第十三章-電磁感應(yīng)-電磁場習(xí)題解答

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十三章 電磁感應(yīng) 電磁場（Electromagnetic inductor）計(jì)算題13-1 .如圖所示，有一根長直導(dǎo)線，載有直流電流I，近旁有一個(gè)兩條對(duì)邊與它平行并與它共面的矩形線圈，以勻速度沿垂直于導(dǎo)線的方向離開導(dǎo)線設(shè)t =0時(shí)，線圈位于圖示位置，求 ： (1)在任意時(shí)刻t通過矩形線圈的磁通量；（2）在圖示位置時(shí)矩形線圈中的電動(dòng)勢。 題13-1圖解：(1) (2) 依據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得13-2 如題圖所示，長直導(dǎo)線AB中的電流I沿導(dǎo)線向上，并以dI /dt =2 A/s的變化率均勻增長。導(dǎo)線附近放一個(gè)與之同面的直角三角形線框，其一邊與導(dǎo)線平行，位置及線框尺寸如

2、圖所示。求此線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢的大小和方向。（） 題13-2圖解：建立坐標(biāo)如圖所示，則直角三角形線框斜邊方程y =-2x + 0.2 (SI)取瞬時(shí)針方向?yàn)榫€框的繞行方向，則在直角三角形線框所圍平面上的磁通量為 2.59×10-8 I (SI) 三角形線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢為 即電動(dòng)勢的大小為，方向?yàn)槟鏁r(shí)針。13-3 題圖所示,載有電流的I長直導(dǎo)線附近，放一導(dǎo)體半圓環(huán)MeN與長直導(dǎo)線共面，且端點(diǎn)MN的連線與長直導(dǎo)線垂直。半圓環(huán)的半徑為b，環(huán)心O與導(dǎo)線相距a。設(shè)半圓環(huán)以速度 平行導(dǎo)線平移，求半圓環(huán)內(nèi)感應(yīng)電動(dòng)勢的大小和方向以及MN兩端的電壓。 題13-3圖解：動(dòng)生電動(dòng)勢為計(jì)算簡單，可引入

3、一條輔助線MN，構(gòu)成閉合回路MeNM, 閉合回路總電動(dòng)勢 負(fù)號(hào)表示的方向與x軸相反，所以13-4 求長度為L的金屬桿在均勻磁場中繞平行于磁場方向的定軸OO轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)生電動(dòng)勢。已知桿相對(duì)于均勻磁場的方位角為，桿的角速度為，轉(zhuǎn)向如題圖(a)所示。題13-4圖解：在距O點(diǎn)為l處的dl線元中的動(dòng)生電動(dòng)勢為 所以，的方向沿著桿指向上端。13-5如題圖所示，一長直導(dǎo)線中通有電流I，有一垂直于導(dǎo)線、長度為l的金屬棒AB在包含導(dǎo)線的平面內(nèi)，以恒定的速度沿與棒成角的方向移動(dòng)。開始時(shí)，棒的A端到導(dǎo)線的距離為a，求任意時(shí)刻金屬棒中的動(dòng)生電動(dòng)勢，并指出棒哪端的電勢高。題13-5圖解：如圖建立坐標(biāo)系，時(shí)刻在坐標(biāo)為處取線

4、元矢量元，則式中，所以， ，A端的電勢高。13-6 如題圖所示，長直導(dǎo)線中電流為i，矩形線框abcd與長直導(dǎo)線共面，且adAB，dc邊固定，ab邊沿da及cb以速度無摩擦地勻速平動(dòng)；時(shí)，ab邊與cd邊重合。設(shè)線框自感忽略不計(jì)。 (1)如i =I0，求ab中的感應(yīng)電動(dòng)勢ab兩點(diǎn)哪點(diǎn)電勢高？ (2)如，求ab邊運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)線框中的總感應(yīng)電動(dòng)勢。解：(1)直線上的磁場不均勻，建立坐標(biāo)ox，x沿ab方向，原點(diǎn)在長直導(dǎo)線處，則x處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 習(xí)題13-6圖， （式中 i =I0）在坐標(biāo)為處取線元矢量元，則ab中的感應(yīng)電動(dòng)勢為 由于ab中的感應(yīng)電動(dòng)勢的實(shí)際方向?yàn)?，因此有?2) 當(dāng)時(shí)，以abcda

