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1、第18、19課時(shí) 周一、周二2010-3-22、23 課題:1.5 定積分的概念三維目標(biāo):知識(shí)與技能:通過(guò)求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程,了解定積分的背景;借助于幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想,了解定積分的概念,能用定積分法求簡(jiǎn)單的定積分3.理解掌握定積分的幾何意義和性質(zhì);過(guò)程與方法:通過(guò)問(wèn)題的探究體會(huì)逼近、以直代曲的數(shù)學(xué)思想方法。情感態(tài)度與價(jià)值觀:通過(guò)分割、逼近的觀點(diǎn)體會(huì)定積分的來(lái)歷,使學(xué)生從本質(zhì)上理解定積分的幾何意義,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教學(xué)重點(diǎn):定積分的概念、用定義求簡(jiǎn)單的定積分、定積分的幾何意義教學(xué)難點(diǎn):定積分的概念、定積分的幾何意義教學(xué)過(guò)程:一創(chuàng)設(shè)情景問(wèn)題:我們?cè)谛W(xué)、初
2、中就學(xué)習(xí)過(guò)求平面圖形面積的問(wèn)題。有的是規(guī)則的平面圖形,但現(xiàn)實(shí)生活中更多的是不規(guī)則的平面圖形。對(duì)于不規(guī)則的圖形我們?cè)撊绾吻竺娣e?比如浙江省的國(guó)土面積。此問(wèn)題在學(xué)生九年級(jí)中已有涉及,在九年級(jí)時(shí)學(xué)生了解過(guò)以下求不規(guī)則面積的方法:方法1 將圖形放在坐標(biāo)紙上,也即將圖形分割,看它有多少個(gè)“單位面積”。方法2 將圖形從內(nèi)外兩個(gè)方面用規(guī)則圖形(或規(guī)則圖形的組合)逼近。方法3 將這塊圖形用一個(gè)正方形圍住,然后隨機(jī)地向正方形內(nèi)扔“點(diǎn)”(如小石子等小顆粒),當(dāng)點(diǎn)數(shù)P足夠大時(shí),統(tǒng)計(jì)落入不規(guī)則圖形中的點(diǎn)數(shù)A,則圖形的面積與正方形面積的比約為。方法4“稱量”面積:在正方形區(qū)域內(nèi)均勻鋪滿一層細(xì)沙,分別稱得重量是P(正方形
3、區(qū)域內(nèi)細(xì)沙重)、A(所求圖形內(nèi)細(xì)沙重),則所求圖形的面積與正方形面積的比是重量之比。二合作探究問(wèn)題一 曲邊梯形的面積 如圖,陰影部分類似于一個(gè)梯形,但有一邊是曲線的一段,我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形如何計(jì)算這個(gè)曲邊梯形的面積? 探究1:分割,怎樣分割?分割成多少個(gè)?分成怎樣的形狀?有幾種方案? (分割)提出自己的看法,同伴之間進(jìn)行交流。探究2:采用哪種好?把分割的幾何圖形變?yōu)榇鷶?shù)的式子。(近似代替)、(求和)寫(xiě)出面積求和式。老師巡視,給予指導(dǎo),即時(shí)糾正學(xué)生中的運(yùn)算錯(cuò)誤。及時(shí)實(shí)物投影比較三種求和式的優(yōu)劣,規(guī)定近似代替的原則。探究3:如何用數(shù)學(xué)的形式表達(dá)分割的幾何圖形越來(lái)越多? (取
4、極限)寫(xiě)出分割無(wú)限多時(shí),相應(yīng)的數(shù)學(xué)含義。 探究4:采用過(guò)剩求和與不足求和所得到的結(jié)果一樣,其意義是什么?(夾逼定理的意義)思考:(1)曲邊梯形與“直邊圖形”的區(qū)別? (2)能否將求這個(gè)曲邊梯形面積S的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問(wèn)題?分析:曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別:曲邊梯形有一邊是曲線段,“直邊圖形”的所有邊都是直線段“以直代曲”的思想的應(yīng)用例如:求圖中陰影部分是由拋物線,直線以及軸所圍成的平面圖形的面積S。把區(qū)間分成許多個(gè)小區(qū)間,進(jìn)而把區(qū)邊梯形拆為一些小曲邊梯形,對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代取”,即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值,對(duì)這些近似值求和,
5、就得到曲邊梯形面積的近似值分割越細(xì),面積的近似值就越精確。當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)時(shí),這個(gè)近似值就無(wú)限逼近所求曲邊梯形的面積S也即:用劃歸為計(jì)算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積解:(1)分割在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn),將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間: , 記第個(gè)區(qū)間為,其長(zhǎng)度為分別過(guò)上述個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線,從而得到個(gè)小曲邊梯形,他們的面積分別記作: , 顯然,(2)近似代替記,如圖所示,當(dāng)很大,即很小時(shí),在區(qū)間上,可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小,近似的等于一個(gè)常數(shù),不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值,從圖形上看,就是用平行于軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊(如圖)這樣,在區(qū)間上,用小矩形的面積近似的代替,即
