數(shù)字信號(hào)處理1-4z

1、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)與信息安全編著：梁軍 毛振寰北京郵電大學(xué)出版社目目 錄錄第第1章章 網(wǎng)絡(luò)安全概念網(wǎng)絡(luò)安全概念第第2章章 安全的基本元素安全的基本元素 第第3章章 應(yīng)用加密應(yīng)用加密 第第4章章 典型的攻擊方式及安全規(guī)則典型的攻擊方式及安全規(guī)則 第第5章章 協(xié)議層安全協(xié)議層安全第第6章章 保護(hù)資源保護(hù)資源第第7章章 防火墻基礎(chǔ)防火墻基礎(chǔ)第第8章章 防火墻體系結(jié)構(gòu)防火墻體系結(jié)構(gòu)第第9章章 檢測(cè)和迷惑黑客檢測(cè)和迷惑黑客第第10章章 事件響應(yīng)事件響應(yīng)第第11章章 網(wǎng)絡(luò)安全基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)安全基礎(chǔ)第第12章章 帳號(hào)安全帳號(hào)安全第第13章章 文件系統(tǒng)安全文件系統(tǒng)安全第第14章章 評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)第第15章章 降低風(fēng)險(xiǎn)降低

2、風(fēng)險(xiǎn)第第16章章 審計(jì)安全審計(jì)安全第第17章章 偵察手段偵察手段第第18章章 服務(wù)器滲透和攻擊技服務(wù)器滲透和攻擊技術(shù)審計(jì)術(shù)審計(jì)第第19章章 控制階段的安全審計(jì)控制階段的安全審計(jì)第第20章章 入侵監(jiān)測(cè)系統(tǒng)入侵監(jiān)測(cè)系統(tǒng)第第21章章 審計(jì)和日志分析審計(jì)和日志分析第第22章章 審計(jì)結(jié)果審計(jì)結(jié)果 第第1 1章章 數(shù)字信號(hào)處理概述數(shù)字信號(hào)處理概述n1.1 1.1 信號(hào)的分類信號(hào)的分類n 我們可以這樣來分類信號(hào)： 模擬信號(hào)信號(hào) 抽樣數(shù)據(jù)信號(hào) 離散信號(hào) 數(shù)字信號(hào)n模擬信號(hào)：時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，幅值也是連續(xù)變化的。n抽樣數(shù)據(jù)信號(hào)：時(shí)間上是離散的，但是幅值在一定范圍內(nèi)可連續(xù)取值。n數(shù)字信號(hào)：時(shí)間上是離散的，其幅值也不

3、能夠連續(xù)變化。n 信號(hào)之間的關(guān)系： 抽樣 量化編碼 模擬信號(hào) 抽樣數(shù)據(jù)信號(hào) 數(shù)字信號(hào)。1.2 數(shù)字信號(hào)處理數(shù)字信號(hào)處理n數(shù)字信號(hào)處理是研究如何用數(shù)字或符號(hào)序列來表示信號(hào)以及如何對(duì)這些序列進(jìn)行處理的一門學(xué)科。 n模擬信號(hào)與離散信號(hào)的根本區(qū)別：模擬信號(hào)的特征用波形來描述，而離散信號(hào)實(shí)際上是一串?dāng)?shù)據(jù)，是一個(gè)數(shù)字序列。n因此，對(duì)數(shù)字信號(hào)的處理肯定與模擬信號(hào)處理不同，數(shù)字信號(hào)處理實(shí)際上就是進(jìn)行各種數(shù)學(xué)運(yùn)算，如加、減、乘以及各種邏輯運(yùn)算等等。 1.3 數(shù)字信號(hào)處理的優(yōu)越性數(shù)字信號(hào)處理的優(yōu)越性n 對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)字處理與進(jìn)行模擬處理相比較，有以下一些優(yōu)越性。1精度高精度高n模擬元件精度：頂多達(dá)到10-3 左右；

4、數(shù)字系統(tǒng)中：17位字長(zhǎng)可達(dá)到10-5 精度。n在一些要求高精度的系統(tǒng)中，甚至只能采用數(shù)字技術(shù)，比如高保真度的CD音樂光盤、高清晰度的數(shù)字電視系統(tǒng)等等。 2 2可靠性高可靠性高n模擬系統(tǒng): 各種參數(shù)受溫度、環(huán)境影響較大，因而易出現(xiàn)感應(yīng)、雜散效應(yīng)，甚至震蕩等等；并且易受干擾而產(chǎn)生失真。n數(shù)字系統(tǒng): 受溫度、環(huán)境影響較小；數(shù)字信號(hào)由于只有兩種狀態(tài)，故抗干擾能力強(qiáng)；數(shù)字信號(hào)還可以在中繼站對(duì)畸變了的脈沖波形進(jìn)行整形并使其再生。 3 3靈活性強(qiáng)靈活性強(qiáng)n數(shù)字系統(tǒng)的性能主要取決于各乘法器系數(shù)，因此改變系數(shù)就可以得到不同性能的系統(tǒng)。數(shù)字信號(hào)的靈活性還表現(xiàn)在可以利用一套設(shè)備同時(shí)處理多路相互獨(dú)立的信號(hào)，即所謂的“

5、時(shí)分復(fù)用”。 4 4便于大規(guī)模集成化便于大規(guī)模集成化n 數(shù)字部件具有高度的規(guī)范性，易于實(shí)現(xiàn)大規(guī)模集成化。 5 5數(shù)字信號(hào)便于加密處理數(shù)字信號(hào)便于加密處理n 由于數(shù)字信號(hào)實(shí)際上為數(shù)據(jù)序列，因此便于加密運(yùn)算處理。 6 6對(duì)于低頻信號(hào)尤其優(yōu)越對(duì)于低頻信號(hào)尤其優(yōu)越n處理低頻信號(hào)的模擬元件如電感、電容等一般都體積較大、制作不易、使用不便而且成本較高；如果轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)來進(jìn)行處理，由于頻率低，對(duì)數(shù)字部件的速度要求不高，因而是很容易實(shí)現(xiàn)的。n數(shù)字處理的局限性：所處理的信號(hào)頻率越高，對(duì)處理系統(tǒng)所要求的工作速度也就越高，目前，數(shù)字系統(tǒng)的速度還不能達(dá)到實(shí)時(shí)處理很高頻率信號(hào)（例如射頻信號(hào)）的要求。n但是，隨著大規(guī)模

6、集成電路、高速數(shù)字計(jì)算機(jī)的發(fā)展尤其是微處理器的發(fā)展，數(shù)字系統(tǒng)的速度將會(huì)越來越高，數(shù)字信號(hào)處理也會(huì)越來越顯示出其優(yōu)越性。數(shù)字技術(shù)正在取代傳統(tǒng)的模擬技術(shù)，日益廣泛地應(yīng)用于數(shù)字通信、圖象傳輸、自動(dòng)控制、遙感技術(shù)、雷達(dá)技術(shù)、電子測(cè)量技術(shù)、生物醫(yī)學(xué)工程以及地震學(xué)、波譜學(xué)、震動(dòng)學(xué)等許多領(lǐng)域。1 14 4 數(shù)字信號(hào)處理的三種方式數(shù)字信號(hào)處理的三種方式n對(duì)數(shù)字信號(hào)的處理運(yùn)算，常用的有三種：相加、相乘和延遲。這些運(yùn)算可以用以下三種方式來實(shí)現(xiàn)。1軟件處理：對(duì)運(yùn)算編程后在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。軟件處理靈活、方便，但是速度較慢。 2硬件處理：用加法器、乘法器、延時(shí)器以及它們的各種組合來構(gòu)成數(shù)字電路，以實(shí)現(xiàn)所需要的運(yùn)算。硬件處

