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文檔簡介

1、常見函數(shù)性質(zhì)匯總及簡單評議對稱變換xybOf(x)=b常數(shù)函數(shù) f(x)=b (bR) 1)、y=a 和 x=a 的圖像和走勢2)、圖象及其性質(zhì):函數(shù)f(x)的圖象是平行于x軸或與x軸重合(垂直于y軸)的直線xyOf(x)=kx+b一次函數(shù) f(x)=kx+b (k0,bR)1)、兩種常用的一次函數(shù)形式:斜截式 點(diǎn)斜式 2)、對斜截式而言,k、b的正負(fù)在直角坐標(biāo)系中對應(yīng)的圖像走勢:3)、|k|越大,圖象越陡;|k|越小,圖象越平緩4)、定 義 域:R 值域:R 單調(diào)性:當(dāng)k>0時 ;當(dāng)k<0時 奇 偶 性:當(dāng)b=0時,函數(shù)f(x)為奇函數(shù);當(dāng)b0時,函數(shù)f(x)沒有奇偶性;反 函

2、數(shù):有反函數(shù)(特殊情況下:K=±1并且b=0的時候)。補(bǔ)充:反函數(shù)定義:R例題:定義在r上的函數(shù)y=f(x); y=g(x)都有反函數(shù),且f(x-1)和g-1(x)函數(shù)的圖像關(guān)于y=x對稱,若g(5)=2016,求f(4)= 周 期 性:無5)、一次函數(shù)與其它函數(shù)之間的練習(xí) 1、常用解題方法:2)點(diǎn)關(guān)于直線(點(diǎn))對稱,求點(diǎn)的坐標(biāo)2、與曲線函數(shù)的聯(lián)合運(yùn)用反比例函數(shù) f(x)= (k0,k值不相等永不相交;k越大,離坐標(biāo)軸越遠(yuǎn))xyOf(x)=圖象及其性質(zhì):永不相交,漸趨平行;當(dāng)k>0時,函數(shù)f(x)的圖象分別在第一、第三象限;當(dāng)k<0時,函數(shù)f(x)的圖象分別在第二、第四象

3、限;雙曲線型曲線,x軸與y軸分別是曲線的兩條漸近線;既是中心對成圖形也是軸對稱圖形定 義 域: 值 域:單 調(diào) 性:當(dāng)k> 0時;當(dāng)k< 0時 周 期 性:無奇 偶 性:奇函數(shù) 反 函 數(shù):原函數(shù)本身 補(bǔ)充:1、反比例函數(shù)的性質(zhì)2、與曲線函數(shù)的聯(lián)合運(yùn)用(??疾橛袩o交點(diǎn)、交點(diǎn)圍城圖行的面積)入手點(diǎn)常有兩個直接帶入,利用二次函數(shù)判別式計算未知數(shù)的取值;利用斜率,數(shù)形結(jié)合判斷未知數(shù)取值(計算面積基本方法也基于此)3、反函數(shù)變形(如右圖) 1)、y=1/(x-2)和y=1/x-2的圖像移動比較2)、y=1/(-x)和y=-(1/x)圖像移動比較3)、f(x)= (c0且 d0)(補(bǔ)充一下分

4、離常數(shù))(對比標(biāo)準(zhǔn)反比例函數(shù),總結(jié)各項(xiàng)內(nèi)容)xyOf(x)=二次函數(shù)一般式:頂點(diǎn)式:兩根式:圖象及其性質(zhì):圖形為拋物線,對稱軸為 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 當(dāng)時,開口向上,有最低點(diǎn) 當(dāng)時。當(dāng) = >0時,函數(shù)圖象與軸有兩個交點(diǎn)( );當(dāng)<0時,函數(shù)圖象與軸有一個交點(diǎn)( );當(dāng)=0時,函數(shù)圖象與軸沒有交點(diǎn)。 關(guān)系 定 義 域:R 值 域:當(dāng)時,值域?yàn)椋?);當(dāng)時,值域?yàn)椋?)單 調(diào) 性:當(dāng)時;當(dāng)時. 奇 偶 性:b=/0反 函 數(shù):定義域范圍內(nèi)無反函數(shù),在單調(diào)區(qū)間內(nèi)有反函數(shù) 周 期 性:無補(bǔ)充: 1、a的正/負(fù);大/小與和函數(shù)圖象的大致走向(所以,a決定二次函數(shù)的 ) 2、3、二次函數(shù)的對稱問題

