彈性力學—差分法

1、第五章 用差分法和變分法解平面問題胡 衡武漢大學土木建筑工程學院彈 性 力 學 及 有 限 元二零零八二零零八年四月年四月差分法簡介12340567891011121314hhyxBA差分法是微分方程的一種近似數(shù)值解法。它不是去尋求函數(shù)式的解答，而是尋求函數(shù)在一些網(wǎng)格結(jié)點上的數(shù)值。差分法就是把微分用有限差分代替，把導數(shù)用有限差商代替，從而把基本方程和邊界條件（一般均為微分方程）近似地改用差分方程（代數(shù)方程）來表示，從而把求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化成求解代數(shù)方程的問題。差分公式的推導（1）12340567891011121314hhyxBA設(shè)函數(shù)f為彈性體內(nèi)的某一個連續(xù)函數(shù)（可以是應力函數(shù)，應力分量

2、函數(shù)，位移函數(shù)），將函數(shù)f在0點處沿3-0-1這條平行于x軸的直線展開：差分公式的推導（2）12340567891011121314hhyxBA網(wǎng)格間距h很?。郝?lián)立求解：差分公式的推導（3）12340567891011121314hhyxBA差分公式的推導（4）12340567891011121314hhyxBA應力函數(shù)的差分解（1）12340567891011121314hhyxBA對于邊界內(nèi)距邊界距離大于h的結(jié)點可建立如下方程：應力函數(shù)的差分解（2）12340567891011121314hhyxBA對于距邊界內(nèi)一行的結(jié)點建立的方程須用到邊界上的結(jié)點以及邊界外一行上的結(jié)點的應力函數(shù)值。因此

3、首先我們要用邊界條件確定邊界上的點的應力函數(shù)值。應力函數(shù)的差分解（3）s-dxdyo(xB, yB)xydsnAB應力函數(shù)的差分解（4）s-dxdyo(xB, yB)xydsnAB從基點A到邊界上任意點B對s積分應力函數(shù)的差分解（5）s-dxdyo(xB, yB)xydsnAB由于：對應力函數(shù)在s上利用分部積分做積分：聯(lián)合下式：得到：應力函數(shù)的差分解（6）s-dxdyo(xB, yB)xydsnAB代入得到：（1）（2）（3）應力函數(shù)的差分解（7）s-dxdyo(xB, yB)xydsnAB由于在應力函數(shù)中加上一個線性函數(shù)不影響應力的解，因此我們可以假想通過在應力函數(shù)中加上一個特殊的線性函數(shù)使

4、得應力函數(shù)在A點的值以及對x和y的一階偏導都為零。從而使1-3式有如下簡化形式：應力函數(shù)的差分解（8）s-dxdyo(xB, yB)xydsnAB第一式：表示A與B之間的x方向的面力之和。第二式：表示A與B之間的y方向的面力之和的負數(shù)。第三式：表示A與B之間的面力對B點的力矩之和，在如右圖的坐標系中，順時針為正。應力函數(shù)的差分解（9）s-dxdyo(xB, yB)xydsnAB對于多連體問題，在一條邊界上可以采用以上三個公式，對另一條邊界則需要通過位移單值條件求得邊界上一個基點的應力函數(shù)及其對應的偏導值，然后再利用未簡化的1-3式求解。應力函數(shù)的差分解（10）12340567891011121

5、314hhyxBA對于邊界外一行，利用下面的差分公式：可得到：應力函數(shù)的差分解（11）12340567891011121314hhyxBA1）在邊界上任意選定一個結(jié)點作為基點使 。2）然后由 式計算面力的矩及面力之和計算邊界上各結(jié)點的 值及必需的一些 ， 值。3）將邊界外一行各虛結(jié)點的 值用邊界內(nèi)相應的結(jié)點處的 值表示。4）對邊界內(nèi)各結(jié)點建立差分方程，求解方程并計算應力分量。差分法解平面問題的步驟：應力函數(shù)的差分解（12）邊界內(nèi)邊界外019B將應力函數(shù)在B點周圍泰勒展開：將0，1以及9點的坐標代入上式：差分法實例（1）123413567891011122419hhyxA252623222021

6、1918 17 16qJKLMIHGFEBCD1415問題：正方形的深梁，上邊受有均布向下的鉛直載荷q，由下角點處的反力維持平衡，試求應力分量。解答：取坐標軸如圖所示，并取網(wǎng)格間距為六分之一邊長。利用對稱性，只取左邊一半做研究。1）取A點為基點，計算P90頁表中各值。2）計算邊界外一行各結(jié)點處的 值。差分法實例（2）123413567891011122419hhyxA2526232220211918 17 16qJKLMIHGFEBCD14153）對邊界內(nèi)各結(jié)點可列15個差分方程。如對結(jié)點1：4）解方程并計算邊界外一行各結(jié)點 值。5）計算應力。如對結(jié)點M：差分法實例（4）如果彈性體的形狀對稱于xz平面和yz平面，而且面力分布也對稱于這兩個面，如右圖。為了減少未知數(shù)的個數(shù)，我們采用對稱的網(wǎng)格，但是按照通常方法計算各結(jié)點的 值不能保證其具有對稱性。試以C點為基點計算G結(jié)點和H結(jié)點的應力函數(shù)值。654321yxCqEBDAqqqFFFFGH差分法實例（5）y654321xCEBDAFFFF65432