7、理不夠方便靈活，但是處理速度快，能夠進(jìn)行實(shí)時(shí)處理。 3DSP（數(shù)字信號(hào)處理器）方式：是軟硬件處理方式的結(jié)合。用數(shù)字信號(hào)處理芯片以及存儲(chǔ)器來組成硬件電路，所需要的運(yùn)算靠特定的匯編語言編程來實(shí)現(xiàn)。因此，采用DSP既方便靈活，一般又能做到實(shí)時(shí)處理。 1 15 5 數(shù)字信號(hào)處理的兩大方法數(shù)字信號(hào)處理的兩大方法n由于數(shù)字信號(hào)本身的特點(diǎn)以及高速數(shù)字計(jì)算機(jī)和微處理器的應(yīng)用，使得一些數(shù)字信號(hào)處理算法應(yīng)運(yùn)而生，其中最突出的是快速傅里葉變換和數(shù)字濾波這兩大方法，將分別在第二部分和第三部分中詳細(xì)討論。 第第2章章 離散系統(tǒng)的性質(zhì)和離散信號(hào)的變換離散系統(tǒng)的性質(zhì)和離散信號(hào)的變換n 本章的一些內(nèi)容在“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中已

8、經(jīng)學(xué)過，但是考慮到本章的內(nèi)容是離散信號(hào)處理的基礎(chǔ)，是非常重要的，因此，有必要對(duì)已有的知識(shí)拓展和加深，使其更加系統(tǒng)和完善。本章所涉及到的一些數(shù)學(xué)知識(shí)請(qǐng)參看附錄A1。 2.1 抽樣和內(nèi)插抽樣和內(nèi)插n將模擬信號(hào)（連續(xù)信號(hào)）離散化的過程叫抽樣或取樣，將離散信號(hào)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)（模擬信號(hào)）的過程叫內(nèi)插。模擬信號(hào)與數(shù)字信號(hào)之間的相互轉(zhuǎn)換過程： 圖2.1 模擬信號(hào)與數(shù)字信號(hào)之間的相互轉(zhuǎn)換 2.1.1 抽樣抽樣n 將連續(xù)信號(hào)變?yōu)殡x散信號(hào)最常用的是等間隔周期抽樣，即每隔固定時(shí)間Ts抽取一個(gè)信號(hào)值。n 抽樣周期：Ts ； 抽樣頻率：fs=1/Ts ； 抽樣角頻率：s=2fs=2/Ts。 圖圖2.2 模擬信號(hào)的抽樣模擬

9、信號(hào)的抽樣n抽樣定理：抽樣定理：設(shè)fm是一模擬信號(hào)xa(t) 的頻譜的最高頻率，當(dāng)對(duì)xa(t) 進(jìn)行抽樣時(shí)，只要抽樣頻率fs 等于或大于2fm，就可以由抽樣序列xa(nT) 來唯一準(zhǔn)確地恢復(fù)出xa(t)。n時(shí)域分析： 圖圖2.3 抽樣過程的數(shù)學(xué)模型抽樣過程的數(shù)學(xué)模型 nssansaaanTtnTxnTttxtptxtx)()()()()()()(n頻域分析： n 抽樣函數(shù)p(t)是一個(gè)周期為Ts的周期函數(shù)，故有： )()()(tptxtxaa)()(21)(PXaXatjmnmmsseAnTttp)()(s=2/Ts 是周期函數(shù)p(t)的基波角頻率，也是抽樣角頻率。傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)： 2/2/

10、2/2/)(1 )(1ssssssTTntjmssTTtjmsmdtenTtTdtetpTA2/2/011)(1ssssTTsjmstjmsTeTdtetT所以 由于 因此 ntjnsmtjmssseTeTtp11)()(2sFtjnnesnssnFtjnsnTPeTtps)(2)(1)(n所以 n就是說，將Xa()乘以1/Ts 后進(jìn)行以s為周期的周期延拓就得到。nsasnsasaanXTnXTPXX)(1 )()(1)()(21)( 圖圖2.4 抽樣信號(hào)的頻譜與原模擬信號(hào)頻譜之間的關(guān)系抽樣信號(hào)的頻譜與原模擬信號(hào)頻譜之間的關(guān)系n 一個(gè)重要的結(jié)論：時(shí)域中的連續(xù)信號(hào)經(jīng)單位沖激抽樣后，在頻域中產(chǎn)生周

11、期性函數(shù)，其周期等于抽樣角頻率s n如果s2m，周期頻譜就不會(huì)發(fā)生混疊，于是，將抽樣信號(hào)通過一個(gè)合適的低通濾波器，就可以正確地恢復(fù)出原來的信號(hào)xa(t)，只是幅度為原來的1/Ts 倍。這就說明了抽樣定理的正確性。n因此，對(duì)一個(gè)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行抽樣時(shí)，抽樣率fs 必須不小于信號(hào)頻譜最高頻率fm的2倍。當(dāng)fs = 2fm，fs就叫做奈奎斯特抽樣率。 例例2.1 2.1 用不同的抽樣頻率對(duì)信號(hào) 抽樣，比較所得抽樣信號(hào)的頻譜。 (1) 以fs = 5000 Hz 對(duì)xa(t) 抽樣得到 x1(n) (2) 以fs = 1000 Hz 對(duì)xa(t) 抽樣得到 x2(n) n解： n對(duì)于(1)： n由于 ,

12、而 ， 并且0.04/10=0.004, 故混疊影響可以忽略。2210002000)(aX002. 010000002000)0(aXnanX22)10000(100020005000)(10)0(1asXT04.0)2/(1sasXT 圖圖2.5(2.5(a) a) 抽樣率為抽樣率為50005000HzHz時(shí)的抽樣信號(hào)頻譜示意圖時(shí)的抽樣信號(hào)頻譜示意圖 n對(duì)于(2)： n由 于 ， 而 ， 并 且0.184/2=0.092，明顯大于(1)的0.004，所以(2)的情況有混疊影響。 nanX22)2000(100020001000)(2)0(1asXT184.0)2/(1sasXT2.1.2 內(nèi)

13、插內(nèi)插n理想低通濾波器的截止頻率c 滿足： mc（s-m） n頻域分析： n從頻域的觀點(diǎn)來看，由離散信號(hào)恢復(fù)原來的模擬信號(hào)的過程為低通濾波。 )(1)()()(asaXTHXGn 時(shí)域分析： n已知 n而 )()()(thtxtga)()()(snsaanTtnTxtx)2(sin222sin2sin1 21)2()(1tfcftftffttderectFthcccccctjcccn于是 n 由頻域分析的結(jié)果 ， 可以知道：n于是有 nscsacnccssanTtfcnTxftfcfnTtnTxtg)(2sin)(22sin2)()()()(1)(asXTG)(1)(txTtgasnscsac