5、:關(guān)于x軸對稱;關(guān)于y軸對稱;關(guān)于原點(diǎn)對稱;關(guān)于(m,n)對稱4、二次函數(shù)常見入題考法:交點(diǎn)(交點(diǎn)之間的距離) 值域、最值、極值、單調(diào)性 數(shù)形結(jié)合判斷圖形走勢(選擇題)指數(shù)函數(shù)xyOf(x)=f(x)= ,系數(shù)只能為1。圖象及其性質(zhì):1、恒過,無限靠近軸;2、與關(guān)于軸對稱;但均不具有奇偶性。 3、在y軸右邊“底大圖高”;在y軸左邊“底大圖低”靠近關(guān)系 定 義 域:R 值 域: 單 調(diào) 性:當(dāng)時;當(dāng)時。 奇 偶 性:無 反 函 數(shù):對數(shù)函數(shù) 周 期 性:無補(bǔ)充: 1、 2、圖形變換 Log21/x和Log2- x ln(x-1)和lnx - 1xyOf(x)=f(x)=對數(shù)函數(shù)(和指數(shù)

6、函數(shù)互為反函數(shù))圖象及其性質(zhì):恒過,無限靠近軸;與關(guān)于軸對稱;x1時“底大圖低”;0x1時“底大圖高”(理解記憶)定 義 域:R 值 域: 單 調(diào) 性:當(dāng)時;當(dāng)時; 奇 偶 性:無反 函 數(shù):指數(shù)函數(shù) 周 期 性:無補(bǔ)充: 1、雙鉤函數(shù)(變形式 )圖象及其性質(zhì):兩條漸近線: 最值計算: 定 義 域: 值 域: 單 調(diào) 性: 奇 偶 性:奇函數(shù)反 函 數(shù):定義域內(nèi)無反函數(shù) 周 期 性:無注意 :雙溝函數(shù)在最值、數(shù)形結(jié)合、單調(diào)性的考察中用得較多,需特別注意最值得算法冪函數(shù)(考察時,一般不會太難)無論n取任何實(shí)數(shù),冪函數(shù)圖象必然經(jīng)過第一象限,并且一定不經(jīng)過第四象限。不需要背記,只要能夠快速畫出n=&

7、#177;1, ±1/2,±3,,1/3,0,的圖象就行注意:掌握y=x3 的圖像;掌握y=ax3+bx2+cx+d的圖像(當(dāng)a>0,當(dāng)a<0時);補(bǔ)充: 利用數(shù)形結(jié)合,判斷非常規(guī)方程的根的取值范圍。 例:P393,例題10函數(shù)圖象變換一平移變換 二對稱變換yf(x)與yf(x)關(guān)于y軸對稱;yf(x)與yf(x)關(guān)于x軸對稱;yf(x)與yf(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱;yf1(x)與yf(x)關(guān)于直線yx對稱;y|f(x)|的圖象可將yf(x)的圖象在x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到x軸上方,其余部分不變yf(|x|)的圖象:可將yf(x),x0的部分作出,再利用偶

8、函數(shù)關(guān)于y軸的對稱性三、伸縮變換yAf(x)(A0)的圖象,可將yf(x)圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸(A1)縮(0A1)到原來的A倍,橫坐標(biāo)不變而得到y(tǒng)f(ax)(a0)的圖象,可將yf(x)的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸(0a1)縮(a1)到原來的,縱坐標(biāo)不變而得到四、函數(shù)及圖象(大致圖象)典型例題精講例1:已知yf(x)的圖象如圖27所示,則下列式子中能作為f(x)的解析式是(A)A Bx22|x|1 C|x21| D解析:當(dāng)f(x)時, 其圖象恰好是上圖例2:畫出函數(shù)ylg|x1|的圖象解析:ylg|x1|例3:要將函數(shù)y的圖象通過平移變換得到y(tǒng)的圖象,需經(jīng)過怎樣的變換?解析:y1,先沿x軸方向向

