等比數(shù)列(教案+例題+習題)

1、二、等比數(shù)列1.等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或。例1“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；“a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac”；“a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個命題中，正確的有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個解析：四個命題中只有最后一個是真命題。命題1中未考慮各項都為0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列；命題2中可知an+1=an×，an+1<an未必成立，當首項a1<0時，an<0，則an>an，即an+1>an，此時該數(shù)列為遞增數(shù)列；命題3中，若a=b=0，cR，此時有，但數(shù)列a

2、,b,c不是等比數(shù)列，所以應是必要而不充分條件，若將條件改為b=，則成為不必要也不充分條件。點評：該題通過一些選擇題的形式考察了有關等比數(shù)列的一些重要結論，為此我們要注意一些有關等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結論。（1）一個等比數(shù)列共有項，奇數(shù)項之積為100，偶數(shù)項之積為120，則為_；（2）數(shù)列中，=4+1 ()且=1，若 ，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。2.等比數(shù)列的通項：或。3.等比數(shù)列的前和：當時，；當時，。例2一個等比數(shù)列有三項，如果把第二項加上4，那么所得的三項就成為等差數(shù)列，如果再把這個等差數(shù)列的第三項加上32，那么所得的三項又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列。解析：設所求的等比數(shù)列為a，aq，

3、aq2；則2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或a=，q=5；故所求的等比數(shù)列為2，6,18或，。點評：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁。（1）設等比數(shù)列中，前項和126，求和公比. （2）等比數(shù)列中，2，S99=77，求；（3）的值為_；特別提醒：等比數(shù)列前項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比是否為1時，要對分和兩種情形討論求解。4.等比中項：若成等比數(shù)列，那么A叫做與

4、的等比中項。提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個。如已知兩個正數(shù)的等差中項為A，等比中項為B，則A與B的大小關系為_提醒：（1）等比數(shù)列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2；（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設為，（公比為）；但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設為，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時才可如此設，且公比為。如有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求此四個數(shù)。5.等比數(shù)列

5、的性質(zhì)：（1）當時，則有，特別地，當時，則有.練一練：在等比數(shù)列中，公比q是整數(shù)，則=_；(2) 若是等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，也是等比數(shù)列。當，且為偶數(shù)時，數(shù)列 ，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 練一練：在等比數(shù)列中，為其前n項和，若，則的值為_ _；(3)若，則為遞增數(shù)列；若, 則為遞減數(shù)列；若 ，則為遞減數(shù)列；若, 則為遞增數(shù)列；若，則為擺動數(shù)列；若，則為常數(shù)列.(4) 當時，這里，但，這是等比數(shù)列前項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列，且，則 (5) .如設等比數(shù)列的公比為，前項和為，

6、若成等差數(shù)列，則的值為_ ；(6) 在等比數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，.(7)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設數(shù)列的前項和為（）， 關于數(shù)列有下列三個命題：若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；若，則是等差數(shù)列；若，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是 ；例3在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項a13，前三項和為21，則a3a4a5（ ）（A）33 （B）72 （C）84 （D）189解析：解：設等比數(shù)列an的公比為q(q>0)，由題意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21

7、,q2+q-6=0，求得q=2(q=3舍去)，所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故選C。等比數(shù)列課后練習一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內(nèi))1在等比數(shù)列an中，a7·a116，a4a145，則()A.B. C.或 D或2在等比數(shù)列an中a12，前n項和為Sn，若數(shù)列an1也是等比數(shù)列，則Sn等于()A2n12 B3n C2n D3n13設等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S6S312，則S9S3等于()A12 B23 C34 D134已知等比數(shù)列an中，an>0，a10a11e，則lna1lna2lna20的值為(

8、)A12 B10 C8 De5若數(shù)列an滿足a15，an1(nN*)，則其前10項和是()A200 B150 C100 D506.在等比數(shù)列an中，a1a2an2n1(nN*)，則aaa等于()A(2n1)2 B.(2n1)2 C4n1 D.(4n1)二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上)7數(shù)列an中，設數(shù)列an的前n項和為Sn，則S9_.8數(shù)列an的前n項之和為Sn，Sn1an，則an_.9an是等比數(shù)列，前n項和為Sn，S27，S691，則S4_.10設數(shù)列an的前n項和為Sn(nN)，關于數(shù)列an有下列四個命題：若an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則anan1(nN)若Snan2bn(a，bR)，則an是等差數(shù)列若Sn1(1)n，則an是等比數(shù)列若an是等比數(shù)列，則Sm，S2mSm，S3mS2m(mN)也成等比數(shù)列其中正確的命題是_(填上正確命題的序號)三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟)11已知數(shù)列an中，a11，前n項和為Sn，對任意的自然數(shù)n2，an是3Sn4與2Sn1的等差中項(1)求an的通項公式；(2)求Sn.12設數(shù)列an的前n項和為Sn，且(3m)Sn2manm3(nN*)，其中m為常數(shù)，且m3.(1)求證：an是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列an的公比qf(m