14、asnTtfcnTxftxT)(2sin)(2)(1n若取 ，即 ，便有 ，因此有： n這就是內(nèi)插公式，其中 n叫做內(nèi)插函數(shù)。sc21scTf2212scTf12nnsansssaatnTxnTtTcnTxtx)()()(1sin)()()(1sin)(ssnnTtTct 圖圖2.7 2.7 通過內(nèi)插恢復(fù)原來的模擬信號(hào)通過內(nèi)插恢復(fù)原來的模擬信號(hào)n 內(nèi)插函數(shù)n(t) 的形式取決于所用的低通濾波器的沖激響應(yīng)。由于理想低通濾波器的沖激響應(yīng) ，因而內(nèi)插函數(shù)也是sinc函數(shù)，在這種情況下能夠完全恢復(fù)原來的連續(xù)信號(hào)xa(t)。)(sin1)(ssTtcTthn若低通特性為： ，則其沖激響應(yīng) h(t) 形狀

15、為三角形，因此內(nèi)插函數(shù)的波形也是三角形的，此時(shí)就不能完全恢復(fù)出原信號(hào)xa(t)。222)2/(sin4)(ssTTHn在實(shí)際問題中 ，往往用下式來逼近： nN要取得足夠大以將誤差控制在允許的范圍之內(nèi)。n從時(shí)域的觀點(diǎn)來看，由離散信號(hào)恢復(fù)原來的模擬信號(hào)的過程叫做內(nèi)插。NNnnsaatnTxtx)()()(2.2 2.2 離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)2.2.1 2.2.1 離散時(shí)間信號(hào)序列離散時(shí)間信號(hào)序列 n 因?yàn)殡x散信號(hào)實(shí)際上是一個(gè)數(shù)據(jù)序列，所以又叫做離散時(shí)間信號(hào)序列。 n當(dāng)對(duì)離散時(shí)間信號(hào)序列 xa(nTs) 進(jìn)行處理時(shí)（尤其是在非實(shí)時(shí)處理時(shí)），往往對(duì)周期值Ts并不感興趣，而主要關(guān)心的是這個(gè)隨n變化的

16、離散序列。因此，常常將 xa(nTs) 寫成 x(n)，它表示一個(gè)隨n變化的數(shù)據(jù)序列；也可以認(rèn)為x(n)是自變量n的函數(shù)，而n是一個(gè)取值只能為整數(shù)的離散變量。2.2.2 2.2.2 常用序列常用序列 1單位抽樣序列n定義： 0n 00n 1)(n 圖圖2.8 2.8 單位抽樣序列單位抽樣序列 2單位階躍序列n定義： 0001nnnu 圖圖2.9 2.9 單位階躍序列單位階躍序列 n 例例2.2 2.2 分別寫出序列u(n-1)和u(-n-1)的表達(dá)式，并分別畫出它們的圖像。 n 解： -1n 0-1n 11)-u(-n 1n 01n 1) 1(nu 圖圖2.10(2.10(a) u(n-1)a

17、) u(n-1)的圖像的圖像 圖圖2.10(2.10(b) u(-n-1)b) u(-n-1)的圖像的圖像 n 顯然有： 3矩形序列n定義： ) 1()()(nunun0)()(kknnu 01-Nn0 1其它nrN 圖圖2.11 2.11 矩形序列矩形序列 4實(shí)指數(shù)序列n定義： ， a為實(shí)數(shù)， a0。nanx)( 圖圖2.12 2.12 實(shí)指數(shù)序列實(shí)指數(shù)序列 5. 正弦序列 n對(duì)正弦模擬信號(hào) 抽樣，就得到正弦序列：n )sin()(0ttxa)()sin()sin()(00nxnnTnTxssa 圖圖2.13 正弦序列正弦序列n0為實(shí)常數(shù)，顯然有：0=0Ts，寫成一般形式：=Ts。其中為模擬

18、角頻率，其單位為弧度/秒，它與頻率 f（單位：1/秒，或赫茲）的關(guān)系為： = 2f，因此 是具有真正物理意義的量。n而 叫數(shù)字角頻率，其單位為弧度，也可以說是無量綱的，因此它并不具有真正的物理意義，而是為了我們處理離散信號(hào)方便而引入的一個(gè)量。數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間總是成正比的關(guān)系，比例常數(shù)就是抽樣周期Ts。n 例例 2 . 32 . 3 設(shè) 正 弦 信 號(hào) x1( t ) = s i n ( 2 0 0 t ) , x2(t)=sin(500t), 如果用相同的抽樣率對(duì)它們進(jìn)行抽樣，問最低的抽樣頻率fs等于多少？用此fs抽樣后分別得到離散信號(hào)x1(n)和x2(n)，寫出x1(n)和x2(n

19、)的表達(dá)式。這兩個(gè)離散信號(hào)的模擬頻率分別是多少？數(shù)字角頻率又分別等于多少？n 解：模擬信 x1(t)=sin(200t) x2(t)=sin(500t)n 角頻率 1 =200弧度/s 2 =500弧度/sn因此最低抽樣頻率：s =22=1000弧度/s, fs =s/(2)=500Hz。 x1(n)=sin(200nTs)=sin(200n/fs)=sin(0.4n) x2(n)=sin(500nTs)=sin(500n/fs)=sin(n)nx1(n)：模擬角頻率1=200弧度/s, 模擬頻率f1=100Hz, 數(shù)字角頻率1=1Ts=1/fs=0.4；nx2(n)：模擬角頻率2=500弧度

20、/s, 模擬頻率f2=250Hz, 數(shù)字角頻率2 =2Ts=2/fs=。 n任意一個(gè)離散序列都可以表示為各延時(shí)單位抽樣序列的幅度加權(quán)之和，即： kknkxnxnxnxnxnxnx)( ) 2(2) 1(1)(0) 1() 1() 2() 2()(2.3 2.3 離散系統(tǒng)及其線性和時(shí)不變性離散系統(tǒng)及其線性和時(shí)不變性 2.3.1 2.3.1 離散系統(tǒng)的定義及其單位抽樣響應(yīng)離散系統(tǒng)的定義及其單位抽樣響應(yīng)n 定義： 離散系統(tǒng)是將一個(gè)序列變成另一個(gè)序列的系統(tǒng)。n 從數(shù)學(xué)上定義：離散系統(tǒng)是輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一性變換或運(yùn)算，記為： )()(nxTny算子T 表示變換，定義不同的變換就

