)的極值另外，若函數(shù)處及其近旁有定義且連續(xù)，但處不可導(dǎo)，函數(shù)處也可能取極值例如函數(shù)(圖2-4)而是它的極小點(diǎn),是它的極小值

17、如圖(3-6)，是該函數(shù)的極小點(diǎn)，為它的極小值對于導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，只要函數(shù)在此點(diǎn)處連續(xù)，定理3的結(jié)論仍成立綜合上述分析可知，可按下列步驟求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出導(dǎo)數(shù)，并求函數(shù)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)；（3）列表討論在上述各點(diǎn)左右近旁的符號；（4）按定理3判定函數(shù)的極值點(diǎn)并求出函數(shù)的極值例5 求函數(shù)的極值點(diǎn)與極值解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?2)=將函數(shù)的定義域分成了三個子區(qū)間，在每一個子區(qū)間內(nèi)討論的符號(3)列表討論如下：1(1,2)2+00+極大值21極小值6（4） 由表可見，為函數(shù)的極大點(diǎn)，為函數(shù)的極大值；為函數(shù)的極小點(diǎn)，為函數(shù)的極小值例6 求函數(shù)的極值點(diǎn)與極值解

18、 (1) 函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng) (3) 列表討論如下：1（1,0）0（0,1）1(1,+)0+不存在0+極小值極大值0極小值（4）為函數(shù)的極大點(diǎn)，為函數(shù)的極大值例7 求函數(shù)的極值解 (1) 的定義域?yàn)?(2).令得駐點(diǎn)(3)列表討論符號如下：1(1, +0+無極值 (4)由表可見,該函數(shù)在其定義域內(nèi)無極值根據(jù)極值的第一判定法,必須考察駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)左右近旁的符號，有時比較麻煩,為此給出極值的第二判定法定理4 (極值的第二判定法) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù),且,則 (1)當(dāng)<0時,函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值； (2)當(dāng)0時,函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值例8 求函數(shù)的極值解 (1)在內(nèi)連續(xù),令得駐點(diǎn),

19、因故為極大點(diǎn),為極大值，故為極小點(diǎn),為極小值.此結(jié)果與例1一致由上面的兩例可以看出，當(dāng)計算且而時，用第二判定法判定極值（或極值點(diǎn)）較容易；但當(dāng)點(diǎn)是不存在的點(diǎn)（或）時，則只能采用第一判定法來鑒別小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了用一階導(dǎo)數(shù)判別單調(diào)性，從而求出極限。要求理解相關(guān)定理，掌握求單調(diào)區(qū)間和極值的方法。授課時間：2006年12月14日使用班級：高管06-1(3) 授課時間：2006年12月20日使用班級：造價06-1(3) 授課時間：2006年12月13日使用班級：造價06-2(3) 授課時間：2006年12月18日使用班級：經(jīng)管06-1(3) 授課時間：2006年12月20日使用班級：隧道工程06-1

20、(3) 授課章節(jié)名稱：第3章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第4節(jié)函數(shù)的最大值與最小值教學(xué)目的：1、掌握函數(shù)在閉區(qū)間、開區(qū)間有唯一極值情況下求最值的方法2、會解決一些簡單應(yīng)用的最值問題教學(xué)重點(diǎn)：求解各種問題中的最值教學(xué)難點(diǎn)：理解各種情況下求最值的方法教學(xué)方法：講解；啟發(fā)；舉例教學(xué)手段：傳統(tǒng)式作業(yè)：P1441（單）、3、5、6、7教案實(shí)施效果追記：學(xué)生在解決實(shí)際問題時，缺乏耐心和信心，感覺無從下手，導(dǎo)致無法解決。第3.章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第4節(jié)函數(shù)的最大值與最小值講授新內(nèi)容在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)研究中，常常要考慮在一定條件下，怎樣才能使效率最高，成本最低，用料最省等問題。這些問題反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的最大

21、值和最小值問題。一、函數(shù)的最值若函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)在上一定有最大值和最小值。它們可能在該區(qū)間的內(nèi)部取得，也可能在該區(qū)間的端點(diǎn)處取得在前一種情況下，函數(shù)的最大(小)值必然是函數(shù)的極大(小)值因此，在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最大(小)值只能在區(qū)間端點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)處取得，而極值點(diǎn)又只能在駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在點(diǎn)處，所以，求最大值和最小值的步驟：(1)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);(2)求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值。例1 求函數(shù)在區(qū)間1,3上的最值。解 ，令，得駐點(diǎn)；當(dāng)=0時，不存在計算得 ，比較以上各值可得，函數(shù)在1,3上的最大值為，最小值為在下面兩種特殊情

