矩陣對(duì)角化方法探討

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上矩陣對(duì)角化方法探討摘 要： 本文利用矩陣的相關(guān)知識(shí),研究了矩陣可對(duì)角化的若干方法.關(guān)鍵詞： 可對(duì)角化;對(duì)角化方法;特征值;特征向量1 引言 形式最簡(jiǎn)單的矩陣就是對(duì)角陣.矩陣對(duì)角化使矩陣論的重要組成部分,在矩陣論中占有重要的作用,研究矩陣對(duì)角化問(wèn)題很有實(shí)用價(jià)值,矩陣對(duì)角化是線性變換和化二次型到主軸上問(wèn)題中經(jīng)常遇到并需要解決的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題,然而并非任何一個(gè)階矩陣都可以對(duì)角化.本文利用矩陣的相關(guān)知識(shí),如矩陣秩的知識(shí),矩陣乘法原理,對(duì)一些理論進(jìn)行應(yīng)用和舉例,介紹了矩陣對(duì)角化的四種方法,分別是一般方法;用矩陣初等變換將矩陣對(duì)角化的方法;利用矩陣乘法運(yùn)算,探討矩陣對(duì)角化的方法;利

2、用循環(huán)矩陣的性質(zhì)尋找矩陣對(duì)角化的方法.2 基本定義定義1 設(shè)是階方陣,如果存在數(shù)和維非零向量,使得則稱是矩陣的一個(gè)特征值, 是的屬于的一個(gè)特征向量.定義2 設(shè)為階方陣,稱行列式為的特征多項(xiàng)式,記為,而稱為的特征方程. 定義3 階方陣稱為可逆的,如果存在階方陣,使得,其中是階單位矩陣.定義 4 設(shè),是階方陣,若存在階可逆矩陣,使得,則稱與相似,稱為的相似矩陣. 定義 5 如果數(shù)域上,對(duì)級(jí)矩陣存在一個(gè)可逆矩陣使為對(duì)角形矩陣,則稱矩陣在數(shù)域上可對(duì)角化;當(dāng)可對(duì)角化時(shí),我們說(shuō)將對(duì)角化,即指求可逆矩陣使為對(duì)角形矩陣. 3 矩陣對(duì)角化的幾種方法3.1 一般方法 幾個(gè)定理定理 階方陣相似于對(duì)角矩陣的充分必要條

3、件是由個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,且當(dāng)相似于對(duì)角矩陣時(shí),的主對(duì)角線元素就是的全部特征值.推論1 方陣相似于對(duì)角矩陣的充分必要條件是的屬于每個(gè)特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)正好等于該特征值的重?cái)?shù).定理 如果階方陣有個(gè)互不相同的特征值（即的特征值都是單特征值）,則必相似于對(duì)角矩陣. 求階方陣的特征值與特征向量的一般步驟.第一步：計(jì)算特征多項(xiàng)式 第二步：求出特征方程的全部根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）,則 就是的全部特征值. 如果為特征方程的單根,則稱為的單特征根;如果為特征方程的重根,則稱為的重特征值,并稱為的重?cái)?shù). 第三步：對(duì)的相異特征值中的每個(gè)特征值,求出齊次線性方程的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則 就是對(duì)應(yīng)于特征值的特征

4、空間的一個(gè)基,而的屬于的全部特征向量為 （其中為不全為的任意常數(shù)） 如果階方陣相似于對(duì)角矩陣,則的相似對(duì)角化的一般步驟如下: 第一步：求出的全部特征值;第二步：對(duì)的相異特征值中的每個(gè)特征值,求出齊次線性方程組 的一個(gè)基礎(chǔ)解系,將所有這樣的基礎(chǔ)解系中的向量合在一起,假定這樣的向量共有個(gè),它們就是的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量;第三步：令矩陣=,則有,其中是屬于特征值的特征向量.注意的列向量的排列次序于與對(duì)角矩陣的主對(duì)角線元素的排列次序相一致.如圖1所示： 圖1 階方陣的相似對(duì)角化過(guò)程 應(yīng)用實(shí)例例1 設(shè)矩陣=當(dāng)取何值時(shí),相似于對(duì)角矩陣?在可對(duì)角化時(shí),求可逆矩陣,使成對(duì)角矩陣.解 先求的特征值,由 = =

5、= ，得的全部特征值為. 只有一個(gè)重特征值-1,故由定理1的推論,可對(duì)角化屬于2重特征值-1的線性無(wú)關(guān)特征向量正好有2個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含2個(gè)解向量而矩陣的秩為1當(dāng)且僅當(dāng),故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可對(duì)角化.當(dāng)時(shí),矩陣為= .計(jì)算可得的對(duì)應(yīng)于特征值的線性無(wú)關(guān)特征向量可取為，對(duì)應(yīng)于的特征值的特征向量可取為.故所求的可逆矩陣可取為,它使得.注當(dāng)有個(gè)互不相同的特征值時(shí),必可對(duì)角化;當(dāng)有重特征值時(shí),可對(duì)角化的屬于每個(gè)重特征值的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)正好等于該特征值的重?cái)?shù)對(duì)于的每個(gè)重特征值（設(shè)的重?cái)?shù)為）,矩陣的秩為.3 用矩陣初等變換將矩陣對(duì)角化的方法 理論依據(jù)若矩陣在數(shù)域上可對(duì)角化,則有上可逆矩陣使為對(duì)角形