21、代表不同的離散系統(tǒng)。 圖圖2.14 2.14 離散系統(tǒng)的模型離散系統(tǒng)的模型n對(duì)于某一輸入信號(hào)，離散系統(tǒng)的輸出也叫做系統(tǒng)對(duì)該輸入的響應(yīng)。一個(gè)離散系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)是指該系統(tǒng)對(duì)單位抽樣序列的響應(yīng)，也就是說，當(dāng)輸入信號(hào)是單位抽樣序列(n)時(shí)的輸出信號(hào)就是此離散系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)，記為h(n)，即h(n)=T(n)。nh(n)是離散系統(tǒng)的重要參量之一，它描述了系統(tǒng)的時(shí)域特性，每一個(gè)確定的離散系統(tǒng)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的單位抽樣響應(yīng)，因此，h(n)也可以用來代表一個(gè)系統(tǒng)。單位抽樣響應(yīng)有時(shí)也叫做沖激響應(yīng)。 2.3.2 2.3.2 離散系統(tǒng)的線性離散系統(tǒng)的線性n設(shè) x1(n) 和x2(n) 是兩個(gè)任意的離散信號(hào)，

22、ab 為兩個(gè)任意常數(shù)，若系統(tǒng)T 滿足： n則此離散系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。)()()()(2121nxbTnxaTnbxnaxTn也即，令 n若y(n)= y(n)，則此系統(tǒng)是線性的。因此，所謂線性應(yīng)包括兩重意思：)()()(21nbxnaxTny)()()( 21nxbTnxaTnya) 齊次性： b) 可加性： n如果一個(gè)系統(tǒng)是線性的，則無論輸入信號(hào)有多少個(gè)，它們的線性組合的變換總是等于變換之后的線性組合。 )()(nxaTnaxT)()()()(2121nxTnxTnxnxTn 例例2.42.4 設(shè)系統(tǒng)為 ，判斷它是不是一個(gè)線性系統(tǒng)。n解：設(shè)x1(n) 和x2(n)是兩個(gè)任意的離散信號(hào)，a、b為

23、任意常數(shù)，有：n dncxnxT)()(dnbcxnacxdnbxnaxcnbxnaxTny)()()()()()()(212121n要使 y(n)=y(n)，必須有：d = d(a+b)，只有d=0，才能使此式對(duì)任意常數(shù)a、b都成立。因此，當(dāng)d=0時(shí)此系統(tǒng)是線性的，否則就是非線性的。 )()()()()()()()(212121badnbcxnacxdncxbdncxanxbTnxaTny 2.3.3 2.3.3 離散系統(tǒng)的時(shí)不變性離散系統(tǒng)的時(shí)不變性n離散系統(tǒng)的時(shí)不變性是指系統(tǒng)的特性不隨時(shí)間變化，用數(shù)學(xué)表示為：設(shè)對(duì)系統(tǒng)T 有: Tx(n)=y(n), n0為一整數(shù)，若 Tx(n-n0)=y(

24、n-n0), 則此系統(tǒng)是時(shí)不變的。n0 x(n)123n0 x(n-n0)n0n0y(n)1234n0y(n)n0 圖圖2.15 2.15 離散系統(tǒng)的時(shí)不變性離散系統(tǒng)的時(shí)不變性n判斷一個(gè)系統(tǒng)是否時(shí)不變，就要檢驗(yàn)它對(duì)任意的一個(gè)序列x(n)，先移位后再進(jìn)行變換與先變換后再進(jìn)行移位的輸出信號(hào)是否相同。n例例2.52.5 判斷系統(tǒng) 是否是時(shí)不變的。n先移位再變換： n先變換： ，n再移位： n由于 ，故此系統(tǒng)是時(shí)不變的。 )()()(nydncxnxTdnncxnnxT)()(00dncxnxTny)()()(dnncxnny)()(00)()(00nnynnxT 2.3.4 線性時(shí)不變線性時(shí)不變(L

25、TI)系統(tǒng)系統(tǒng)n 如果一個(gè)離散系統(tǒng)既是線性的又是時(shí)不變的，則此系統(tǒng)就叫做線性時(shí)不變系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)TI(Linear-Time-Invariant)系統(tǒng)。n LTI系統(tǒng)對(duì)任一輸入信號(hào)x(n)的響應(yīng)： n即，線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出序列是輸入序列與該系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)序列的離散線性卷積，這是線性時(shí)不變系統(tǒng)的一個(gè)非常重要的性質(zhì)。 )()()()()(nhnxknhkxnyk 2.4 2.4 離散信號(hào)的線性卷積離散信號(hào)的線性卷積 2.4.1 2.4.1 離散線性卷積的定義離散線性卷積的定義n 設(shè)x1(n)和x2(n)是兩個(gè)任意的離散信號(hào)，我們定義 kknxkxnxnxny)()()()()(2121n為這

26、兩個(gè)離散信號(hào)的線性卷積。線性卷積滿足交換律，即又有： n求和變量k的取值范圍取決于x1(k) 和x2(n-k)的長(zhǎng)度和取值范圍， 并且最后得到的卷積結(jié)果即序列y(n)的長(zhǎng)度和取值范圍也取決于x1(n) 和x2(n)的長(zhǎng)度和取值范圍。kknxkxnxnxny)()()()()(1212 2.4.2 離散線性卷積的計(jì)算離散線性卷積的計(jì)算 1. 1. 由解析式計(jì)算由解析式計(jì)算n 利用公式 或者 進(jìn)行計(jì)算。kknxkxny)()()(21kknxkxny)()()(12n例例2.62.6 已知 x1(n)=anu(n), x2(n)=bnu(n), 并且 0|a|1, 0|b|1. 計(jì)算：y(n)=x

27、1(n)*x2(n).n 解：n當(dāng) n0 時(shí)，y(n)=0n當(dāng) n0 時(shí)， kknxkxny)()()(21b anbbaabababbbanynnnnkknnkknk ) 1( )()(11010 2 2作圖法作圖法n 作圖法一般用于序列的長(zhǎng)度有限并且容易用圖表示出來的情形。設(shè)序列x(n)長(zhǎng)度為N，h(n)的長(zhǎng)度為M，用作圖法來計(jì)算線性卷積：n kknhkxnhnxny)()()()()( 圖圖2.16 2.16 用作圖法計(jì)算線性卷積用作圖法計(jì)算線性卷積n例例2.72.7 一個(gè)LTI 系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為 h(n)=(0.9)n u(n)，求當(dāng)輸入信號(hào)為 x(n)=u(n)u(n-10)時(shí)的

28、輸出 y(n)。n 解： x(n)實(shí)際上是一個(gè)矩形序列：n ， 而h(n)無限長(zhǎng)，故翻轉(zhuǎn)x(n)，于是有： 其它 09n0 1)(nx 1）n0： 2）0n8: 3) n9: 0)()9 . 0()(*)()(kkknxnxnhny0)(nynknnkny011)9 . 0(1 109 . 01)9 . 0(11)9 . 0()()9 . 0(1 )9 . 0(109 . 01)9 . 0()9 . 0(1)9 . 0()(109199nnnnnkknyn 對(duì)于上面三種情況，如果分別畫出圖來，就會(huì)容易地確定各種情況的求和范圍。這道題實(shí)際上是將作圖法與解析式計(jì)算相結(jié)合來求解的。 3 3排序法排序