22、況下，求最大值、最小值很簡便：(1)若函數(shù)是上的連續(xù)單調(diào)增加(減少)函數(shù)，則必為在上的最小(大)值,必為在上的最大(小)值 f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y(2)若是內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，是在內(nèi)唯一的極值點(diǎn)，則當(dāng)為極大(小)點(diǎn)時，必為在上的最大(小)值。例2 求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最值。(1)；(2)解(1)，當(dāng)時，函數(shù)在1,4上單調(diào)增加,故為函數(shù)在1,4上的最小值,為函數(shù)在1,4上的最大值 (2)在內(nèi)連續(xù)可導(dǎo),且=,令=0，得惟一駐點(diǎn)；當(dāng)時,<0;當(dāng)時,>0，故為在內(nèi)的最小點(diǎn),而為函數(shù)的最小值函數(shù)在內(nèi)無最大值

23、,但當(dāng)時,故有界，即0。二、最值應(yīng)用舉例在實(shí)際問題中，如果函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點(diǎn)，而從實(shí)際問題本身又可以斷定在內(nèi)確有最值，那么就是所求的最值。例1 制造一個帶蓋的圓柱體形容器,其容積為定值,問底面半徑與高的比例為多少時,才能使用料最省。解 要使其用料最省，必須使容器的表面積最小設(shè)圓柱容器底面半徑為,高為,那么它的表面積S為S=(1)由于容器的容積為定值,則=,因此有 (2)將(2)代入(1)式，得, (3)令=0,即=0，解得 。在()內(nèi)函數(shù)S只有一個駐點(diǎn),而最小表面積一定存在,因此,當(dāng)時,表面積S取得最小值此時,圓柱容器的高為。由此可見,當(dāng)與的比為1:2，即底圓直徑等于高時,所用的材料最

24、省。例2 鐵路上AB段的距離為100,工廠C距離A處20,AC垂直于AB(圖)。為了運(yùn)輸需要,要在AB線上選定一點(diǎn)D，向工廠修筑一條公路。已知鐵路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比為3:5，為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省，問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？解 設(shè)AD=（），則DB=（），CD=（），設(shè)鐵路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)為3,則公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)為5(為正常數(shù))。設(shè)貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C需要的總運(yùn)費(fèi)為，則即 =·+ 0100令,即，化簡得。因0,故（）,由于,所以當(dāng)，即點(diǎn)D選在距A點(diǎn)右方處運(yùn)費(fèi)最省。例3 在橢圓上求一點(diǎn)（圖），使其在該點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積

25、最小，并求此面積。解 將橢圓方程兩邊對求導(dǎo)即 從而 于是橢圓在點(diǎn)處的切線方程為：令因此可得切線與兩個坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為因?yàn)榻獾?，所以 S=如果求此函數(shù)的最小值，運(yùn)算較復(fù)雜，我們知道：當(dāng)且僅當(dāng)分母最大時，S最小，所以設(shè)函數(shù)下面求的最大值即當(dāng)值此時 ， 所以當(dāng)切線過點(diǎn)M時，切線與兩坐標(biāo)軸圍成的面積最小，最小面積為12例4 某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時，公寓會全部租出去當(dāng)租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)試問房租定為多少可獲得最大收入？解 設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套 每月總收入為， （唯一駐點(diǎn)）故每月每套

26、租金為350元時收入最高.最大收入為小結(jié)：本節(jié)我們用極值的理論推導(dǎo)出了求最值的方法，注意極值與最值的區(qū)別，要求掌握開區(qū)間、閉區(qū)間以及實(shí)際應(yīng)用中求最值的一般求法。授課時間：2006年12月21日使用班級：高管06-1(3) 授課時間：2006年12月22日使用班級：造價06-1(3) 授課時間：2006年12月18日使用班級：造價06-2(3) 授課時間：2006年12月22日使用班級：經(jīng)管06-1(3) 授課時間：2006年12月22日使用班級：隧道工程06-1(3) 授課章節(jié)名稱：第3章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第6節(jié)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)教學(xué)目的：1、理解曲線凹凸的概念，凹凸的判別法2、會求曲線的凹

