高三數(shù)學(xué)解析幾何解題技巧

1、高三數(shù)學(xué)解析幾何解題技巧 解析幾何是現(xiàn)在高考中區(qū)分中上層學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的一個(gè)關(guān)鍵考點(diǎn)。能順利解答解析幾何題是數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)躍上新臺(tái)階的重要條件。在解決此類問(wèn)題時(shí)的要點(diǎn)主要有：用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)看待條件；挖掘出其中隱含的幾何量之間關(guān)系；用代數(shù)語(yǔ)言（通常即是方程或不等式）翻譯幾何量之間關(guān)系；注意根據(jù)題設(shè)條件分類討論。其中對(duì)能力的要求主要體現(xiàn)在如何選擇變量和合理的運(yùn)算路徑上。三種運(yùn)算：坐標(biāo)、向量和運(yùn)用幾何性質(zhì)推理，如何選擇？依據(jù)的不是必然的邏輯推理，而是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)獲得的合情推理。 解析幾何的學(xué)科特征是“算”，它的第一步是把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言，轉(zhuǎn)換的橋梁大致有三類：與線段長(zhǎng)度有關(guān)，用距離公式；與線段比有關(guān)的用向量、

2、坐標(biāo)之間關(guān)系轉(zhuǎn)換；與角度有關(guān)用斜率或用向量夾角公式處理。一經(jīng)轉(zhuǎn)化，解析幾何問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)問(wèn)題。如討論一元二次方程根的情況，解方程組，求代數(shù)式的最大值或最小值等等。 常見(jiàn)翻譯方法：距離問(wèn)題：距離公式幾個(gè)特殊轉(zhuǎn)換技巧： 若一條直線上有若干點(diǎn)，如等，它們之間距離存在比例關(guān)系，如滿足條件則可根據(jù)它們分別在兩坐標(biāo)軸之間距離關(guān)系，利用平行直線分線段成比例之關(guān)系轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)關(guān)系：當(dāng)然也可轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系再轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)關(guān)系等。利用向量求距離。角度問(wèn)題：若條件表述為所目標(biāo)角A是鈍角、直角或銳角，則用向量轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔，即的值分別是小于零、等于零或大于零。一般角度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角公式即：面積問(wèn)題：主要是三角形面積

3、公式：在中（O是原點(diǎn)）特殊地，若三角形中有某條線段是定值，則可把三角形分解為兩個(gè)三角形來(lái)分別求面積。如橢圓的左右焦點(diǎn)分別為過(guò)左焦點(diǎn)直線交橢圓于則 三點(diǎn)共線問(wèn)題：一般來(lái)說(shuō)，可直接寫(xiě)出過(guò)其中兩點(diǎn)的直線方程，再把另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可，但在具體問(wèn)題中，用兩點(diǎn)之間斜率相等（有時(shí)是用向量共線，可不用討論斜率存在情況）更合適。 最后，針對(duì)廣東高考命題特點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們記住一句話：心中有數(shù)，不如心中有圖，心中有圖，不如會(huì)用圖?！纠}訓(xùn)練】1（本小題滿分14分）給定橢圓稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”，若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”的方程；(2)點(diǎn)P是

4、橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，且分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N. 當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求的方程；求證：為定值.2（本小題共14分）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn) 且與直線相切(1)求動(dòng)圓的圓心軌跡C的方程；(2)是否存在直線l，使l過(guò)點(diǎn) 并與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.3（本小題滿分14分）已知橢圓橢圓以的長(zhǎng)軸為短軸，且與有相同的離心率(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓和上，求直線AB的方程.參考答案1解：(1)由題意得，所以 故橢圓方程為準(zhǔn)圓的方程為.2分(2)當(dāng)點(diǎn)P為“準(zhǔn)圓”與y軸

5、正半軸的交點(diǎn)時(shí)，它的坐標(biāo)為由題意知直線的斜率均存在時(shí)，設(shè)其斜率分別為 過(guò)點(diǎn)P的直線l的方程分別為聯(lián)立方程組消去y得因?yàn)橹本€l與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以 解得.4分不妨設(shè)所以的方程分別為.5分(i)當(dāng)中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)無(wú)斜率，因?yàn)榕c橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為或當(dāng)?shù)姆匠虨闀r(shí)，與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（或)且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是（或)，即為（或)，顯然直線垂直， 同理可證的方程為時(shí)，直線垂直.8分(ii)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn) 其中設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為則消去y，得化簡(jiǎn)，得.10分因?yàn)?所以設(shè)的斜率分別為因?yàn)榕c橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以滿足上述方程所以即與互相垂直 .12分綜合(i)、(ii)知：因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)且垂直，所以線段MN為準(zhǔn)圓的直徑，故14分2. 解：(1) 如圖，設(shè)M為動(dòng)圓圓心， 過(guò)點(diǎn)M作直線的垂線垂足為N，由題意知： 2分即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F與到定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 5分(2) 若直線l的斜率不存在，則與拋物線C相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；若直線l的斜率為0，則與拋物線C相交，只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；6分故設(shè)直線l的方程為由得 8分且9分 設(shè)則 11分由， 即于是12分即 解得13分直線l存在，其方程為即14分3解：