29、法 例例2.82.8 設(shè)序列A=a1,a2,a3,a4,B=b1,b2,b3, 序列C=A*B=c1,c2,c3,c4,c5,c6, 求 ci, i=1,2,6。 解： a1 a2 a3 a4 b3 b2 b1 c1 = a1b1 b3 b2 b1 c2 = a1b2+a2b1 b3 b2 b1 c6 = a4b3 2.5 2.5 離散系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性離散系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 2.5.1 因果性因果性n 若一個(gè)系統(tǒng)的輸出變化不會(huì)發(fā)生在輸入變化之前，則此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)；也就是說，一個(gè)因果系統(tǒng)，如果其輸入信號(hào)未發(fā)生變化，其輸出信號(hào)也不會(huì)發(fā)生變化。n 用數(shù)學(xué)來表示：對(duì)于一個(gè)離散系統(tǒng)，我們?nèi)∫粋€(gè)時(shí)

30、刻n0，并已知當(dāng) n n0 時(shí)，對(duì)輸入信號(hào)有x1(n)=x2(n)，如果對(duì)輸出信號(hào)當(dāng)nn0 時(shí)，也有 y1(n)=y2(n)，則此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。n 關(guān)于LTI系統(tǒng)的因果性，有下面的重要性質(zhì)： n一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是其單位一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是其單位抽樣響應(yīng)抽樣響應(yīng)h(n) h(n) 當(dāng)當(dāng)n0n0時(shí)等于零。時(shí)等于零。n 因果序列：如果一個(gè)序列當(dāng)n0時(shí)等于零，則此序列為因果序列。于是有：一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是其單位抽樣響應(yīng)為因果序列。 2.5.2 穩(wěn)定性穩(wěn)定性n 一個(gè)離散系統(tǒng)，當(dāng)輸入序列有界時(shí)，如果其輸出序列也有界，則此系統(tǒng)是穩(wěn)

31、定系統(tǒng)。從數(shù)學(xué)上來描述：對(duì)一個(gè)離散系統(tǒng)，當(dāng)其輸入序列滿足： ， 對(duì)一切 n，n若輸出序列也有：y(n)，對(duì)一切n，則此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。n 線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的條件： )(nxnnh)(n 例例2.92.9 已知h(n) = an u(n)，并知此系統(tǒng)是線性時(shí)不變的，試判斷其穩(wěn)定性。n 解： n當(dāng)a1時(shí)，此級(jí)數(shù)收斂，且有 ，故此時(shí)該 LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 00)(nnnnnaanhaanhnnn11)(02.6 2.6 離散信號(hào)的傅里葉變換離散信號(hào)的傅里葉變換 2.6.1 2.6.1 問題的提出問題的提出 n 連續(xù)信號(hào)xa(t) 經(jīng)抽樣就得到離散信號(hào)，而的頻譜() 是xa(t) 的頻譜 Xa()

32、在軸上的周期延拓。即： nsasanXTX)(1)(n 這一節(jié)要解決的問題：如何直接對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換而得到其頻譜函數(shù)。離散信號(hào)的傅里葉變換也叫做離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)。 2.6.2 2.6.2 傅里葉變換對(duì)的推導(dǎo)傅里葉變換對(duì)的推導(dǎo) njnTsanssanssaaasenTxnTtFnTxnTtnTxFtxFX)()()()()()()(n 最后的結(jié)果正是這個(gè)頻域周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式。下面我們與一個(gè)時(shí)域的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式進(jìn)行比較。 ntjnneAtf0)(njnTsaasenTxX)()(nf(t)： 時(shí)間變量 t 周期 T0 系數(shù) Ann ： 頻率變量

33、周期 s 系數(shù) xa(nTs)n兩個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式一一對(duì)應(yīng)。于是，由系數(shù)An 的表達(dá)式： n就可以寫出系數(shù)a(nTs)的表達(dá)式： 002TsssTT2222/2/000)(TTtjnndtetfA22)(1)(sssdeXnTxjnTassa)(aXn 于是就得到了離散信號(hào)的傅里葉變換對(duì)。將這對(duì)變換關(guān)系完全用數(shù)字域中的符號(hào)表示出來： n 因?yàn)槭悄M角頻率的周期函數(shù)，周期為s = 2/Ts，所以X(ej) 即是數(shù)字角頻率的周期函數(shù)，周期為sTs = 2。（反變換）（正變換） )(21x(n) )()(deeXenxeXjnjnjnjn 例例2.102.10 已知x(n)=3(n-2)-(0.

34、5)n u(n)，求這個(gè)離散信號(hào)的頻譜。 0.5e-11-3)5 . 0 (3e )() 5 . 0 () 2(3)()( j -20nj2-jnjnjnnnjnnjnjeeenuenenxeX解： 2.6.3 2.6.3 離散信號(hào)傅里葉變換的性質(zhì)離散信號(hào)傅里葉變換的性質(zhì) 1. 1. 離散信號(hào)傅里葉變換的周期性離散信號(hào)傅里葉變換的周期性n 離散信號(hào)的傅里葉變換X(ej) 是的周期函數(shù)，周期為2。容易證明： )()2(jjeXeX2 2時(shí)域與頻域之間相乘與卷積的映射關(guān)系時(shí)域與頻域之間相乘與卷積的映射關(guān)系 (1) 設(shè)x1(n)和x2(n)是兩個(gè)離散序列，則有： jjFeXeXnxnx2121n證明

35、： nknjkjknkjnjnneknxekxeknxkxenxnxnxnxF)(21212121)()()()()()( )()()(122121jjkjjkmjmkjkeXeXeXekxk)n(m emxekx (2) 設(shè)x1(n)和x2(n)是兩個(gè)離散序列，則有： deXeXeXeXnxnxjjjjF)(21)()(21)()()(2121213. 3. 離散信號(hào)傅里葉變換的對(duì)稱性離散信號(hào)傅里葉變換的對(duì)稱性n 共軛對(duì)稱序列定義為： ；共軛反對(duì)稱序列定義為： 。 這里上標(biāo) * 表示共軛。)()(*nxnxee)()(*nxnxoon 任何一個(gè)序列x(n)總能夠表示為一個(gè)共軛對(duì)稱序列與一個(gè)共

36、軛反對(duì)稱序列之和，即： n其中， )()()(nxnxnxoe)(*)(21)(nxnxnxe)(*)(21)(nxnxnxon 共軛對(duì)稱的實(shí)序列即為偶序列，共軛反對(duì)稱的實(shí)序列即為奇序列。n 共軛對(duì)稱和共軛反對(duì)稱的概念也可用于函數(shù)。n共軛對(duì)稱的傅里葉變換： ；共軛反對(duì)稱的傅里葉變換：。n對(duì)于任意傅里葉變換都有： )()(*jejeeXeX)()(*jojoeXeX)()()(jojejeXeXeXn其中， n 若實(shí)函數(shù)共軛對(duì)稱，則為偶函數(shù)；共軛反對(duì)稱，則為奇函數(shù)。n 離散信號(hào)傅里葉變換的對(duì)稱性：n設(shè) ，若x(n) 為復(fù)序列，則有：)()(jFeXnx)()(21)(*jjjeeXeXeX)()