27、凸區(qū)間和拐點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：求解凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：理解凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的求法教學(xué)方法：講解；啟發(fā)；舉例教學(xué)手段：傳統(tǒng)式作業(yè)：P151 2（雙）、3、4教案實(shí)施效果追記：本節(jié)類似于單調(diào)性和極值的求法，學(xué)生較易理解。第3章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第6節(jié)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)講授新內(nèi)容前面已經(jīng)討論了函數(shù)的單調(diào)性與極值，從中可知曲線在哪個區(qū)間內(nèi)上升，哪個區(qū)間內(nèi)下降然而曲線上升（下降）的方式各不一樣，即彎曲方向各不一樣，例如函數(shù)在0，1上都是單調(diào)增加，但是這兩個函數(shù)的圖形彎曲的方向不同。為了能夠準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖像，現(xiàn)在我們將利用導(dǎo)數(shù)來研究曲線的彎曲方向。一、曲線的凹凸定義和判定法曲線弧在區(qū)間向上彎曲時呈“凹”形

28、，此時曲線弧上任意一點(diǎn)處切線總是位于該曲線弧段的下方；曲線弧在區(qū)間向下彎曲的，即它呈“凸”形，此時曲線弧上任意一點(diǎn)處的切線總位于該曲線弧段上方由此可以得出曲線的凹凸定義：定義設(shè)函數(shù)(1)若對于任意的的切線總位于曲線弧的下方，則稱曲線弧在上為凹的，為曲線的凹區(qū)間；(2)若對于任意的的切線總位于曲線弧的上方，則稱曲線弧在上為凸的，為曲線的凸區(qū)間如何判定曲線在區(qū)間上是凹狀還是凸?fàn)钅?？如圖所示，圖中的(曲線弧是凹狀的，弧上各點(diǎn)的切線斜率隨增大而增大，即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增加的；圖中的曲線弧是凸?fàn)畹?，弧上各點(diǎn)的切線斜率隨的增大而減少，即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少的，反之,由曲線弧上各點(diǎn)切線斜率隨的增大而增大(

29、減少)，是在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加(減少)，此時曲線弧呈凹(凸)狀。這樣判定曲線弧的凹凸性問題轉(zhuǎn)化為判定函數(shù)的單調(diào)性問題了。而函數(shù)的單調(diào)性可以由它的導(dǎo)函數(shù)正負(fù)來判定，于是便得到曲線凹凸性的判定定理：定理 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)(1) 若在內(nèi)，則曲線弧在上是凹的；(2) 若在內(nèi)，則曲線弧在上是凸的例1 討論曲線的凹凸性解 函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)，在內(nèi)是凹的。例2 討論曲線的凹凸性解 因?yàn)閮?nèi)是凸的，在此時，點(diǎn)是曲線由凸變凹的分界點(diǎn)二、拐點(diǎn)的定義和判定定義連續(xù)曲線上凹凸（或凸凹）兩部分曲線弧的分界點(diǎn)叫做曲線的拐點(diǎn)在例1中，點(diǎn)(0,0)是曲線的拐點(diǎn)，在例2中，點(diǎn)由前面的討論可知，曲線的凹凸性可

30、以用符號來判定，而拐點(diǎn)又是曲線凹凸（或凸凹）區(qū)間的分界點(diǎn)，由此可知：在拐點(diǎn)橫坐標(biāo)左右兩側(cè)近旁內(nèi)必然異號即曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)的極值點(diǎn)，由此可知，拐點(diǎn)橫坐標(biāo)只能是使。所以曲線的拐點(diǎn)可以用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)來求，其步驟基本類似于求函數(shù)極值的步驟例3 求曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)坐標(biāo)解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?(2)(3)列表討論如下： 0+00+曲線y拐點(diǎn)（0，1）拐點(diǎn) (4) 由上表可知，曲線在區(qū)間和內(nèi)是凹的，在區(qū)間內(nèi)是凸的曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）和（見圖3-14）綜合上述可得，求曲線凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)坐標(biāo)的一般步驟為：1 確定函數(shù)的定義域；2 求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，解出的全部實(shí)根，并求出二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；3 判

31、斷上述點(diǎn)兩側(cè)是否異號，如果在點(diǎn)的兩側(cè)異號，則點(diǎn)（，）是曲線弧的拐點(diǎn)如果在點(diǎn)的兩側(cè)同號，則點(diǎn)（，）不是曲線弧的拐點(diǎn)例4 求曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)坐標(biāo)解 (1)函數(shù)定義域， (2). 當(dāng)時,不存在， (3)列表討論如下：2不存在+拐點(diǎn)（2，1） (4) 由表可知,所給曲線在區(qū)間內(nèi)是凸的,在區(qū)間內(nèi)是凹的，曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了凹凸性和拐點(diǎn)的概念，并掌握了怎樣求凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的方法。授課時間：2006年12月21日使用班級：高管06-1(3) 授課時間：2006年12月22日使用班級：造價06-1(3) 授課時間：2006年12月20日使用班級：造價06-2(3) 授課時間：20

