金融數(shù)學(xué)利息理論復(fù)習(xí)題練習(xí)題

1、1. 某人借款1000元，年復(fù)利率為9%，他準(zhǔn)備利用該資金購(gòu)買一張3年期，面值為1000元的國(guó)庫(kù)券，每年末按息票率為8%支付利息，第三年末除支付80元利息外同時(shí)償付1000元的債券面值，如果該債券發(fā)行價(jià)為900元，請(qǐng)問他做這項(xiàng)投資是否合適？2. 已知：1） 求2） 求 由于由于3. 假設(shè)銀行的年貸款利率12%，某人從銀行借得期限為1年，金額為100元的貸款。銀行對(duì)借款人的還款方式有兩種方案：一、要求借款人在年末還本付息；二、要求借款人每季度末支付一次利息年末還本。試分析兩種還款方式有何區(qū)別？哪一種方案對(duì)借款人有利？4. 設(shè)，按從小到大的順序排列解：由 ， 5. 兩項(xiàng)基金X,Y以相同的金額開始，

2、且有：（1）基金X以利息強(qiáng)度5%計(jì)息；（2）基金Y以每半年計(jì)息一次的名義利率j計(jì)算；（3）第8年末，基金X中的金額是基金Y中的金額的1.5倍。求j.6. 已知年實(shí)際利率為8%，乙向銀行貸款10,000元,期限為5年，計(jì)算下列三種還款方式中利息所占的額度： 1）貸款的本金及利息積累值在第五年末一次還清； 2）每年末支付貸款利息，第五年末歸還本金； 3）貸款每年年末均衡償還（即次用年金方式償還）。三種還款方式乙方支付的利息相同嗎? 請(qǐng)你說明原因？7.某人在前兩年中，每半年初在銀行存款1000元，后3年中，每季初在銀行存款2000元，每月計(jì)息一次的年名義利率為12% 計(jì)算5年末代儲(chǔ)戶的存款積累值。8

3、. 期末付款先由1到遞增付款，然后再由到1的遞減付款形成的變額年金稱為虹式年金，試求付款期利率為的虹式年金的現(xiàn)值和終值。 解：現(xiàn)值為： 同理可證終值公式。9. 固定養(yǎng)老保險(xiǎn)計(jì)劃：責(zé)任：未退休時(shí)，每月初存入一定金額（養(yǎng)老保險(xiǎn)金），具體方式：25歲29歲，月付200元，30歲-39歲，月付300元，40歲49歲，月付500元，50歲59歲，月付1000元，權(quán)益：從退休時(shí)（60歲），每月初領(lǐng)取元退休金，一直領(lǐng)取20年。問題：在給定年利率，分別計(jì)算從25，30，40，50歲參加養(yǎng)老保險(xiǎn)，60歲以后月退休金為多少？查表可得：，。10某人繼承一筆遺產(chǎn)：從現(xiàn)在起每年初可得10000元。該繼承人以10%年利率

4、將以產(chǎn)收入存入銀行，到第五年底，在領(lǐng)取第六年年金之前將遺產(chǎn)的權(quán)益轉(zhuǎn)賣給他人，然后將前五年的存款收入取出并和轉(zhuǎn)賣收入一并做一項(xiàng)年收益率為12%的投資項(xiàng)目。若每年底的投資回報(bào)是相同的，項(xiàng)目有效期為30年。求投資人每年的回報(bào)金額。11 考慮下列兩種等價(jià)的期末年金： A：首付6000元，然后每年減少100元，直到某年（k），然后保持一定付款的水平直到永遠(yuǎn)；B：每年底固定付款5000元；如果年利率為6%，試求k（近似整數(shù)）。解：方法一：價(jià)值等式：解得，查表得 方法二：價(jià)值等式： 注意到 解得查表得答：。12 某人退休一次性獲得退休金元，它將其中的一部分用于投資回報(bào)率為的永久基金，另一部分用于投資回報(bào)率為

