高中必修15錯(cuò)誤解題分析系列124線性回歸方程

1、12.4線性回歸方程一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1 變量之間的常見關(guān)系有如下兩類：一類是確定性函數(shù)關(guān)系，變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示；一類是相關(guān)關(guān)系，變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)來表達(dá)2 能用直線方程近似表示的相關(guān)關(guān)系叫做線性相關(guān)關(guān)系3 一般地，設(shè)有（x,y）的n對(duì)觀察數(shù)據(jù)如下：當(dāng)a,b使取得最小值時(shí)，就稱為擬合這n對(duì)數(shù)據(jù)的線性回歸方程，將該方程所表示的直線稱為回歸直線.4線性回歸方程中的系數(shù)滿足：由此二元一次方程組便可依次求出的值： （*）5一般地，用回歸直線進(jìn)行擬合的一般步驟為：（1）作出散點(diǎn)圖，判斷散點(diǎn)是否在一條直線附近；（2）如果散點(diǎn)在一條直線附近，用公式（*）求出，并寫出線性回歸方程.二、

2、疑難知識(shí)導(dǎo)析1現(xiàn)實(shí)世界中兩個(gè)變量的關(guān)系中更多的是相關(guān)關(guān)系而不是確定性關(guān)系，許多物理學(xué)中公式看起來是確定性關(guān)系，實(shí)際上由于公式的使用范圍，測(cè)量誤差等的影響，試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)之間是相關(guān)關(guān)系.2用最小二乘估計(jì)方法計(jì)算得到的使函數(shù)達(dá)到最小3還有其他尋找較好的回歸直線的原則（如使y方向的偏差和最小，使各點(diǎn)到回歸直線的距離之和最小等）4 比較相關(guān)關(guān)系絕對(duì)值的大小可以比較一組變量之間哪兩個(gè)變量有更強(qiáng)的（線性）相關(guān)關(guān)系.5 “最好的”直線方程中“最好”可以有多種解釋，也就有不同的求解方法，現(xiàn)在廣泛采用的最小二乘法所用的思想是找到使散點(diǎn)到直線在垂直方向上的距離的平方和最小的直線，用這個(gè)方法，的求解最簡(jiǎn)單三、經(jīng)典例

3、題導(dǎo)講例1有如下一組y與x的數(shù)據(jù)3210123y9410149問y與x的(樣本)相關(guān)系數(shù)r是多少?這是否說明y與x沒有關(guān)系?錯(cuò)解：所以相關(guān)系數(shù)r=0,即y與x沒有關(guān)系.錯(cuò)因：相關(guān)系數(shù)r=0并不是說明y與x沒有關(guān)系，而是說明y與x沒有線性相關(guān)關(guān)系，但有可能有非線性相關(guān)關(guān)系.正解：所以相關(guān)系數(shù)r=0,即y與x沒有線性相關(guān)關(guān)系，但有可能有非線性相關(guān)關(guān)系.此題中y與x之間存在著的二次相關(guān)關(guān)系的.例2某工廠在2004年的各月中，一產(chǎn)品的月總成本y（萬元）與月產(chǎn)量x（噸）之間有如下數(shù)據(jù)：x4.164.244.384.564.724.965.185.365.65.745.966.14y4.384.564.6

4、4.834.965.135.385.555.715.896.046.25若2005年1月份該產(chǎn)品的計(jì)劃產(chǎn)量是6噸，試估計(jì)該產(chǎn)品1月份的總成本.分析：可將此問題轉(zhuǎn)化為下面三個(gè)問題：（1）畫出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖，大致判斷月總成本y與月產(chǎn)量之間是否有線性相關(guān)關(guān)系；（2）求出月總成本y與月產(chǎn)量x之間的線性回歸方程；（4） 若2005年1月份該產(chǎn)品的計(jì)劃產(chǎn)量是6噸，試估計(jì)該產(chǎn)品1月份的總成本.錯(cuò)解：省去第一步，即把判斷判斷月總成本y與月產(chǎn)量之間是否有線性相關(guān)關(guān)系的過程舍去，想當(dāng)然其具有線性相關(guān)關(guān)系，直接代入公式，求出線性回歸方程.錯(cuò)因：此題的月總成本y與月產(chǎn)量x之間確實(shí)是有線性相關(guān)關(guān)系，若不具有則會(huì)導(dǎo)致