5、作為回路正方向， 則：上式中， 于是 13-7 如題圖所示，一根長為L的金屬細(xì)桿ab繞豎直軸O1O2以角速度在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，O1O2在離細(xì)桿a端L /5處，若已知地磁場在豎直方向的分量為。求ab兩端間的電勢差。 習(xí)題13-7圖解：間的動(dòng)生電動(dòng)勢和間的動(dòng)生電動(dòng)勢分別為：，b點(diǎn)電勢高于O點(diǎn)；，a點(diǎn)電勢高于O點(diǎn)。 13-8長為L，質(zhì)量為m的均勻金屬細(xì)棒，以棒端O為中心在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，棒的另一端在半徑為L的金屬環(huán)上滑動(dòng)。棒端O和金屬環(huán)之間接一電阻R，整個(gè)環(huán)面處于均勻磁場中，的方向垂直紙面向里，如題圖所示。設(shè)t =0時(shí)，初角速度為；忽略摩擦力及金屬棒、導(dǎo)線和圓環(huán)的電阻。求 (1) 當(dāng)角速度為時(shí)金屬棒內(nèi)的

6、動(dòng)生電動(dòng)勢的大??； (2) 棒的角速度隨時(shí)間變化的表達(dá)式。（提示：利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律） 習(xí)題13-8圖解(1) 對(duì)于金屬棒OB，沿徑向在半徑為處取，利用公式，得 （2）設(shè)安培力作用在金屬棒OB上的力矩大小為，則根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律得則：，其中 13-9 一面積為S的單匝平面線圈，以恒定角速度在磁感強(qiáng)度的均勻外磁場中轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸與線圈共面且與垂直（為沿z軸的單位矢量）。設(shè)t =0時(shí)線圈的正法向與同方向，求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢。 解：時(shí)刻線圈的正法向與之間的夾角為，則時(shí)刻線圈中的磁通量為 時(shí)刻線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢為 13-10 如圖所示，一半徑為r2電荷線密度為的均勻帶電圓環(huán)，里邊有一半徑為r1總電阻為R的導(dǎo)體環(huán)，兩

7、環(huán)共面同心(r2 >> r1)，當(dāng)大環(huán)以變角速度繞垂直于環(huán)面的中心軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，求小環(huán)中的感應(yīng)電流。其方向如何？ 習(xí)題13-10圖解：大環(huán)中相當(dāng)于有電流 ，該電流在O點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小 以逆時(shí)針方向?yàn)樾…h(huán)回路的正方向，則小環(huán)中的磁通量為 感應(yīng)電流為的方向：當(dāng)時(shí)，i為負(fù)值，即i為順時(shí)針方向：當(dāng)時(shí)，i為正值，即i為逆時(shí)針方向。13-11 電荷Q均勻分布在半徑為a、長為L ( L >>a)的絕緣薄壁長圓筒表面上，圓筒以角速度繞中心軸線旋轉(zhuǎn)。一半徑為2a、電阻為R的單匝圓形線圈套在圓筒上，如圖所示。若圓筒轉(zhuǎn)速按照的規(guī)律(和是已知常數(shù))隨時(shí)間線性地減小，求圓形線圈中感應(yīng)電流的大

8、小和流向。 習(xí)題13-11圖解：筒以旋轉(zhuǎn)時(shí)，相當(dāng)于表面單位長度上有環(huán)形電流，它和通電流螺線管的nI等效依據(jù)長螺線管軸心磁場公式，筒內(nèi)均勻磁場磁感強(qiáng)度為： (方向沿筒的軸向)筒外磁場為零。穿過線圈的磁通量為： 在單匝線圈中產(chǎn)生感生電動(dòng)勢為 感應(yīng)電流i為當(dāng)時(shí)，的流向與圓筒轉(zhuǎn)向一致；否則，的流向與圓筒轉(zhuǎn)向相反。 13-12 如題圖（a）所示，有一彎成 角的金屬架COD放在磁場中，磁感強(qiáng)度的方向垂直于金屬架COD所在平面。一導(dǎo)體桿MN垂直于OD邊，并在金屬架上以恒定速度向右滑動(dòng)，與MN垂直。設(shè)t =0時(shí)，x = 0。求下列兩情形，框架內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢。 (1) 磁場分布均勻，且不隨時(shí)間改變； (1) 非

9、均勻的時(shí)變磁場。解：(1) 如題圖（a），因?yàn)?所以，由法拉第電磁感應(yīng)定律可得 在導(dǎo)體MN內(nèi)的方向由M向N。(2) 對(duì)于非均勻時(shí)變磁場。如題圖（b），取回路繞行的正向?yàn)镺NMO，則 ， ，則方向與所設(shè)繞行正向一致；，則方向與所設(shè)繞行正向相反。13-13 如圖所示，真空中一長直導(dǎo)線通有電流(式中I0、為常量，t為時(shí)間)，有一帶滑動(dòng)邊的矩形導(dǎo)線框與長直導(dǎo)線平行共面，二者相距a。矩形線框的滑動(dòng)邊與長直導(dǎo)線垂直，它的長度為b，并且以勻速(方向平行長直導(dǎo)線)滑動(dòng)。若忽略線框中的自感電動(dòng)勢，并設(shè)開始時(shí)滑動(dòng)邊與對(duì)邊重合，試求任意時(shí)刻t在矩形線框內(nèi)的感電動(dòng)勢 并討論的方向。習(xí)題13-13圖解：線框內(nèi)既有感生又