37、(21*jjjoeXeXeX1. 2. 3. Re 表示實(shí)部4. Im 表示虛部5. 6 )(*)(*jFeXnx)(*)(*jFeXnx)()(RejeFeXnx)()(joFmeXnxjI)(Re)(jFeeXnx)()(jmFoeXjInxn才若 x(n) 為實(shí)序列，則有：1. 實(shí)序列的傅里葉變換是共軛對(duì)稱2. 實(shí)序列傅里葉變換的實(shí)部是的偶函數(shù)3. 實(shí)序列傅里葉變換的虛部是的奇函數(shù)4. 實(shí)序列傅里葉變換的模是的偶函數(shù))()(*jjeXeX)()(jejeeXReXR)()(jmjmeXIeXI)()(jjeXeX5. 實(shí)序列傅里葉變換的幅角是的奇函數(shù)6. 7. n即有，實(shí)序列的傅里葉變換

38、是共軛對(duì)稱的；實(shí)序列傅里葉變換的實(shí)部和模都是的偶函數(shù)，而虛部和幅角都是的奇函數(shù)。 )(arg)(argjjeXeX)()(jeFeeXRnx)()(jmFoeXjInx 2.6.4 2.6.4 線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)n 線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為： n根據(jù)時(shí)域卷積與頻域相乘的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得： kknhkxnhnxny)()()()()()()()(jjjweHeXeYn定義： 線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 nH(ej)表征了系統(tǒng)的頻率特性，它是的周期函數(shù)，周期為2；一般來講，它是的復(fù)函數(shù)，其幅度|H(ej)|表示這個(gè)LTI系統(tǒng)的幅頻特性，而其相角H(ej)則表示該系

39、統(tǒng)的相頻特性。)()()(jjjeXeYeH.7 .7 離散信號(hào)的離散信號(hào)的z z變換變換n在線性離散系統(tǒng)中，z變換所起的作用與線性模擬系統(tǒng)中拉氏變換的作用相似，它可以將解離散系統(tǒng)差分方程的時(shí)域方法轉(zhuǎn)換為解代數(shù)方程的頻域方法?？傊?，z變換在離散信號(hào)處理中起著相當(dāng)重要的作用。 2.7.1 2.7.1 z z變換的定義及其收斂域變換的定義及其收斂域n序列x(n)的z變換定義為： z為復(fù)變量n對(duì)于任意給定的序列x(n)，使其z變換收斂的z值集合稱為X(z)的收斂區(qū)域或收斂域，即： 收斂域 z：X(z) 存在 nz變換中冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閦平面上的一環(huán)狀區(qū)域，即：R-|z|R+，這里 R- 可小到0，R

40、+ 可大到 。nnznxnxZzX)()()( 2.7.1.1 2.7.1.1 右邊序列右邊序列n nn0時(shí)等于零的序列稱為右邊序列, 這里n0為某一整數(shù)。n一個(gè)典型的右邊序列是： )()(1nuanxnn其z變換： n收斂域由式中冪級(jí)數(shù)的收斂條件az-1a，也即R-=a， R+=。nX1(z) 是一個(gè)有理函數(shù)，其分子多項(xiàng)式的根稱為X1(z)的零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的根稱為 X1(z) 的極點(diǎn)。azzazazznuazXnnnnn101111)()()( 圖圖2.17 右邊序列右邊序列z變換的極點(diǎn)和收斂域變換的極點(diǎn)和收斂域圖圖2.18 左邊序列左邊序列z變換的極點(diǎn)和收斂域變換的極點(diǎn)和收斂域 2.7.

41、1.2 2.7.1.2 左邊序列左邊序列n nn0 (n0為一整數(shù))時(shí)等于零的序列稱為左邊序列。一個(gè)典型的左邊序列是： ) 1()(2nuanxnn其z變換： n收斂域由式中冪級(jí)數(shù)的收斂條件a-1z1所確定, 為zR-，左邊序列收斂域?yàn)閦R+ ，因此若R-R+，則雙邊序列收斂域?yàn)椋簄R-zR+，也即為兩個(gè)單邊序列收斂域的重疊部分，這是一個(gè)環(huán)狀區(qū)域，z變換的極點(diǎn)都不在此環(huán)內(nèi)。若R-R+，則此收斂域不存在，也即這個(gè)雙邊序列的z變換不存在。n 例例2.11 求雙邊序列 的z變換，設(shè)|b|c|。 ) 1()()(3nucnubnxnn 圖圖2.19 2.19 雙邊序列雙邊序列z z變換的收斂域變換的收

42、斂域n 解： n 收斂域： |b|z|a| 的范圍內(nèi)成立，而另一個(gè)卻在 |z|a| 的范圍內(nèi)成立，也就是說，兩個(gè)表示式中的z不可能是z平面上的同一點(diǎn)。 czzbzzzczbznxzXnnnnnnnn1033)()(n事實(shí)上，這兩個(gè)z變換分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的序列。因此，只有當(dāng)兩個(gè)z變換的表達(dá)式和收斂域都相同時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的序列才相同。n z變換X(z)的收斂域與其極點(diǎn)關(guān)系密切，由極點(diǎn)的位置可以確定收斂域。 2.7.2 2.7.2z z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)n 設(shè) ； xxRzR zXnxZ),()(yyRzR zYnyZ),()(1 1z z變換的線性變換的線性n 即序列線性組合的z變換等于這些序列各

43、自的z變換的線性組合，用數(shù)學(xué)表示為：n a、b為任意常數(shù) n總的收斂域?yàn)镽- z0；n ， z = 是 二 階 極 點(diǎn) ， 故 收 斂 域 為 |z|。1)(nZ1)1(znZ2)2(znZ 3 3乘以指數(shù)序列后的乘以指數(shù)序列后的z z變換變換 n 收斂域：n 若X(z)有零點(diǎn)或極點(diǎn)z1，則X(a-1z)就有零點(diǎn)或極點(diǎn)az1。)()(1zaXnxaZnxxRazRa| | | 4 4 序列序列nx(n) nx(n) 的的z z變換變換n 收斂域仍為： 5 5 共軛復(fù)序列的共軛復(fù)序列的z z變換變換n 收斂域仍為： dzzdXznnxZ)()(xxRzR|)()(*zXnxZxxRzR| 6 6

44、 翻轉(zhuǎn)序列的翻轉(zhuǎn)序列的z z變換變換 Zx(-n)=X(1/z) (1/Rx+)|z|(1/Rx-) 7. 7. 初值定理初值定理n 若x(n) 為因果序列，則有： )(lim)0(zXxz 8. 8. 終值定理終值定理n 設(shè)x(n)為因果序列，并且X(z)在單位園外無極點(diǎn)，在單位園上也最多在z=1處有一階極點(diǎn)，則： n或者寫為： x() = ResX(z),z=1 )() 1(lim)(lim1zXznxzn 9. 9. 時(shí)域與時(shí)域與z z域之間相乘與卷積的映射關(guān)系域之間相乘與卷積的映射關(guān)系 (1) 序列的卷積的 z 變換等于這兩個(gè)序列各自的 z 變換的乘積，即： n這就是說，時(shí)域的卷積關(guān)系