6、在局部范圍內(nèi)“以直代取”,則有 (3)求和由,上圖中陰影部分的面積為= = = = 從而得到的近似值= (4)取極限分別將區(qū)間等分8,16,20,等份(如圖),可以看到,當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí),即趨向于0時(shí),趨向于,從而有從數(shù)值上看出這一變化趨勢(shì): 問(wèn)題:如果不是在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)取,而是在每一個(gè)區(qū)間中間取任意一點(diǎn)作為高,會(huì)有怎樣的結(jié)果?求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟:第一步:分割在區(qū)間中任意插入各分點(diǎn),將它們等分成個(gè)小區(qū)間,區(qū)間的長(zhǎng)度,第二步:近似代替。“以直代取”,用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,求出每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值第三步:求和第四步:取極限。(說(shuō)明:最后所得曲邊形的面積不是近似值,而是
7、真實(shí)值)問(wèn)題二 汽車行駛的路程 汽車以速度組勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),經(jīng)過(guò)時(shí)間所行駛的路程為如果汽車作變速直線運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻的速度為(單位:km/h),那么它在01(單位:h)這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程(單位:km)是多少?分析:與求曲邊梯形面積類似,采取“以不變代變”的方法,把求勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題,化歸為勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間上,由于的變化很小,可以近似的看作汽車作于速直線運(yùn)動(dòng),從而求得汽車在每個(gè)小區(qū)間上行駛路程的近似值,在求和得(單位:km)的近似值,最后讓趨緊于無(wú)窮大就得到(單位:km)的精確值(思想:用化歸為各個(gè)小區(qū)間上勻速直線運(yùn)動(dòng)路程和無(wú)限逼近的思想方法求出勻變速
8、直線運(yùn)動(dòng)的路程)解:1分割 在時(shí)間區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn),將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間:, 記第個(gè)區(qū)間為其長(zhǎng)度為 把汽車在時(shí)間段,上行駛的路程分別記作:,顯然, (2)近似代替 當(dāng)很大,即很小時(shí),在區(qū)間上,可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小,近似的等于一個(gè)常數(shù),不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值,從物理意義上看,即使汽車在時(shí)間段上的速度變化很小,不妨認(rèn)為它近似地以時(shí)刻處的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng),即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”于是用小矩形的面積近似的代替,則有 (3)求和 由得,= = = = 從而得到的近似值= (4)取極限當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí),即趨向于0時(shí),趨向于,從而有思考 結(jié)合求曲邊梯形面積的過(guò)程,你認(rèn)為汽車
9、行駛的路程與由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系?歸納得到 一般地,如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng),速度函數(shù)為,那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法,利用“以不變代變”的方法及無(wú)限逼近的思想,求出它在ab內(nèi)所作的位移問(wèn)題三 定積分的概念 從前面求曲邊圖形面積以及求變速直線運(yùn)動(dòng)路程的過(guò)程發(fā)現(xiàn),它們都可以通過(guò)“分割、近似代替、求和、取極限得到解決,且都?xì)w結(jié)為求一個(gè)特定形式和的極限, 事實(shí)上,許多問(wèn)題都可以歸結(jié)為求這種特定形式和的極限定積分的概念 一般地,設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn),作和式:當(dāng))時(shí),上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在
10、區(qū)間上的定積分。記為: 即=其中函數(shù)叫做 ,叫做 變量,區(qū)間為 區(qū)間,積分 ,積分 。說(shuō)明:(1)定積分是一個(gè)常數(shù) (2)用定義求定積分的一般方法是:分割:等分區(qū)間;近似代替:取點(diǎn);求和:;取極限:(3)曲邊圖形面積:;變速運(yùn)動(dòng)路程定積分的幾何意義 從幾何上看,如果在區(qū)間a,b上的函數(shù)連續(xù)且恒有。那么定積分表示由直線(),和曲線所圍成的曲邊梯形的面積。 定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義,不難得出定積分的如下性質(zhì):性質(zhì)1 性質(zhì)2 (其中k是不為0的常數(shù)) (定積分的線性性質(zhì))性質(zhì)3 (定積分的線性性質(zhì))性質(zhì)4 (定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性)說(shuō)明:推廣: 推廣: 性質(zhì)解釋:性質(zhì)4性質(zhì)1三典例分析例1.利用定積分定義,證明,其中a,b均為常數(shù)且a<b.24xyO842例2 用定積分表示陰影部分的面積(不要求計(jì)算)例3(1)計(jì)算定積分 (2)四鞏固提高1、定積分 (c為常數(shù))的幾何意義是 2、由y=sinx, x=0,x=,y=0所圍成圖形的面積寫(xiě)成定積分的形式是 3、定積分
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