彈性力學(xué)—差分法

1、第五章 用差分法和變分法解平面問題胡 衡武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院彈 性 力 學(xué) 及 有 限 元二零零八二零零八年四月年四月差分法簡(jiǎn)介12340567891011121314hhyxBA差分法是微分方程的一種近似數(shù)值解法。它不是去尋求函數(shù)式的解答，而是尋求函數(shù)在一些網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上的數(shù)值。差分法就是把微分用有限差分代替，把導(dǎo)數(shù)用有限差商代替，從而把基本方程和邊界條件（一般均為微分方程）近似地改用差分方程（代數(shù)方程）來表示，從而把求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化成求解代數(shù)方程的問題。差分公式的推導(dǎo)（1）12340567891011121314hhyxBA設(shè)函數(shù)f為彈性體內(nèi)的某一個(gè)連續(xù)函數(shù)（可以是應(yīng)力函數(shù)，應(yīng)力分量

2、函數(shù)，位移函數(shù)），將函數(shù)f在0點(diǎn)處沿3-0-1這條平行于x軸的直線展開：差分公式的推導(dǎo)（2）12340567891011121314hhyxBA網(wǎng)格間距h很?。郝?lián)立求解：差分公式的推導(dǎo)（3）12340567891011121314hhyxBA差分公式的推導(dǎo)（4）12340567891011121314hhyxBA應(yīng)力函數(shù)的差分解（1）12340567891011121314hhyxBA對(duì)于邊界內(nèi)距邊界距離大于h的結(jié)點(diǎn)可建立如下方程：應(yīng)力函數(shù)的差分解（2）12340567891011121314hhyxBA對(duì)于距邊界內(nèi)一行的結(jié)點(diǎn)建立的方程須用到邊界上的結(jié)點(diǎn)以及邊界外一行上的結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力函數(shù)值。因此

3、首先我們要用邊界條件確定邊界上的點(diǎn)的應(yīng)力函數(shù)值。應(yīng)力函數(shù)的差分解（3）s-dxdyo(xB, yB)xydsnAB應(yīng)力函數(shù)的差分解（4）s-dxdyo(xB, yB)xydsnAB從基點(diǎn)A到邊界上任意點(diǎn)B對(duì)s積分應(yīng)力函數(shù)的差分解（5）s-dxdyo(xB, yB)xydsnAB由于：對(duì)應(yīng)力函數(shù)在s上利用分部積分做積分：聯(lián)合下式：得到：應(yīng)力函數(shù)的差分解（6）s-dxdyo(xB, yB)xydsnAB代入得到：（1）（2）（3）應(yīng)力函數(shù)的差分解（7）s-dxdyo(xB, yB)xydsnAB由于在應(yīng)力函數(shù)中加上一個(gè)線性函數(shù)不影響應(yīng)力的解，因此我們可以假想通過在應(yīng)力函數(shù)中加上一個(gè)特殊的線性函數(shù)使

4、得應(yīng)力函數(shù)在A點(diǎn)的值以及對(duì)x和y的一階偏導(dǎo)都為零。從而使1-3式有如下簡(jiǎn)化形式：應(yīng)力函數(shù)的差分解（8）s-dxdyo(xB, yB)xydsnAB第一式：表示A與B之間的x方向的面力之和。第二式：表示A與B之間的y方向的面力之和的負(fù)數(shù)。第三式：表示A與B之間的面力對(duì)B點(diǎn)的力矩之和，在如右圖的坐標(biāo)系中，順時(shí)針為正。應(yīng)力函數(shù)的差分解（9）s-dxdyo(xB, yB)xydsnAB對(duì)于多連體問題，在一條邊界上可以采用以上三個(gè)公式，對(duì)另一條邊界則需要通過位移單值條件求得邊界上一個(gè)基點(diǎn)的應(yīng)力函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的偏導(dǎo)值，然后再利用未簡(jiǎn)化的1-3式求解。應(yīng)力函數(shù)的差分解（10）12340567891011121

5、314hhyxBA對(duì)于邊界外一行，利用下面的差分公式：可得到：應(yīng)力函數(shù)的差分解（11）12340567891011121314hhyxBA1）在邊界上任意選定一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為基點(diǎn)使 。2）然后由 式計(jì)算面力的矩及面力之和計(jì)算邊界上各結(jié)點(diǎn)的 值及必需的一些 ， 值。3）將邊界外一行各虛結(jié)點(diǎn)的 值用邊界內(nèi)相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)處的 值表示。4）對(duì)邊界內(nèi)各結(jié)點(diǎn)建立差分方程，求解方程并計(jì)算應(yīng)力分量。差分法解平面問題的步驟：應(yīng)力函數(shù)的差分解（12）邊界內(nèi)邊界外019B將應(yīng)力函數(shù)在B點(diǎn)周圍泰勒展開：將0，1以及9點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式：差分法實(shí)例（1）123413567891011122419hhyxA252623222021

6、1918 17 16qJKLMIHGFEBCD1415問題：正方形的深梁，上邊受有均布向下的鉛直載荷q，由下角點(diǎn)處的反力維持平衡，試求應(yīng)力分量。解答：取坐標(biāo)軸如圖所示，并取網(wǎng)格間距為六分之一邊長(zhǎng)。利用對(duì)稱性，只取左邊一半做研究。1）取A點(diǎn)為基點(diǎn)，計(jì)算P90頁表中各值。2）計(jì)算邊界外一行各結(jié)點(diǎn)處的 值。差分法實(shí)例（2）123413567891011122419hhyxA2526232220211918 17 16qJKLMIHGFEBCD14153）對(duì)邊界內(nèi)各結(jié)點(diǎn)可列15個(gè)差分方程。如對(duì)結(jié)點(diǎn)1：4）解方程并計(jì)算邊界外一行各結(jié)點(diǎn) 值。5）計(jì)算應(yīng)力。如對(duì)結(jié)點(diǎn)M：差分法實(shí)例（4）如果彈性體的形狀對(duì)稱于xz平面和yz平面，而且面力分布也對(duì)稱于這兩個(gè)面，如右圖。為了減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，我們采用對(duì)稱的網(wǎng)格，但是按照通常方法計(jì)算各結(jié)點(diǎn)的 值不能保證其具有對(duì)稱性。試以C點(diǎn)為基點(diǎn)計(jì)算G結(jié)點(diǎn)和H結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力函數(shù)值。654321yxCqEBDAqqqFFFFGH差分法實(shí)例（5）y654321xCEBDAFFFF65432