高中必修15錯誤解題分析系列124線性回歸方程

1、12.4線性回歸方程一、知識導(dǎo)學(xué)1 變量之間的常見關(guān)系有如下兩類：一類是確定性函數(shù)關(guān)系，變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示；一類是相關(guān)關(guān)系，變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)來表達2 能用直線方程近似表示的相關(guān)關(guān)系叫做線性相關(guān)關(guān)系3 一般地，設(shè)有（x,y）的n對觀察數(shù)據(jù)如下：當(dāng)a,b使取得最小值時，就稱為擬合這n對數(shù)據(jù)的線性回歸方程，將該方程所表示的直線稱為回歸直線.4線性回歸方程中的系數(shù)滿足：由此二元一次方程組便可依次求出的值： （*）5一般地，用回歸直線進行擬合的一般步驟為：（1）作出散點圖，判斷散點是否在一條直線附近；（2）如果散點在一條直線附近，用公式（*）求出，并寫出線性回歸方程.二、

2、疑難知識導(dǎo)析1現(xiàn)實世界中兩個變量的關(guān)系中更多的是相關(guān)關(guān)系而不是確定性關(guān)系，許多物理學(xué)中公式看起來是確定性關(guān)系，實際上由于公式的使用范圍，測量誤差等的影響，試驗得到的數(shù)據(jù)之間是相關(guān)關(guān)系.2用最小二乘估計方法計算得到的使函數(shù)達到最小3還有其他尋找較好的回歸直線的原則（如使y方向的偏差和最小，使各點到回歸直線的距離之和最小等）4 比較相關(guān)關(guān)系絕對值的大小可以比較一組變量之間哪兩個變量有更強的（線性）相關(guān)關(guān)系.5 “最好的”直線方程中“最好”可以有多種解釋，也就有不同的求解方法，現(xiàn)在廣泛采用的最小二乘法所用的思想是找到使散點到直線在垂直方向上的距離的平方和最小的直線，用這個方法，的求解最簡單三、經(jīng)典例

3、題導(dǎo)講例1有如下一組y與x的數(shù)據(jù)3210123y9410149問y與x的(樣本)相關(guān)系數(shù)r是多少?這是否說明y與x沒有關(guān)系?錯解：所以相關(guān)系數(shù)r=0,即y與x沒有關(guān)系.錯因：相關(guān)系數(shù)r=0并不是說明y與x沒有關(guān)系，而是說明y與x沒有線性相關(guān)關(guān)系，但有可能有非線性相關(guān)關(guān)系.正解：所以相關(guān)系數(shù)r=0,即y與x沒有線性相關(guān)關(guān)系，但有可能有非線性相關(guān)關(guān)系.此題中y與x之間存在著的二次相關(guān)關(guān)系的.例2某工廠在2004年的各月中，一產(chǎn)品的月總成本y（萬元）與月產(chǎn)量x（噸）之間有如下數(shù)據(jù)：x4.164.244.384.564.724.965.185.365.65.745.966.14y4.384.564.6

4、4.834.965.135.385.555.715.896.046.25若2005年1月份該產(chǎn)品的計劃產(chǎn)量是6噸，試估計該產(chǎn)品1月份的總成本.分析：可將此問題轉(zhuǎn)化為下面三個問題：（1）畫出散點圖，根據(jù)散點圖，大致判斷月總成本y與月產(chǎn)量之間是否有線性相關(guān)關(guān)系；（2）求出月總成本y與月產(chǎn)量x之間的線性回歸方程；（4） 若2005年1月份該產(chǎn)品的計劃產(chǎn)量是6噸，試估計該產(chǎn)品1月份的總成本.錯解：省去第一步，即把判斷判斷月總成本y與月產(chǎn)量之間是否有線性相關(guān)關(guān)系的過程舍去，想當(dāng)然其具有線性相關(guān)關(guān)系，直接代入公式，求出線性回歸方程.錯因：此題的月總成本y與月產(chǎn)量x之間確實是有線性相關(guān)關(guān)系，若不具有則會導(dǎo)致

