高中的常見函數(shù)圖像及基本性質(zhì)

1、常見函數(shù)性質(zhì)匯總及簡單評議對稱變換xybOf(x)=b常數(shù)函數(shù) f(x)=b (bR) 1）、y=a 和 x=a 的圖像和走勢2）、圖象及其性質(zhì)：函數(shù)f(x)的圖象是平行于x軸或與x軸重合（垂直于y軸）的直線xyOf(x)=kx+b一次函數(shù) f(x)=kx+b (k0,bR)1)、兩種常用的一次函數(shù)形式:斜截式 點(diǎn)斜式 2）、對斜截式而言，k、b的正負(fù)在直角坐標(biāo)系中對應(yīng)的圖像走勢：3）、|k|越大，圖象越陡；|k|越小，圖象越平緩4）、定 義 域：R 值域：R 單調(diào)性：當(dāng)k>0時 ；當(dāng)k<0時 奇 偶 性：當(dāng)b=0時，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；當(dāng)b0時，函數(shù)f(x)沒有奇偶性；反 函

2、數(shù)：有反函數(shù)（特殊情況下：K=±1并且b=0的時候）。補(bǔ)充：反函數(shù)定義：R例題：定義在r上的函數(shù)y=f（x）; y=g（x）都有反函數(shù)，且f（x-1）和g-1(x)函數(shù)的圖像關(guān)于y=x對稱，若g（5）=2016，求f（4）= 周 期 性：無5）、一次函數(shù)與其它函數(shù)之間的練習(xí) 1、常用解題方法：2）點(diǎn)關(guān)于直線（點(diǎn)）對稱，求點(diǎn)的坐標(biāo)2、與曲線函數(shù)的聯(lián)合運(yùn)用反比例函數(shù) f(x)= (k0，k值不相等永不相交；k越大，離坐標(biāo)軸越遠(yuǎn))xyOf(x)=圖象及其性質(zhì)：永不相交，漸趨平行；當(dāng)k>0時，函數(shù)f(x)的圖象分別在第一、第三象限；當(dāng)k<0時，函數(shù)f(x)的圖象分別在第二、第四象

3、限；雙曲線型曲線，x軸與y軸分別是曲線的兩條漸近線；既是中心對成圖形也是軸對稱圖形定 義 域： 值 域：單 調(diào) 性：當(dāng)k> 0時；當(dāng)k< 0時 周 期 性：無奇 偶 性：奇函數(shù) 反 函 數(shù)：原函數(shù)本身 補(bǔ)充：1、反比例函數(shù)的性質(zhì)2、與曲線函數(shù)的聯(lián)合運(yùn)用（?？疾橛袩o交點(diǎn)、交點(diǎn)圍城圖行的面積）入手點(diǎn)常有兩個直接帶入，利用二次函數(shù)判別式計算未知數(shù)的取值；利用斜率，數(shù)形結(jié)合判斷未知數(shù)取值（計算面積基本方法也基于此）3、反函數(shù)變形（如右圖） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的圖像移動比較2）、y=1/(-x)和y=-（1/x）圖像移動比較3）、f(x)= (c0且 d0)（補(bǔ)充一下分

4、離常數(shù)）（對比標(biāo)準(zhǔn)反比例函數(shù)，總結(jié)各項(xiàng)內(nèi)容）xyOf(x)=二次函數(shù)一般式：頂點(diǎn)式：兩根式：圖象及其性質(zhì)：圖形為拋物線，對稱軸為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 當(dāng)時，開口向上，有最低點(diǎn) 當(dāng)時。當(dāng) = >0時，函數(shù)圖象與軸有兩個交點(diǎn)（ ）；當(dāng)<0時，函數(shù)圖象與軸有一個交點(diǎn)（ ）；當(dāng)=0時，函數(shù)圖象與軸沒有交點(diǎn)。 關(guān)系 定 義 域：R 值 域：當(dāng)時，值域?yàn)椋?）；當(dāng)時，值域?yàn)椋?）單 調(diào) 性：當(dāng)時；當(dāng)時. 奇 偶 性：b=/0反 函 數(shù)：定義域范圍內(nèi)無反函數(shù)，在單調(diào)區(qū)間內(nèi)有反函數(shù) 周 期 性：無補(bǔ)充： 1、a的正/負(fù)；大/小與和函數(shù)圖象的大致走向（所以，a決定二次函數(shù)的 ） 2、3、二次函數(shù)的對稱問題