10、有動(dòng)生電動(dòng)勢設(shè)順時(shí)針繞向?yàn)榈恼较蛳惹笕我鈺r(shí)刻t的 。如圖在線框中方向取一寬為的長方形面元，對(duì)該面元上的磁通進(jìn)行積分即得， 根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得： 。（計(jì)算中利用了條件）。的方向： t <1時(shí)，逆時(shí)針； t >1時(shí)，順時(shí)針。 13-14 在半徑為R的圓柱形空間內(nèi)，存在磁感強(qiáng)度為的均勻磁場，的方向與圓柱的軸線平行。有一無限長直導(dǎo)線在垂直圓柱中心軸線的平面內(nèi)，兩線相距為a，a >R，如題圖（a）所示。已知磁感強(qiáng)度隨時(shí)間的變化率為dB /dt，求長直導(dǎo)線中的感應(yīng)電動(dòng)勢，并說明其方向。（提示： 選取過軸線而平行給定的無限長直導(dǎo)線的一條無限長直導(dǎo)線，與給定的無限長直導(dǎo)線構(gòu)成閉合回

11、路(在無限遠(yuǎn)閉合)。利用在過軸線的長直導(dǎo)線上，感生電場處處與之垂直的條件）題13-14圖解：由問題的軸對(duì)稱性和軸向的無限長條件可知，感生電場的場強(qiáng)在垂直軸線的平面內(nèi)，且與徑向相垂直。如題圖（b）所示，選取過軸線且平行給定的無限長直導(dǎo)線的一條無限長輔助直導(dǎo)線，與給定的無限長直導(dǎo)線構(gòu)成閉合回路(在無限遠(yuǎn)閉合)，則在過軸線的輔助長直導(dǎo)線上，因感生電場處處與之垂直，所以該輔助長直導(dǎo)線上電動(dòng)勢為零。又在無限遠(yuǎn)處，故此回路中的電動(dòng)勢就是給定的無限長直導(dǎo)線中的電動(dòng)勢。該回路的磁通量由電磁感應(yīng)定律有：的正方向如圖所示當(dāng)時(shí)，的方向從左到右；時(shí)，的正方向從右到左。 13-15 題圖所示為水平面內(nèi)的兩條平行長直裸導(dǎo)

12、線LM與LM，其間距離為l，左端與電動(dòng)勢為的電源連接，勻強(qiáng)磁場垂直于圖面向里。一段直裸導(dǎo)線ab橫嵌在平行導(dǎo)線間(并可保持在導(dǎo)線間無摩擦地滑動(dòng))把電路接通。由于磁場力的作用, ab將從靜止開始向右運(yùn)動(dòng)起來。求 (1) ab能達(dá)到的最大速度；(2) ab達(dá)到最大速度時(shí)通過電源的電流I。解：(1) 導(dǎo)線ab運(yùn)動(dòng)起來時(shí)，切割磁感線，產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢設(shè)導(dǎo)線中電流為（假設(shè)從a到b），導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)速度為，則ab上的動(dòng)生電動(dòng)勢 ，由b指向a。 習(xí)題13-15圖在由ab接通的電路中在磁場力作用下，不斷增大，則i不斷減小。當(dāng)增大到某一值V時(shí)，總會(huì)出現(xiàn)此時(shí)，ab所受磁場力為零，其速度不再增加，導(dǎo)線作勻速運(yùn)動(dòng)，這也就是ab

13、能達(dá)到的最大速度，即ab所能達(dá)到的最大速度為：(2) 這時(shí)電路中和電源中的電流均為零。13-16 如題圖所示，在圓柱形的勻強(qiáng)磁場中，同軸地放置一個(gè)半徑為，厚度為的金屬圓盤，今使磁場隨時(shí)間變化，為一常數(shù)，已知金屬盤的電導(dǎo)率為。試求：金屬盤內(nèi)的總的渦電流。習(xí)題13-16圖解：如題圖，半徑為的同軸圓柱面上各點(diǎn)的渦旋電場為：。渦旋電場的方向與的方向成左手螺旋關(guān)系。在半徑（）間取高為的同軸柱殼。在該柱殼內(nèi)，沿切向流動(dòng)的渦電流大小為：故金屬盤內(nèi)總的渦電流為：由于金屬盤內(nèi)載流子為電子，所以當(dāng)時(shí)，渦電流為反時(shí)針流動(dòng)；當(dāng)時(shí)，渦電流順時(shí)針流動(dòng)。13-17 兩同軸長直螺線管，大管套著小管，半徑分別為a和b，長為L