32、06年12月22日使用班級：經(jīng)管06-1(3) 授課時間：2006年12月22日使用班級：隧道工程06-1(3) 授課章節(jié)名稱：第3章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第7節(jié)函數(shù)圖像的描繪教學(xué)目的：1、會求函數(shù)的水平漸進(jìn)線和垂直漸進(jìn)線2、培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用微分學(xué)綜合知識的能力，描繪函數(shù)的圖形教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、極值的求法，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)的求法，函數(shù)圖形拐點(diǎn)的求法及水平、鉛直漸近線和斜漸近線描繪函數(shù)的圖形。教學(xué)難點(diǎn)：描繪圖像時各個知識的整體細(xì)節(jié)把握教學(xué)方法：講解；啟發(fā)；舉例教學(xué)手段：傳統(tǒng)式作業(yè)：P84 1、2（1）（3）教案實(shí)施效果追記：大部分學(xué)生能夠按照步驟描繪出函數(shù)的圖像，注意

33、細(xì)節(jié)的把握。第3.章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第7節(jié)函數(shù)圖像的描繪講授新內(nèi)容知道了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值、曲線的凹凸性和拐點(diǎn)后，還要明確函數(shù)圖像變化的趨勢（即曲線的漸近線），函數(shù)的圖像可以勾畫無遺下面先介紹曲線的漸近線，本節(jié)重點(diǎn)講利用微分法作函數(shù)的圖像。一、曲線的水平漸近線和鉛直漸近線函數(shù)時，一般地1如果當(dāng)以常數(shù)為極限，即則直線=b叫做曲線水平漸近線2如果當(dāng)趨于無窮大，即則直線在上例中，的鉛直漸近線例1求曲線的漸近線解，所以例2求曲線的漸近線解，所以二、函數(shù)作圖描繪函數(shù)圖形的一般步驟：(1)確定函數(shù)的定義域, 并求函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù);(2)求出一階、二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn), 求出一階、二階導(dǎo)數(shù)不存在的

34、點(diǎn);(3)列表分析, 確定曲線的單調(diào)性和凹凸性;(4)確定曲線的漸近性;(5)確定并描出曲線上極值對應(yīng)的點(diǎn)、拐點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、其它特殊點(diǎn);(6)聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)畫出函數(shù)的圖形.例3 作函數(shù)解（1）函數(shù)的定義域?yàn)?；（）令，?,1)(1,0)0(0,1)1(1,+)+00+0+極大值拐點(diǎn)極小值0其中“”表示曲線上升而且凸的，“”表示曲線下降而且凸的，“”表示曲線下降而且凹的，“”表示曲線上升而且凹的。（4）求輔助點(diǎn)：（-2，0），（，綜合上述討論，作出函數(shù)的圖象。例4 作函數(shù)的圖像解（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋捎谒院瘮?shù)是偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸對稱（），用和（3）列表討論如下：000+極大值1拐點(diǎn)（

35、4）由例2可知：的水平漸近線（5）求輔助點(diǎn)：（1，即（1，0.37）綜合上述討論，作出函數(shù)在0，+上的圖像，然后利用圖像的對稱性，便可得出函數(shù)在（，0）上的圖像這條曲線在概率論中叫做正態(tài)曲線（或高斯曲線）例5函數(shù)的圖象解 （1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?1），又.（4）列表討論如下：0(0,1)1不存在0不存在+拐點(diǎn)（0，0）間斷點(diǎn)（5）由例1可知：。綜合上述討論，作函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)的對稱性，便可得出函數(shù)在（，1），（1，0）上的圖像。小結(jié)：本節(jié)是研究函數(shù)性態(tài)的一個總結(jié)，要求能夠描繪簡單函數(shù)的圖像。授課時間：2006年12月25日使用班級：高管06-1(3) 授課時間：2006年12月29日使用班級：

36、造價06-1(3) 授課時間：2006年12月25日使用班級：造價06-2(3) 授課時間：2006年12月27日使用班級：經(jīng)管06-1(3) 授課時間：2006年12月29日使用班級：隧道工程06-1(3) 授課章節(jié)名稱：第3章復(fù)習(xí)課教學(xué)目的：1、總結(jié)本章的主要內(nèi)容，指出重點(diǎn)2、做練習(xí)鞏固知識點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：通過練習(xí)鞏固本章知識點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯誤個別指導(dǎo)教學(xué)方法：講解；練習(xí)教學(xué)手段：傳統(tǒng)式作業(yè)：復(fù)習(xí)三部分習(xí)題教案實(shí)施效果追記：學(xué)生反映良好，由于上一章的認(rèn)真程度不同，計算速度有差異。第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用基本要求與重點(diǎn)中值定理與1. 理解拉格朗日中值定理和羅爾中值定理。2. 會用洛必達(dá)法則求型和型