5、的十年期的國(guó)債。已知他前十年的收入是后十年的兩倍，試確定他投資于永久基金占總退休金的比例。13 某汽車銷售商計(jì)劃采取以下兩種零售策略：1） 若一次性付清車款，零售價(jià)格為2萬元；或2） 以年利率10%， 提供4年分期付款（按月付款）。 如果目前市場(chǎng)上，商業(yè)零售貸款月?lián)Q算的年名義利率為12%，試分析兩種零售策略那種對(duì)消費(fèi)者更優(yōu)惠？ 14 十萬元的投資每年底收回一萬元，當(dāng)不足一萬元時(shí)將不足一萬元的部分與最后一次的一萬元一次收回。如果每半年接轉(zhuǎn)一次利息的年名義利率為7%，試求收款次數(shù)和最后一次的收款金額。15考慮一個(gè)十年期的投資項(xiàng)目：第一年初投入者投入10000元，第二年初投入5000元，然后每年初只

6、需投入維修費(fèi)1000元。該項(xiàng)目期望從第六年底開始有收益：最初為8000元，以后每年遞增1000元。用DCF法計(jì)算該投資項(xiàng)目的價(jià)值。特別如果貸款利率為10%，該項(xiàng)目是否有投資價(jià)值？16某項(xiàng)10年期貸款，年利率為8%，如果還款額同時(shí)以年利率為7%在投資，求下列情況下的實(shí)際收益率： 1）到期一次還清； 2）每年還利息，到期還本金； 3）每年等額分期償還。17某基金投資者：每年初投入一定本金，共投資10年。基金本身的年回報(bào)率為7%，年底支付。分別對(duì)再投資利率為5% 和8% 兩種情況下，討論投資者的實(shí)際收益率。18討論下列模型假設(shè)下得再投資的實(shí)際收益率： 1）每年末（一個(gè)計(jì)息期）投資1單位資金，每年（一

7、個(gè)計(jì)息期）的直接投資收益率為； 2）投資的回報(bào)方式為：逐年（一個(gè)計(jì)息期）收回利息，結(jié)束時(shí)收回本金； 3）同時(shí)將每年的利息收入以再投資利率為進(jìn)行再投資。資金流程圖如下：19 投資者購(gòu)買以下五年期的金融產(chǎn)品：1）每年底得到1000元；2）每年的收入可按年利率4%再投資且當(dāng)年收回利息。如果該投資者將每年的利息收入以年利率3%再投資，實(shí)際年收益率為4%。求該金融產(chǎn)品的購(gòu)買價(jià)。20某投資者連續(xù)五年每年向基金存款1000元，年利率5%，同時(shí)利息收入可以年利率為4%投資。給出第十年底的累積余額表達(dá)式。211萬元的貸款計(jì)劃20年分年度還清，每年底還款1000元。如果貸款方可以將每年的還款以年利率為5%投資，計(jì)

8、算貸款方的實(shí)際收益率。22某活期存款賬戶年初余額為1000元，4月底存入500元，六月底和八月底分別提取200元和100元，年底余額為1236元，求該儲(chǔ)戶的年資本加權(quán)收益率。23某投資賬戶年初余額為10萬元，5月1日的余額為11.2萬元，同時(shí)投資3萬元，11月1日余額將為12.5萬元，同時(shí)提取4.2萬元，在下一年的1月1日又變?yōu)?0萬元。分別用資金加權(quán)和時(shí)間加權(quán)求投資收益率。24某基金由兩個(gè)投資人，甲年初在基金中有資金1萬元，年中又投入1萬元，乙年初有2萬元，上半年收益率為10%，下半年收益率為20%，利用投資組合法計(jì)算甲乙應(yīng)分得的收益。25債券A，面值為，收益率為，無違約風(fēng)險(xiǎn)；債券B，面值為