14、(L >>a；a >b)，匝數(shù)分別為N1和N2，求互感系數(shù)M。解：設(shè)半徑為a的長螺線管中通入電流I，則管內(nèi)的均勻磁場 通過半徑為b的長螺線管的磁鏈為： 根據(jù)定義：13-18 真空中，一個(gè)半徑r1 =1 cm，長度l1 =1 m的圈數(shù)為N1=1000的螺線管在它的中部與它同軸有一個(gè)半徑r2 =0.5 cm，長度l2 =1.0 cm圈數(shù)N2 =10的小線圈。計(jì)算兩個(gè)線圈的互感系數(shù)。(真空的磁導(dǎo)率) 解：設(shè)外圈線圈通過電流I1，由于，所以它在線圈中間產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為： 由于內(nèi)線圈的r2 < r1，l2 << l1，所以可以認(rèn)為B1均勻通過內(nèi)線圈，從而得到通過內(nèi)線圈

15、的磁通鏈數(shù)為： 所以得兩線圈的互感為： H13-19 真空矩形截面螺繞環(huán)的總匝數(shù)為N，尺寸如下圖所示，求它的自感系數(shù)。 習(xí)題13-19圖解：設(shè)螺繞環(huán)中通電流I，在環(huán)內(nèi)取以環(huán)中心為圓心，半徑為r 的圓形回路（截面為矩形，如圖），根據(jù)安培環(huán)路定理有 則 通過螺線管矩形截面的磁鏈數(shù)為： 13-20 一無限長直導(dǎo)線通有電流，一矩形線圈與該長直導(dǎo)線共面放置，其長邊與導(dǎo)線平行，位置如題圖所示。求： (1) 矩形線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢的大小及感應(yīng)電流的方向；(2) 導(dǎo)線與線圈的互感系數(shù)。習(xí)題13-20圖解：(1)如圖建立坐標(biāo)系，在坐標(biāo)間取面元。取矩形線圈的饒行方向?yàn)轫槙r(shí)針，則面元的正法矢量方向垂直紙面向里，于是該

16、面元上的磁通量為 ，其中 穿過矩形線框的磁通量為：根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得： 由于感應(yīng)電動(dòng)勢，所以此時(shí)感應(yīng)電流方向?yàn)轫槙r(shí)針方向。（2）根據(jù)互感系數(shù)的計(jì)算式可得：13-21 一邊長為a的正方形線圈，在t = 0 時(shí)正好從如圖所示的均勻磁場的區(qū)域上方由靜止開始下落，設(shè)磁場的磁感強(qiáng)度為。如題圖所示，線圈的自感為L，質(zhì)量為m，電阻可忽略。求線圈的上邊進(jìn)入磁場前，線圈的速度與時(shí)間的關(guān)系。 提示，其中；運(yùn)動(dòng)方程，聯(lián)合求解 習(xí)題13-21圖解：線框在完全進(jìn)入磁場前，電動(dòng)勢為，方向?yàn)槟鏁r(shí)針。取線框中自感電動(dòng)勢的正方向同框內(nèi)感應(yīng)電流的方向，即逆時(shí)針方向，且此時(shí)。對(duì)線框應(yīng)用全電路歐姆定律（式中為線框的電阻，可忽略

17、），則 （1）在重力與磁力作用下線圈的運(yùn)動(dòng)方程為 （2）（2）式兩邊同時(shí)對(duì)t微分后把（1）式帶入，且令，可得：這是一個(gè)簡諧振動(dòng)方程，其解為：根據(jù)初始條件時(shí)及，可得積分常數(shù)分別為和。故 13-22 一螺繞環(huán)單位長度上的線圈匝數(shù)為n =10匝/cm，環(huán)心材料的磁導(dǎo)率。求在電流強(qiáng)度I為多大時(shí)，線圈中磁場的能量密度=1 J/ m3？ ()。解： A13-23 一線圈的自感L1 H，電阻R3在t0時(shí)突然在它兩端加上U3 V的電壓，此電壓不再改變。求(1) 時(shí)線圈中的電流強(qiáng)度；(2) 求時(shí)線圈磁場能量對(duì)時(shí)間的變化率。解：(1) 在t0時(shí)，線圈電流滿足的微分方程為，即 利用初始條件t0 時(shí)i0，積分并化簡，得當(dāng)時(shí)，。 (2) 線圈儲(chǔ)存的磁能為 ，所以當(dāng) 時(shí)， W/s 13-24 在長為l、半徑為b、匝數(shù)為N的細(xì)長螺線管的軸線中部，放置一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體圓環(huán)，圓環(huán)平面的法線與螺線管軸線之間的夾角固定成45°。已知螺線管電阻為R，圓環(huán)電阻為r，其自感不計(jì)，電源的電動(dòng)勢為 內(nèi)電阻為零。設(shè)a<<b，螺線管與