6、矩陣.于是的主對(duì)角線上的元素為的全體特征值,并且可表示為,其中為初等矩陣,.于是,又也是初等矩陣,由初等矩陣與矩陣的初等變換的關(guān)系,即知相當(dāng)于對(duì)施行了一次初等行變換與一次初等列變換.這里,我們稱此種初等變換為對(duì)施行了一次相似變換. 顯然,可對(duì)施行一系列的相似變換化為. 又由（注：此處表單位矩陣）可如下進(jìn)行初等變換,則可將化為對(duì)角形矩陣,且可求得 ,對(duì)只施行相應(yīng)的初等列變換. 當(dāng)不可對(duì)角化時(shí),也可經(jīng)相似變換化簡(jiǎn)后,求得其特征值,判定它可否對(duì)角化. 類似地,可由,做如下初等變換,則可將化為對(duì)角形矩陣,且可求得或由求的特征值,判定可否對(duì)角化： ,對(duì)只施行相應(yīng)的初等行變換.并且在施行相似變換時(shí),不必施

7、行一次行變換后接著施行一次列變換這樣進(jìn)行,可施行若干次行（或列）變換后再施行若干次相應(yīng)的列（或行）變換,只要保持變換后,最后所得矩陣與相似即可.用初等變換將矩陣對(duì)角化的方法有個(gè)特征單根的階可對(duì)角化矩陣的對(duì)角化方法引理1 設(shè)是秩為的階矩陣,且其中是秩為的列滿秩矩陣,則矩陣所含的個(gè)列向量就是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.證明 設(shè),對(duì)施以列的初等變換相當(dāng)于右乘一階初等矩陣. 設(shè)其中是一個(gè)階可逆矩陣,是一個(gè)階矩陣,令是矩陣的列向量.由線性無(wú)關(guān),且所以,是方程的個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.又的秩為,則上述的個(gè)向量正是該齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.引理 -矩陣經(jīng)列的初等變換可化為下三角的-矩陣,且的主對(duì)角線上元

8、素乘積的多項(xiàng)式的根恰為的所有特征根.引理 令是數(shù)域上一個(gè)階矩陣,如果的特征多項(xiàng)式在內(nèi)有個(gè)單根,那么由特征列向量構(gòu)成的階可逆矩陣,使.定理1 如果數(shù)域上的階矩陣的特征多項(xiàng)式在內(nèi)有個(gè)單根,則可通過(guò)如下步驟對(duì)角化:設(shè),且.其中為下三角矩陣,則主對(duì)角線上全部元素乘積的多項(xiàng)式的全部特征根為的全部特征根,對(duì)的每一特征根,中零向量所對(duì)應(yīng)的中的列向量是屬于的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量.把屬于的特征向量作為列向量組合構(gòu)成矩陣,使 .證明 易知中非零向量的列構(gòu)成列滿秩矩陣,由引理1,2及引理3知結(jié)論成立.例1 設(shè) =.問(wèn)是否可對(duì)角化?若可以對(duì)角化,求可逆矩陣,使得成對(duì)角形.解 .由解得的特征值,此時(shí)3階矩陣有3個(gè)不同

9、的單根,故可對(duì)角化.當(dāng)時(shí),的零向量對(duì)應(yīng)中的列向量是屬于的特征向量.同理可知的屬于的特征向量分別是和,可得,使得.有重特征根的可對(duì)角化矩陣的對(duì)角化方法對(duì)存在重特征根的矩陣同樣可用上述方法,只是此時(shí)中非零向量可能不構(gòu)成列滿秩矩陣,需將上述方法加以改進(jìn).我們先看引理4 設(shè)是數(shù)域上一個(gè)階矩陣,可對(duì)角化的充要條件是的特征根都在內(nèi);對(duì)于的每一特征根,秩,這里是的重?cái)?shù).再由引理2,可知要判斷是否可對(duì)角化只需考察的秩,并可得對(duì)角化步驟如下:定理 2 設(shè)（是數(shù)域一個(gè)階矩陣）,則,其中是下三角矩陣,且主對(duì)角線元素乘積而得的多項(xiàng)式的根恰為的特征根.若的特征根都在內(nèi),可對(duì)角化的充要條件是：對(duì)的每一特征根,秩,這里是的