5、：關(guān)于x軸對稱；關(guān)于y軸對稱；關(guān)于原點(diǎn)對稱；關(guān)于（m，n）對稱4、二次函數(shù)常見入題考法：交點(diǎn)（交點(diǎn)之間的距離） 值域、最值、極值、單調(diào)性 數(shù)形結(jié)合判斷圖形走勢（選擇題）指數(shù)函數(shù)xyOf(x)=f(x)= ，系數(shù)只能為1。圖象及其性質(zhì)：1、恒過，無限靠近軸；2、與關(guān)于軸對稱；但均不具有奇偶性。 3、在y軸右邊“底大圖高”；在y軸左邊“底大圖低”靠近關(guān)系 定 義 域：R 值 域： 單 調(diào) 性：當(dāng)時；當(dāng)時。 奇 偶 性：無 反 函 數(shù)：對數(shù)函數(shù) 周 期 性：無補(bǔ)充： 1、 2、圖形變換 Log21/x和Log2- x ln（x-1）和lnx - 1xyOf(x)=f(x)=對數(shù)函數(shù)（和指數(shù)

6、函數(shù)互為反函數(shù)）圖象及其性質(zhì)：恒過，無限靠近軸；與關(guān)于軸對稱；x1時“底大圖低”；0x1時“底大圖高”（理解記憶）定 義 域：R 值 域： 單 調(diào) 性：當(dāng)時；當(dāng)時； 奇 偶 性：無反 函 數(shù)：指數(shù)函數(shù) 周 期 性：無補(bǔ)充： 1、雙鉤函數(shù)（變形式 ）圖象及其性質(zhì)：兩條漸近線： 最值計算： 定 義 域： 值 域： 單 調(diào) 性： 奇 偶 性：奇函數(shù)反 函 數(shù)：定義域內(nèi)無反函數(shù) 周 期 性：無注意 :雙溝函數(shù)在最值、數(shù)形結(jié)合、單調(diào)性的考察中用得較多，需特別注意最值得算法冪函數(shù)（考察時，一般不會太難）無論n取任何實(shí)數(shù)，冪函數(shù)圖象必然經(jīng)過第一象限，并且一定不經(jīng)過第四象限。不需要背記，只要能夠快速畫出n=&

7、#177;1， ±1/2，±3,，1/3，0,的圖象就行注意：掌握y=x3 的圖像；掌握y=ax3+bx2+cx+d的圖像(當(dāng)a>0,當(dāng)a<0時)；補(bǔ)充： 利用數(shù)形結(jié)合，判斷非常規(guī)方程的根的取值范圍。 例：P393，例題10函數(shù)圖象變換一平移變換 二對稱變換yf（x）與yf（x）關(guān)于y軸對稱；yf（x）與yf（x）關(guān)于x軸對稱；yf（x）與yf（x）關(guān)于原點(diǎn)對稱；yf1（x）與yf（x）關(guān)于直線yx對稱；y|f（x）|的圖象可將yf（x）的圖象在x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到x軸上方，其余部分不變yf（|x|）的圖象：可將yf（x），x0的部分作出，再利用偶

8、函數(shù)關(guān)于y軸的對稱性三、伸縮變換yAf（x）（A0）的圖象，可將yf（x）圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸（A1）縮（0A1）到原來的A倍，橫坐標(biāo)不變而得到y(tǒng)f（ax）（a0）的圖象，可將yf（x）的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸（0a1）縮（a1）到原來的，縱坐標(biāo)不變而得到四、函數(shù)及圖象(大致圖象)典型例題精講例1：已知yf（x）的圖象如圖27所示，則下列式子中能作為f（x）的解析式是（A）A Bx22|x|1 C|x21| D解析：當(dāng)f（x）時， 其圖象恰好是上圖例2：畫出函數(shù)ylg|x1|的圖象解析：ylg|x1|例3：要將函數(shù)y的圖象通過平移變換得到y(tǒng)的圖象，需經(jīng)過怎樣的變換？解析：y1，先沿x軸方向向