45、映射到復(fù)頻域?yàn)橄喑说年P(guān)系 )()()()(2121zXzXnxnxZ (2) 時(shí)域的相乘關(guān)系映射到復(fù)頻域?yàn)閺?fù)卷積的關(guān)系。n 設(shè) ，則： nW(z)的收斂域?yàn)镽x-z/v Rx+ 與Ry-v Ry+ 的重疊部分，而積分圍線c1則是此收斂域內(nèi)的一條包圍原點(diǎn)的閉合曲線。)()()(nynxnw11)()(21)()(cdvvvYvzXjnwZzWn或者 n此時(shí)收斂域?yàn)镽x-v Rx+ 與Ry-z/v1: 此時(shí)收斂域在|z|=1的園之外，所以有： （右邊序列）(2）收斂域|z|1/3: 此時(shí)收斂域在|z|=1/3的園之內(nèi)，所以有： （左邊序列） )(3121)(21)(1nununxn) 1()31(

46、21) 1(21)(2nununxn (3) 收斂域1/3z0時(shí)的x(n)，就應(yīng)該選擇（2.86）式，因?yàn)榇藭r(shí)X(z)在圍線c內(nèi)有有限個(gè)極點(diǎn), 并且zn-1在z = 0解析；而不用（2.87）式，因?yàn)閦n-1(尤其是當(dāng)n較大時(shí))在z=有高階極點(diǎn)。n 當(dāng)收斂域在園內(nèi)，應(yīng)計(jì)算n0的x(n)，而利用c外的極點(diǎn)求得n0的x(n)。n但是實(shí)際上，0不一定是分界點(diǎn)。下面，我們總結(jié)出用留數(shù)法來求z反變換的一般方法。n首先，將X(z)中所包含的z的整數(shù)冪分離出來，即，將X(z)表示為：X(z)=X0(z)zm，這里，m是一個(gè)整數(shù)。 n這樣，X0(z)就在z=0和z=都解析。于是有： X(z)zn-1=X0(z

47、)zmzn-1=X0(z)zm+n-1=X1(z)。在確定了X(z)的收斂域以及圍線c的位置之后， 對(duì)圍線內(nèi)X0(z)的極點(diǎn)求X1(z)的留數(shù)就得到n1-m時(shí)的x(n)；對(duì)圍線外X0(z)的極點(diǎn)求X1(z)的留數(shù)就得到n1: 此時(shí)收斂域在|z|=1的園外，圍線c之內(nèi)包含X0(z)的兩個(gè)極點(diǎn)，所以有：n當(dāng)n1-m=0時(shí)，x(n)=0；而當(dāng)n1-m=0時(shí)，有： nznznzzzzzzzXzzzzXszzXsnx312121 ) 1(3)31(3)()31()(1)X-(z 31),(Re 1),(Re)(31131111111(2）收斂域|z|1/3: 此時(shí)收斂域在|z|=1/3的園內(nèi)，圍線c之外

48、包含X0(z)的兩個(gè)極點(diǎn)，所以有： n當(dāng)n1=m=0時(shí)，x(n)=0；而當(dāng)n1-m=0時(shí)，有： nzzXszzXsnx)31(2121 31),(Re 1),(Re)(112(3) 收斂域1/3 z 1: 此時(shí)收斂域在一個(gè)環(huán)內(nèi)，X0(z)的極點(diǎn) z1=1在圍線c之外，而 z2=1/3在圍線c之內(nèi), 于是有：n當(dāng)n1-m=0時(shí)， n當(dāng)n1-m=0時(shí)， n因此，當(dāng)收斂域在環(huán)內(nèi)， nzzXsnx)31(2131),(Re)(1321 1),(Re)(13zzXsnx)(3121) 1(21)(3nununxn 2.7.4 2.7.4 z z變換與傅里葉變換的關(guān)系變換與傅里葉變換的關(guān)系n序列x(n)

49、的z變換為： n令復(fù)變量z = rej，代入上式，得： n令r = 1，即z = ej，則上式為： nnznxzX)()(njnnjernxreX)()(njnjenxeX)()(n這正是x(n) 的傅里葉變換式。變量既表示數(shù)字角頻率，又表示復(fù)數(shù)z的幅角。z=ej 表示z 在單位圓上取值，因此，傅里葉變換就是單位圓上的z變換。n又，z反變換關(guān)系式為： cndzzzXjnx1)(21)(n設(shè)單位圓在X(z)的收斂域內(nèi)，因此可將單位圓作為積分圍線c，即有z = ej，代入上式，得： n這正是離散信號(hào)x(n) 的傅里葉變換的反變換式。deeXjdeeeXjnxjnjjnjj)(21 )(21)()1

50、(n對(duì)傅里葉變換： n 因此，若 ，則 ，傅里葉變換收斂。 對(duì)z變換： nnjnnjnjnxenxenxeX)()(|)(| )(|nnx)()(jeXnnjnnnnjnnnnrnxernxernxznxzX)()(|)(|)(| )(|n因此，若 ，便有X(z)，z變換收斂。n 因此，如果序列x(n) 的傅里葉變換不收斂，一般還可以在z平面上找到一個(gè)區(qū)域，使其z變換收斂。n模擬信號(hào)xa(t)及其抽樣信號(hào) (也即x(n)在時(shí)域和頻域中的相互關(guān)系： nnrnx)()(txa 圖圖2.24 2.24 模擬信號(hào)及其抽樣信號(hào)在時(shí)域和頻域中的相互關(guān)系模擬信號(hào)及其抽樣信號(hào)在時(shí)域和頻域中的相互關(guān)系 nssa

51、anTtnTxtx)()()(nsssaaTnTtcnTxtx)(sin)()(nsasanXTX)(1)()2( )()(casarectXTX2.8 2.8 離散系統(tǒng)的差分方程，系統(tǒng)函數(shù)及其零極點(diǎn)離散系統(tǒng)的差分方程，系統(tǒng)函數(shù)及其零極點(diǎn) 2.8.1 2.8.1 離散系統(tǒng)的差分方程離散系統(tǒng)的差分方程1 1非遞歸型非遞歸型n非遞歸即輸出對(duì)輸入無反饋。非遞歸型系統(tǒng)就是輸出值僅僅取決于輸入值的系統(tǒng)，這樣的系統(tǒng)在 n 時(shí)刻的輸出值為： ),.1(),(),1(.,)(nxnxnxfnyn若此系統(tǒng)是線性時(shí)不變的，則有： ， ai 為常數(shù)n若此系統(tǒng)又是因果的，則當(dāng)iN時(shí)，ai = 0，則： n 這是一個(gè)N

52、階線性差分方程，N為系統(tǒng)的階次。 iiinxany)()(0)()(iiinxanyNiiinxany0)()(2. 2. 遞歸型遞歸型n 所謂遞歸就是輸出對(duì)輸入有反饋。遞歸型系統(tǒng)的輸出值不僅取決于輸入值，也取決于輸出值，在n時(shí)刻的輸出值可以一般地表示為： ),.1(),1(.,),.1(),(),1(.,)(nynygnxnxnxfnyn若系統(tǒng)是線性、時(shí)不變、因果的，則有： n這里ai、 bi為常數(shù)。n 當(dāng)bi =0時(shí)，遞歸型就成了非遞歸型，亦即非遞歸形是遞歸型的特例。 NiiMiiinybinxany10)()()( 2.8.2 2.8.2 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)n 線性、時(shí)