9、，收益率為，違約概率為（），如果違約發(fā)生則到期債券的價(jià)值為0，即債券B在到期時(shí)的價(jià)值為隨機(jī)變量。問題：在什么條件（，滿足什么關(guān)系）下，債券A和債券B對(duì)投資者來說有相同的期望收益？分析：要使兩債券在到期時(shí)有相同的期望收益，兩債券期末的期望本利和應(yīng)相同，所以應(yīng)有關(guān)系：即：26某按月攤還的債務(wù)，年實(shí)際利率為11%，如果第三次還款中的本金量為1000元，計(jì)算第33次還款中本金部分的金額。27某借款人借款2000元，年利率為10%，要求兩年內(nèi)還清。借款人以償債基金方式還款：每半年向基金存款一次，而且存款利率為季度掛牌利率8%，求每半年應(yīng)償債基金的存款額。并構(gòu)造償還表。28假設(shè)一筆貸款期限為5年，貸款利率

10、為10%，如果貸款人計(jì)劃每年末的總付款額為：1000元、2000元、3000元、4000元和5000元。試分別用分期償還法和償債基金利率為8%的償債基金法計(jì)算原始貸款本金?；靖拍睿?. 實(shí)際利率、單利法 、復(fù)利法、均衡利率、單位度量期上貼現(xiàn)次貼現(xiàn)值的名義貼現(xiàn)率、單位度量期上結(jié)轉(zhuǎn)次利息的名義利率、實(shí)際貼現(xiàn)率、標(biāo)準(zhǔn)年金、變額年金、永續(xù)年金、年金現(xiàn)值、永續(xù)年金的現(xiàn)值、年金終值、變動(dòng)利率年金、支付利率原則、 經(jīng)歷利率原則、利息結(jié)轉(zhuǎn)周期、支付周期、投資項(xiàng)目的收益率、內(nèi)涵報(bào)酬率、2. 利率水平是受債券或貨幣的供求關(guān)系影響，決定利率水平的兩種理論模型：可貸資金模型和流動(dòng)性偏好模型。3. 一般情況下，在其他

11、條件不變的情況下，收益率曲線隨期限變化的規(guī)律是：期限越長(zhǎng)，收益率越大，收益率是關(guān)于期限的單調(diào)增函數(shù)，或者說：長(zhǎng)期利率大于短期利率。4. 常見的用于解釋利率期限結(jié)構(gòu)的理論模型有 純粹預(yù)期假設(shè)、流動(dòng)性偏好假設(shè)、市場(chǎng)分割假設(shè)、區(qū)間（完全）偏好假設(shè)等。5. 影響債券供給曲線的因素：經(jīng)濟(jì)周期、預(yù)期通貨膨脹率、政府活動(dòng)規(guī)律。6. 影響債券需求曲線的主要因素有：經(jīng)濟(jì)周期、價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)、流動(dòng)性、預(yù)期利率、預(yù)期通貨膨脹率。7. 內(nèi)涵報(bào)酬率可以用來對(duì)投資項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)價(jià)：當(dāng)內(nèi)涵報(bào)酬率大于投資者預(yù)先設(shè)定的利率時(shí)，投資項(xiàng)目可行。8. 投資收益率的計(jì)算方法主要有：幣值加權(quán)平均法和時(shí)間加權(quán)平均法。9. 投資收益的分配方法主要有：

12、投資額法（投資組合法）和投資年法10. 當(dāng)債券存在違約風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償方式有：提高收益率和降低發(fā)行價(jià)。11. 按照利息的支付方式不同債券可分為：零息債券和附息債券。影響債券價(jià)格的主要因素有：債券的到期時(shí)間、債券的息票率、可贖回條款、通貨膨脹調(diào)整、稅收待遇、債券的流動(dòng)性、違約風(fēng)險(xiǎn)。12. 債券的發(fā)行方式有：溢價(jià)發(fā)行、折價(jià)發(fā)行、平價(jià)發(fā)行。2 已知：1） 求2） 求 由于由于4 設(shè)，按從小到大的順序排列解：由 關(guān)于單調(diào)減，而關(guān)于單調(diào)增，又由于 10. 期末付款先由1到遞增付款，然后再由到1的遞減付款形成的變額年金稱為虹式年金，試求付款期利率為的虹式年金的現(xiàn)值和終值。 解：現(xiàn)值為： 同理可證終值公