37、極限。3. 掌握用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的方法4. 理解極值的概念，掌握求函數(shù)極值的方法（注意必要條件和兩個判定法）5. 掌握求函數(shù)最值的方法，會求一些簡單應(yīng)用題的最值問題6. 會用二階導(dǎo)數(shù)判別曲線的凹凸性及求曲線的拐點(diǎn)7. 會求漸近線，能描繪簡單函數(shù)的圖像階段測試三一、判斷題 （對者畫“”，錯者畫“×”，每小題2分，共12分）1若（ ）2若（） 3在中，右邊的極限不存在，所以左邊的極限也不存在 （ ）4如果 （ ）5如果函數(shù)則此駐點(diǎn)必為極值點(diǎn) （ ）6若可導(dǎo)函數(shù)在的最值（ ）二、填空（ 每小題5分，共30分） 1函數(shù)遞增區(qū)間為_2函數(shù)_時，函數(shù)取得極_值,極值為_ 3函數(shù)的極小值為_4

38、如果（0，1）是曲線的拐點(diǎn)，則b=_，c=_5曲線的凹區(qū)間_凸區(qū)間_，拐點(diǎn)_.6函數(shù)的極大值為_三、選擇填空（每小題4分，共18分）1函數(shù)（ ）A. 2曲線的拐點(diǎn)為（ ）A （0，0）；B.（0，1）；C.（1，2）；D.（1，0）3曲線的水平漸近線是（ ）。A .y=2； B. y=1；C.y=0；D.x=14設(shè)曲線，則在區(qū)間（1，2）和（2，4）內(nèi)，曲線分別是（ ）。A 凸的，凸的；B .凸的，凹的；C. 凹的，凸的；D. 凹的，凹的5.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，且為的極小值，則必有（ ）A ;B .；C. 或不存在；D. 不存在6.設(shè)函數(shù)在1,2上滿足拉格朗日中值定理的條件,( )A；B .-；

39、C.；D. -四、（5分）（5分）五、證明（8分）六、在橢圓內(nèi)作一內(nèi)接矩形，試問其長和寬各為多少時，矩形的面積最大？此時面積值等于多少？（10分）七、作函數(shù)（12分）小結(jié)：通過本節(jié)較系統(tǒng)地掌握了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。授課時間：2006年12月28日使用班級：高管06-1(3) 授課時間：2006年1月3日使用班級：造價06-1(3) 授課時間：2006年12月27日使用班級：造價06-2(3) 授課時間：2006年1月5日使用班級：經(jīng)管06-1(3) 授課時間：2006年1月3日使用班級：隧道工程06-1(3) 授課章節(jié)名稱：第4章不定積分第1節(jié)不定積分的概念教學(xué)目的：1、掌握原函數(shù)的概念，理解原函數(shù)族

40、定理2、掌握不定積分的概念，理解不定積分和導(dǎo)數(shù)（或微分）運(yùn)算的互逆關(guān)系。3、理解不定積分的幾何意義教學(xué)重點(diǎn)：原函數(shù)和不定積分的概念、積分和求導(dǎo)的互逆關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)：原函數(shù)族定理教學(xué)方法：講解；啟發(fā)；舉例教學(xué)手段：傳統(tǒng)式作業(yè)：P983、5、6教案實(shí)施效果追記：講清積分符號的定義方法，幫助學(xué)生理解積分和微分是較準(zhǔn)確的互逆關(guān)系。第4章不定積分第1節(jié)不定積分的概念講授新內(nèi)容一、 原函數(shù) 首先考察下面兩個例子：例1 已知真空中的自由落體運(yùn)動在任意時刻的運(yùn)動速度為，其中常數(shù)是重力加速度又知當(dāng)時間時，路程，求該自由落體的運(yùn)動規(guī)律 解 設(shè)自由落體的運(yùn)動規(guī)律為， 由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知：因?yàn)?（這里為常數(shù)）所以 又當(dāng)時，代入上式，得故所求的運(yùn)動規(guī)律為例2 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)曲線上任意一點(diǎn)處的切線的斜率為 ，又知這條曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求這條曲線的方程解 設(shè)所求的曲線方程為，又已知曲線上任意一點(diǎn)處的