10、重?cái)?shù);若可對(duì)角化,對(duì)的每一特征根,若中非零向量構(gòu)成列滿秩矩陣,則的零向量對(duì)應(yīng)的中的列向量是屬于的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量,可組合而得,使成對(duì)角形.否則繼續(xù)施以列的初等變換：,使中非零向量構(gòu)成列滿秩矩陣,由可得屬于的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量. 證明由引理1,引理2的證明及引理4可得.例2 設(shè)（1） (2) 問(wèn),是否可對(duì)角化?若可以對(duì)角化,求可逆矩陣,使 成對(duì)角形.解 ,得的特征根（二重根）,由于秩秩,秩秩,故可對(duì)角化.因的非零向量不構(gòu)成列滿秩矩陣,需繼續(xù)進(jìn)行列的初等變換：.此時(shí)的非零向量構(gòu)成列滿秩矩陣,可得的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量是和,同理可得屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量是從而使. .由得的特征根（二重

11、）, 易判斷可對(duì)角化,屬于的特征向量是和,屬于的特征向量是,從而 使.上述方法與傳統(tǒng)方法比較顯然具有優(yōu)越性,但對(duì)于結(jié)果較多的矩陣,計(jì)算量仍然很大,可利用計(jì)算機(jī)采用此方法求解.3.3 利用矩陣的乘法運(yùn)算,探討矩陣對(duì)角化的方法.定理1 設(shè)是在數(shù)域上的全部互不相同的特征值.作多項(xiàng)式則在上可以對(duì)角化的充要條件是注 對(duì)于階數(shù)較低的矩陣是否可以對(duì)角化,可以先求得所有互異特征值,再驗(yàn)證是否有若則可以對(duì)角化;若則不可以對(duì)角化.定理2 設(shè)是在數(shù)域上的全部互不相同的特征值.若則的屬于的的特征子空間是的列空間.推論1 設(shè) 是在數(shù)域上的全部互不相同的特征值,其重?cái)?shù)分別為且若可對(duì)角化.則矩陣的列向量組中有對(duì)應(yīng)于的個(gè)線性

12、無(wú)關(guān)的特征向量.定理 3 設(shè) 是在數(shù)域上的全部互不相同的特征值.如果對(duì)每個(gè)都有 ,那么這里記的屬于的特征子空間為,而的列空間為.推論2 設(shè)是在數(shù)域上的全部互不相同的特征值,其重?cái)?shù)分別為則與對(duì)角矩陣相似的充要條件是的秩 .推論3 若階可對(duì)角化矩陣只有兩個(gè)相異的特征值（重）和 （重）,則矩陣（或）的（或）個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量就是對(duì)應(yīng)（或）的特征向量組的極大線性無(wú)關(guān)組.例1 判斷下列矩陣是否可以對(duì)角化,若可以,求可逆矩陣,使 成對(duì)角形. 解 易知的特征值是(2重根),它們都在數(shù)域中,盡管如此,不能對(duì)角化,因?yàn)?易求得的特征值是（2重根）.由于,故可以對(duì)角化.并且通過(guò) ,可得屬于的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

13、通過(guò),可得屬于的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量通過(guò),可得屬于的2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量和令,則 3.4 利用循環(huán)矩陣性質(zhì)尋找矩陣對(duì)角化的方法基本循回陣相似于對(duì)角陣階矩陣稱為基本循回陣.它滿足于如下性質(zhì)： 求出基本循回陣的特征多項(xiàng)式：因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式有個(gè)不同特征根：所以,基本循回陣相似于對(duì)角陣.下面求出特征向量：取則有（因）, 從而為特征根對(duì)應(yīng)的的特征向量.作矩陣：,因?yàn)闉樾辛惺?所以 可逆,則：. 循回方陣相似于對(duì)角陣矩陣稱為循回陣,可以由基本循回陣的多項(xiàng)式求出來(lái)：.設(shè)：, 所以循回陣可以對(duì)角化. 任意階矩陣可以對(duì)角化的充要條件是相似于一個(gè)階循回陣證明 充分性 若相似于循回陣.即存在可逆陣使,但所以 即相

14、似于對(duì)角陣.必要性 若可以對(duì)角化,即存在可逆方陣使得.用次多項(xiàng)式作一方程組如下：,即 該方程組的系數(shù)行列式為行列式,從而由法則知方程由唯一解.設(shè)階為則次多項(xiàng)式為,取矩陣,其中為基本循回矩陣,從而為循回陣,且有所以, 即相似于循回陣. 結(jié)束語(yǔ)綜上所述,復(fù)數(shù)域上的階矩陣,如果按相似關(guān)系分類后,含有循回陣的類可以對(duì)角化.參考文獻(xiàn)【1】 魏站線.線性代數(shù)要點(diǎn)與解題陜西：西安交通大學(xué)出版社,2006.【2】 高吉全.矩陣特征根與特征向量的同步求解方法探討數(shù)學(xué)通報(bào),1991.12. 【3】 張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)北京：高等教育出版社,1993.【4】 陳漢藻.矩陣可對(duì)角化的一個(gè)重要條件數(shù)學(xué)通報(bào),1990. 2.【5】 周伯.高等代數(shù)北京:人民教育出版社,1978.【6】 王萼芳,石生明.高等代數(shù)北京：高等教育出版社,2003. About The Method of The Diagonalization of MatrixZhao Shuang-ling（Mathematics & Statistics Industry School, Anyang Normal University, Anya