13、式。11 考慮下列兩種等價(jià)的期末年金： A：首付6000元，然后每年減少100元，直到某年（k），然后保持一定付款的水平直到永遠(yuǎn)；B：每年底固定付款5000元；如果年利率為6%，試求k（近似整數(shù)）。解：方法一：價(jià)值等式：解得，查表得 方法二：價(jià)值等式： 注意到 解得 查表得答：。5 兩項(xiàng)基金X,Y以相同的金額開始，且有：（1）基金X以利息強(qiáng)度5%計(jì)息；（2）基金Y以每半年計(jì)息一次的名義利率j計(jì)算；（3）第8年末，基金X中的金額是基金Y中的金額的1.5倍。求j.解：設(shè)兩基金開始金額為單位1。a) 第八年末基金X的累計(jì)終值為： b) 第八年末基金Y的累計(jì)終值為：由， 解方程求出即可。6 已知年實(shí)際

14、利率為8%，乙向銀行貸款10,000元,期限為5年，計(jì)算下列三種還款方式中利息所占的額度： 1）貸款的本金及利息積累值在第五年末一次還清； 2）每年末支付貸款利息，第五年末歸還本金； 3）貸款每年年末均衡償還（即次用年金方式償還）。三種還款方式乙方支付的利息相同嗎? 請(qǐng)你說明原因？解：本題從投資者的還款角度來考慮，不考慮還款人的機(jī)會(huì)成本。并假定貸款利率和年實(shí)際利率相同。1）一次還清，期末累計(jì)值為： 利息金額為：元 2）每年支付的貸款利息為：10000元 5年支付的總利息金額：4000元 3）每次償還金額：2504.56 總的還款金額2504.56=12522.8 利息金額為：2522.8元為什

15、么會(huì)不一樣呢？28假設(shè)一筆貸款期限為5年，貸款利率為10%，如果貸款人計(jì)劃每年末的總付款額為：1000元、2000元、3000元、4000元和5000元。試分別用分期償還法和償債基金利率為8%的償債基金法計(jì)算原始貸款本金。解：分期償還法計(jì)算的還款金額： （元） 償債基金法：假設(shè)原始貸款額為，則每年的利息金額為，每年向償債基金的存款額為，這些儲(chǔ)蓄額按償債基金利率的累積值應(yīng)為原始貸款本金，所以有 ，代入解得： （元） 但是上述計(jì)算有問題，因?yàn)橘J款人第一年支付的總金額（1000元）不足以償還當(dāng)期的利息金額（1052.469元）這是需要將不足支付利息的部分（1000-10052.469=-52.469）按10% 的貸款利率本金化。相當(dāng)于在第一年末還過1000元后，本金額又增加了52.469元。 假設(shè)原始貸款額為，第一年末還1000元后的貸款凈額為：，所以以后4年，每年向償債基金的存款額已分別為： ，而這些存款案償債基金利率積累的期末值應(yīng)為，即：，代入解得：（元）所以 元。7. 某人借款1000元，年復(fù)利率為9%，他準(zhǔn)備利用該資金購(gòu)買一張3年期，面值為1000元的國(guó)庫(kù)券，每年末按息票率為8%支付利息，第三年末除支付80元利息外同時(shí)償付1000元的債券面值，如果該債券發(fā)行價(jià)為900元，請(qǐng)問他做這項(xiàng)投資是否合適？解：設(shè)在券的收益率為 則有 求出與借款利率9%比較。大于