5、錯(cuò)誤.因此判斷的過程不可少.正解：（1）散點(diǎn)圖見下面，從圖中可以看到，各點(diǎn)大致在一條直線附近，說明x與y有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.（2）代入公式（*）得：a=0.9100,b=0.6477，線性回歸方程是：y=0.9100x+0.6477.（3）當(dāng)x=6.0時(shí)，y=0.9100（萬元），即該產(chǎn)品1月份的總成本的估計(jì)值為6.11萬元.例3變量與有線性回歸方程，現(xiàn)在將的單位由變?yōu)榈膯挝挥勺優(yōu)?，則在新的回歸方程中. .錯(cuò)解：0.1錯(cuò)因：由 且的值變?yōu)樵瓉淼?，的值變?yōu)樵瓉淼目傻玫闹祽?yīng)為原來的.正解：0.01例4假定一個(gè)物體由不同的高度落下，并測(cè)量它落下的時(shí)間，幾個(gè)測(cè)量結(jié)果如下表所示：高度s(cm)406

6、0100130150180200220240時(shí)間t(ms)353387505552579648659700725高度（距離）與時(shí)間之間的關(guān)系由公式給出，這里g是重力加速度的值.（1）畫出s關(guān)于t的散點(diǎn)圖，這些點(diǎn)在一條直線附近嗎？（2）設(shè)，畫出s關(guān)于x的散點(diǎn)圖，這些點(diǎn)在一條直線附近嗎？（3）求出s關(guān)于x的線性回歸方程.解：（1）高度s關(guān)于時(shí)間t的散點(diǎn)圖見下面，從圖中可以看到這些點(diǎn)似乎在一條直線附近，也好像在一條拋物線附近（2）高度s關(guān)于x的散點(diǎn)圖見下面，從圖中可以看到這些散點(diǎn)大致在一條直線附近（3）可以求得s關(guān)于x的線性回歸方程是s=0.0004901x18.8458例5測(cè)得某國10對(duì)父子身高（

7、單位：英寸）如下：父親身高（x）60626465666768707274兒子身高（y）63.565.26665.566.967.167.468.370.170（1）畫出散點(diǎn)圖；（2）求出y與x之間的線性回歸方程；（3）如果父親的身高為73英寸，估計(jì)兒子的身高.解：（1）散點(diǎn)圖見下面：（2）從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)都分布在一條直線附近，可求得線性回歸方程為（3）當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)父親的身高為73英寸時(shí)，估計(jì)兒子的身高約為69.9英寸.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1回歸直線方程的系數(shù)a,b的最小二乘估計(jì)使函數(shù)最小，函數(shù)指（ ）.A B. C D.2“回歸”一詞是在研究子女的身高與父母的身高之間的遺傳關(guān)系時(shí)，高爾頓提

8、出的，他的研究結(jié)果是子代的平均身高向中心回歸.根據(jù)他的結(jié)論在兒子的身高y與父親的身高x的線性回歸方程中，b（ ）.A在（1，0）內(nèi) B.等于0 C在（0，1）內(nèi) D.在1，+內(nèi)3在研究硝酸鈉的可溶性程度時(shí)，對(duì)不同的溫度觀測(cè)它在水中的溶解度，得到觀測(cè)結(jié)果如下：溫度x010205070溶解度 y 66.776.085.0112.3128.0則由此得到的回歸直線的斜率是 （保留4位有效數(shù)字）4下面的數(shù)據(jù)是年齡在40至60歲的男子中隨機(jī)抽取的6個(gè)樣本，分別測(cè)定了心臟功能水平y(tǒng)（滿分100），以及每天畫在看電視上的平均時(shí)間x（小時(shí)）看電視平均時(shí)間x4.44.62.75.80.24.6心臟功能水平y(tǒng)525369578965則x與y的樣本相關(guān)系數(shù)為 .5某地區(qū)近年來冬季的降雨量x(cm)與次年夏季空氣中碳?xì)浠衔锏淖罡咂骄鶟舛葃（ppm），的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表：年份 n1988198919901991199219931994199519961997199819992000x28223123583321204531231614y4.54.14.84.24.63.63.12.83.42.62.32.22.0你認(rèn)為y與x是什么關(guān)系？y與n是什么關(guān)系？6每立方米混凝土的水泥用量x（單位：kg）與28天后混凝土的托壓強(qiáng)度（單位：kg/