9、左平移1個單位，再沿y軸方向向上平移1個單位，即可得到y(tǒng)的圖象例4：方程kx有兩個不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解析：設(shè)y1kxy2方程表示過原點(diǎn)的直線，方程表示半圓，其圓心（2，0），半徑為1，如圖29易知當(dāng)OA與半圓相切時， ，故當(dāng)0k時，直線與半圓有兩個交點(diǎn)，即0k時，原方程有兩個不相等的實(shí)根例5：作函數(shù)f（x）x的圖象分析：f（x）x不能由已知函數(shù)圖象變換得到，故需對函數(shù)f（x）的性質(zhì)進(jìn)行研究解析：函數(shù)的定義域是（，0）（0，），f（x）f（x），f（x）是（，0）（0，）上的奇函數(shù)，又|f（x）|x|x|2，當(dāng)且僅當(dāng)|x|1時等號成立，當(dāng)x>0時y2；當(dāng)x<0時，y2；

10、當(dāng)x（0，1）時函數(shù)為減函數(shù)，且急劇遞減；當(dāng)x1，）時函數(shù)為增函數(shù)，且緩慢遞增，又x0，y0，圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，且y軸是漸近線，作出第一象限的函數(shù)的圖象，再利用對稱性可得函數(shù)在定義域上的圖象，如圖210所示評述：（1）熟悉各種基本函數(shù)圖的“原型”是函數(shù)作圖的一項(xiàng)基本功；先研究函數(shù)的性質(zhì)，再利用性質(zhì)作圖則能減少作圖的盲目性，提高圖象的準(zhǔn)確性（2）與圖象有關(guān)的“輔助線”要用虛線作，以起到定形、定性、定位、定量的作用例6：f（x）是定義在區(qū)間c，c上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示令g（x）af（x）b，則下列關(guān)于函數(shù)g（x）的敘述正確的是（B）A若a<0，則函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B若a1，

11、2<b<0，則方程g（x）0有大于2的實(shí)根C若a0，b2，則方程g（x）0有兩個實(shí)根D若a1，b<2，則方程g（x）0有三個實(shí)根解析：將f（x）圖象上每點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍，橫坐標(biāo)不變，再將所得圖象向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|個單位，得g（x）af（x）b的圖象例6：(全國)把函數(shù)yex的圖象按向量(2，3)平移，得到y(tǒng)f(x)的圖象，則f(x) ( C )(A) ex32 (B)ex32 (C)ex23 (D)ex23例7：(菏澤模擬)如圖為函數(shù)ym的圖象，其中m，n為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是 ( D )(A)m<0，n>1 (B)m

12、>O，n>l (C)m>O，0<n<1 (D)m<0，0<n<1例8：(安慶模擬)函數(shù)ye x1的圖象大致是( D )例9：在直角坐標(biāo)系xOy中，已知AOB三邊所在直線的方程分別為x0，y0，2x3y30，則AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（B）A95 B91 C88 D75解析：畫出圖象，補(bǔ)形做出長方形AOBC，共有整點(diǎn)數(shù)11×16176，而六點(diǎn)（0，10），（3，8），（6，6），（9，4），（12，2），（15，0）在長方形的對角線上，所以符合題意的點(diǎn)數(shù)為（1766）×91例10：將函數(shù)ylogx

13、的圖象沿x軸方向向右平移一個單位，得到圖象C，圖象C1與C關(guān)于原點(diǎn)對稱，圖象C2與C1關(guān)于直線yx對稱，那么C2對應(yīng)的函數(shù)解析式是_解析：C:ylog（x1）；由ylog（x1）得C1:ylog2（x1）；求C1的反函數(shù)得y12x例11：若函數(shù)yx24x3的圖象C與直線ykx相交于點(diǎn)M（2，1），那么曲線C與該直線有 個交點(diǎn)解析：（數(shù)形結(jié)合法）作yx24x3的圖象，知其頂點(diǎn)在M（2，1）過原點(diǎn)與點(diǎn)M（2，1）作直線ykx，如圖曲線C與直線ykx有四個交點(diǎn)例12：作函數(shù)y（）|x1|的圖象解析:（1）y故它在區(qū)間1，）上的圖象，可由y2x（x0）的圖象沿x軸方向向右平移1個單位得到在區(qū)間（，1）上的圖象，可由y2x（x<0）的圖象沿x軸方向向右平移1個單位得到例13：已知函數(shù)yf（x）（xR）滿足f（ax）f（ax），求證yf（x）的圖象關(guān)于直線xa對稱證明:設(shè)p（x0，y0）是yf（x）圖象上的任一點(diǎn)，則有y0f（x0），設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線xa的對稱點(diǎn)為p（x，y），則有，即 由y0f（x0）yfa（ax）f（x）即點(diǎn)p（x，y）