9、左平移1個單位,再沿y軸方向向上平移1個單位,即可得到y(tǒng)的圖象例4:方程kx有兩個不相等的實(shí)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍解析:設(shè)y1kxy2方程表示過原點(diǎn)的直線,方程表示半圓,其圓心(2,0),半徑為1,如圖29易知當(dāng)OA與半圓相切時, ,故當(dāng)0k時,直線與半圓有兩個交點(diǎn),即0k時,原方程有兩個不相等的實(shí)根例5:作函數(shù)f(x)x的圖象分析:f(x)x不能由已知函數(shù)圖象變換得到,故需對函數(shù)f(x)的性質(zhì)進(jìn)行研究解析:函數(shù)的定義域是(,0)(0,),f(x)f(x),f(x)是(,0)(0,)上的奇函數(shù),又|f(x)|x|x|2,當(dāng)且僅當(dāng)|x|1時等號成立,當(dāng)x>0時y2;當(dāng)x<0時,y2;

10、當(dāng)x(0,1)時函數(shù)為減函數(shù),且急劇遞減;當(dāng)x1,)時函數(shù)為增函數(shù),且緩慢遞增,又x0,y0,圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn),且y軸是漸近線,作出第一象限的函數(shù)的圖象,再利用對稱性可得函數(shù)在定義域上的圖象,如圖210所示評述:(1)熟悉各種基本函數(shù)圖的“原型”是函數(shù)作圖的一項(xiàng)基本功;先研究函數(shù)的性質(zhì),再利用性質(zhì)作圖則能減少作圖的盲目性,提高圖象的準(zhǔn)確性(2)與圖象有關(guān)的“輔助線”要用虛線作,以起到定形、定性、定位、定量的作用例6:f(x)是定義在區(qū)間c,c上的奇函數(shù),其圖象如圖所示令g(x)af(x)b,則下列關(guān)于函數(shù)g(x)的敘述正確的是(B)A若a<0,則函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B若a1,

11、2<b<0,則方程g(x)0有大于2的實(shí)根C若a0,b2,則方程g(x)0有兩個實(shí)根D若a1,b<2,則方程g(x)0有三個實(shí)根解析:將f(x)圖象上每點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍,橫坐標(biāo)不變,再將所得圖象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位,得g(x)af(x)b的圖象例6:(全國)把函數(shù)yex的圖象按向量(2,3)平移,得到y(tǒng)f(x)的圖象,則f(x) ( C )(A) ex32 (B)ex32 (C)ex23 (D)ex23例7:(菏澤模擬)如圖為函數(shù)ym的圖象,其中m,n為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是 ( D )(A)m<0,n>1 (B)m

12、>O,n>l (C)m>O,0<n<1 (D)m<0,0<n<1例8:(安慶模擬)函數(shù)ye x1的圖象大致是( D )例9:在直角坐標(biāo)系xOy中,已知AOB三邊所在直線的方程分別為x0,y0,2x3y30,則AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的總數(shù)是(B)A95 B91 C88 D75解析:畫出圖象,補(bǔ)形做出長方形AOBC,共有整點(diǎn)數(shù)11×16176,而六點(diǎn)(0,10),(3,8),(6,6),(9,4),(12,2),(15,0)在長方形的對角線上,所以符合題意的點(diǎn)數(shù)為(1766)×91例10:將函數(shù)ylogx

13、的圖象沿x軸方向向右平移一個單位,得到圖象C,圖象C1與C關(guān)于原點(diǎn)對稱,圖象C2與C1關(guān)于直線yx對稱,那么C2對應(yīng)的函數(shù)解析式是_解析:C:ylog(x1);由ylog(x1)得C1:ylog2(x1);求C1的反函數(shù)得y12x例11:若函數(shù)yx24x3的圖象C與直線ykx相交于點(diǎn)M(2,1),那么曲線C與該直線有 個交點(diǎn)解析:(數(shù)形結(jié)合法)作yx24x3的圖象,知其頂點(diǎn)在M(2,1)過原點(diǎn)與點(diǎn)M(2,1)作直線ykx,如圖曲線C與直線ykx有四個交點(diǎn)例12:作函數(shù)y()|x1|的圖象解析:(1)y故它在區(qū)間1,)上的圖象,可由y2x(x0)的圖象沿x軸方向向右平移1個單位得到在區(qū)間(,1)上的圖象,可由y2x(x<0)的圖象沿x軸方向向右平移1個單位得到例13:已知函數(shù)yf(x)(xR)滿足f(ax)f(ax),求證yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱證明:設(shè)p(x0,y0)是yf(x)圖象上的任一點(diǎn),則有y0f(x0),設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線xa的對稱點(diǎn)為p(x,y),則有,即 由y0f(x0)yfa(ax)f(x)即點(diǎn)p(x,y)

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