5、錯誤.因此判斷的過程不可少.正解：（1）散點圖見下面，從圖中可以看到，各點大致在一條直線附近，說明x與y有較強的線性相關(guān)關(guān)系.（2）代入公式（*）得：a=0.9100,b=0.6477，線性回歸方程是：y=0.9100x+0.6477.（3）當(dāng)x=6.0時，y=0.9100（萬元），即該產(chǎn)品1月份的總成本的估計值為6.11萬元.例3變量與有線性回歸方程，現(xiàn)在將的單位由變?yōu)榈膯挝挥勺優(yōu)?，則在新的回歸方程中. .錯解：0.1錯因：由 且的值變?yōu)樵瓉淼?，的值變?yōu)樵瓉淼目傻玫闹祽?yīng)為原來的.正解：0.01例4假定一個物體由不同的高度落下，并測量它落下的時間，幾個測量結(jié)果如下表所示：高度s(cm)406

6、0100130150180200220240時間t(ms)353387505552579648659700725高度（距離）與時間之間的關(guān)系由公式給出，這里g是重力加速度的值.（1）畫出s關(guān)于t的散點圖，這些點在一條直線附近嗎？（2）設(shè)，畫出s關(guān)于x的散點圖，這些點在一條直線附近嗎？（3）求出s關(guān)于x的線性回歸方程.解：（1）高度s關(guān)于時間t的散點圖見下面，從圖中可以看到這些點似乎在一條直線附近，也好像在一條拋物線附近（2）高度s關(guān)于x的散點圖見下面，從圖中可以看到這些散點大致在一條直線附近（3）可以求得s關(guān)于x的線性回歸方程是s=0.0004901x18.8458例5測得某國10對父子身高（

7、單位：英寸）如下：父親身高（x）60626465666768707274兒子身高（y）63.565.26665.566.967.167.468.370.170（1）畫出散點圖；（2）求出y與x之間的線性回歸方程；（3）如果父親的身高為73英寸，估計兒子的身高.解：（1）散點圖見下面：（2）從散點圖可以看出，這些點都分布在一條直線附近，可求得線性回歸方程為（3）當(dāng)時，所以當(dāng)父親的身高為73英寸時，估計兒子的身高約為69.9英寸.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1回歸直線方程的系數(shù)a,b的最小二乘估計使函數(shù)最小，函數(shù)指（ ）.A B. C D.2“回歸”一詞是在研究子女的身高與父母的身高之間的遺傳關(guān)系時，高爾頓提

8、出的，他的研究結(jié)果是子代的平均身高向中心回歸.根據(jù)他的結(jié)論在兒子的身高y與父親的身高x的線性回歸方程中，b（ ）.A在（1，0）內(nèi) B.等于0 C在（0，1）內(nèi) D.在1，+內(nèi)3在研究硝酸鈉的可溶性程度時，對不同的溫度觀測它在水中的溶解度，得到觀測結(jié)果如下：溫度x010205070溶解度 y 66.776.085.0112.3128.0則由此得到的回歸直線的斜率是 （保留4位有效數(shù)字）4下面的數(shù)據(jù)是年齡在40至60歲的男子中隨機抽取的6個樣本，分別測定了心臟功能水平y(tǒng)（滿分100），以及每天畫在看電視上的平均時間x（小時）看電視平均時間x4.44.62.75.80.24.6心臟功能水平y(tǒng)525369578965則x與y的樣本相關(guān)系數(shù)為 .5某地區(qū)近年來冬季的降雨量x(cm)與次年夏季空氣中碳?xì)浠衔锏淖罡咂骄鶟舛葃（ppm），的觀測數(shù)據(jù)如下表：年份 n1988198919901991199219931994199519961997199819992000x28223123583321204531231614y4.54.14.84.24.63.63.12.83.42.62.32.22.0你認(rèn)為y與x是什么關(guān)系？y與n是什么關(guān)系？6每立方米混凝土的水泥用量x（單位：kg）與28天后混凝土的托壓強度（單位：kg/