53、不變、因果系統(tǒng)的差分方程又可以寫為： n兩邊進(jìn)行z變換，得： n于是有： MiiNjjinxajnyb00)()(NjMiiijjzXzazYzb00)()(NjjjMiiizbzazXzYzH00)()()(n H(z) 定義為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，又叫做傳遞函數(shù)或者傳輸函數(shù)。因此，線性、時(shí)不變、因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是一個(gè)有理函數(shù)，其分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)于描述該系統(tǒng)的差分方程中的右邊和左邊的各系數(shù)。n 系統(tǒng)函數(shù)H(z) 實(shí)際上就是系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n) 的z變換，這是因?yàn)?，?duì)于LTI系統(tǒng)有： )()()(nhnxnyn令Y(z)、X(z)、H(z) 分別表示y(n)、x(n)、h(

54、n) 的z變換，則由序列卷積的z 變換特性，有： n這個(gè)式子與系統(tǒng)函數(shù)H(z)的定義式等價(jià)。n 如果令z = ej，便有： ，這正是前面所定義的離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。 )()()(zHzXzY)()()(jjjeXeYeH 2.8.3 2.8.3 系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn) n 對(duì)系統(tǒng)函數(shù)H(z) 的分子分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，得到： n 設(shè)MN，將（2.100）式兩邊同乘以zM，有： NjjMiizdzcAzH1111)1 ()1 ()(NjjNMMiidzzczAzH11)()()(n 令z= ej，代入上式：NjjjNMjMiijjdeeceAeH1)(1)()()()(1)(1)(

55、jjNjjNMjMiieeHDeCA 圖圖2.25 2.25 系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)與系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的關(guān)系系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)與系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的關(guān)系 n將向量和 用極坐標(biāo)表示： n系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)為： n系統(tǒng)的相頻響應(yīng)為： (設(shè)A0) ijiieCCjjjjeDDNjjMiijDCAeH11)()()(11NMNjjMiin這說明，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)由系統(tǒng)函數(shù)的各零點(diǎn)到ej點(diǎn)的向量的模值之乘積與各極點(diǎn)到ej點(diǎn)的向量的模值之乘積的比確定；系統(tǒng)的相頻響應(yīng)由系統(tǒng)函數(shù)的各零點(diǎn)到ej點(diǎn)的向量的相角之和與各極點(diǎn)到ej點(diǎn)的向量的相角之和的差確定。 從圖2.25可以看到，幅頻響應(yīng)H(ej)作為的函數(shù)，其大小隨ej點(diǎn)在

56、單位圓上的移動(dòng)而變化。 n當(dāng)ej點(diǎn)移到零點(diǎn)附近時(shí)，由于作為分子的向量模值變得很小，因此幅頻響應(yīng)將出現(xiàn)谷值；當(dāng)ej點(diǎn)移到極點(diǎn)附近時(shí)，使作為分母的向量模值變得很小，從而幅頻響應(yīng)將出現(xiàn)峰值。若零點(diǎn)位于單位圓上，則當(dāng)ej點(diǎn)與此零點(diǎn)重合時(shí)，谷值將等于零；若極點(diǎn)位于單位圓上，則當(dāng)ej點(diǎn)與此極點(diǎn)重合時(shí)，峰值將變?yōu)闊o窮大。 2.8.4 2.8.4 線性時(shí)不變因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性時(shí)不變因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性n 已經(jīng)看到，當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)在單位圓上，其幅頻響應(yīng)將出現(xiàn)無窮大，因而系統(tǒng)就會(huì)不穩(wěn)定。至于LTI因果系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)在單位園之內(nèi)或者之外與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系， 可以通過考察 是否滿足而得出，結(jié)果如下。0)(nnh(1)

57、 若H(z)所有極點(diǎn)都在單位園的內(nèi)部，也即單位圓在收斂域內(nèi)，那末系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2) 只要有一個(gè)極點(diǎn) 在單位圓外，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。n即有，一個(gè)線性時(shí)不變的因果系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)函數(shù)H(z)的所有極點(diǎn)都在z平面的單位圓內(nèi)。顯然，對(duì)于因果線性時(shí)不變的穩(wěn)定系統(tǒng)，單位圓必定在其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域內(nèi)。2.9 2.9 MatlabMatlab方法方法 2.9.1 2.9.1 常用序列及序列運(yùn)算的常用序列及序列運(yùn)算的MatlabMatlab實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)1 1 單位抽樣序列單位抽樣序列n函數(shù) zeros(1,N) 可以產(chǎn)生一個(gè)包含 N 個(gè)零的行向量，在給定的區(qū)間上，可以用這個(gè)函數(shù)來產(chǎn)生。這個(gè)函數(shù)的輸

58、入?yún)?shù)應(yīng)該滿足條件。 2 2單位階躍序列單位階躍序列n函數(shù) ones(1,N) 產(chǎn)生一個(gè)由 N 個(gè) 1 組成的行向量,在給定的區(qū)間上，可以用它來產(chǎn)生。這個(gè)函數(shù)的輸入?yún)?shù)應(yīng)該滿足條件 。3 3矩形序列矩形序列n其 Matlab 實(shí)現(xiàn)為： n rect = zeros(1,N),ones(1,M),zeros(1,P)201nnn4 4實(shí)指數(shù)序列實(shí)指數(shù)序列n符號(hào)“.”用來實(shí)現(xiàn)一個(gè)實(shí)指數(shù)序列。n 例例2.182.18 用Matlab實(shí)現(xiàn) 。 n =0:10; x = (0.5).n; stem(n,x); 100,)5 . 0()(nnxn圖圖2.26 例例2.18的圖形的圖形5 5正弦序列正弦序列

59、n函數(shù)sin（或cos）產(chǎn)生正（余）弦序列。n 例例2.19 2.19 用Matlab 實(shí)現(xiàn) x(n)=2sin(0.6n) + 3cos(0.3n+ /3)， 0n10。 n = 0:0.1:10; x = 2*sin(0.6*pi*n) + 3*cos(0.3*pi*n+ pi/3); plot(n,x); 圖圖2.27 例例2.19的圖形的圖形6序列的翻褶序列的翻褶ny(n)=x(-n)的Matlab實(shí)現(xiàn)為： y=fliplr (x); n=-fliplr (n); 7信號(hào)的能量：信號(hào)的能量： n 在Matlab中采用函數(shù)conj來求一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛，而離散序列的能量的 Matlab 實(shí)現(xiàn)

60、可以采用下述任一種方法。（1）E=sum(x.*conj(x);（2）E=sum(abs(x)，.2);nnnxnxnxE)()()(21 n例例2.20 用Matlab實(shí)現(xiàn)下列序列，并畫出相應(yīng)圖形。 n解： n=0:10; x=n*Unitstepseq(0,0,10)+3*(0.5).(3*n); stem(n,x); xlabel(n); ylabel(x(n);100,)5 . 0(3)()(3nnnunxn 圖圖2.28 例例2.20 的圖形的圖形8序列的離散線性卷積計(jì)算序列的離散線性卷積計(jì)算nMatlab 中計(jì)算兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的線性卷積的函數(shù)是conv ，該函數(shù)假設(shè)兩個(gè)序列都是從n