定積分的概念講義

1、定積分的概念【知識要點】(1)定積分的定義及相關概念 分割 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點ax0<x1<xi1<xi<xnb，將區(qū)間a，b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi1，xi上任取一點i(i1,2，n)，區(qū)間xi1，xi 的長度。 近似取代 “以直代取”，用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個小曲邊梯形面積的近似值 求和 作和式f(i)xf(i)， 取極限 當n時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx.即：注：在f(x)dx中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，f(x

2、)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式（2）定積分的幾何意義從幾何上看，如果在區(qū)間a,b上的函數(shù)連續(xù)且恒有。那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積。(3 )定積分的性質 kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù)) （其中k是不為0的常數(shù)） （定積分的線性性質）f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx. （定積分的線性性質）f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b) （定積分對積分區(qū)間的可加性）說明：推廣： 推廣: 性質解釋：性質4性質112yxo【例題精講】例1計算定積分分析：所求定積分即為如圖陰影部分面

3、積，面積為。即：思考：若改為計算定積分呢？改變了積分上、下限，被積函數(shù)在上出現(xiàn)了負值如何解決呢？例2求曲線與x=1,y=0所圍成的區(qū)域的面積解： 分割 將區(qū)間等分為n個小區(qū)間：，每個小區(qū)間的長度為 近似取代 過各點做x軸的垂線，把梯形分成n個小曲邊梯形，在分別用小區(qū)間左端點的縱坐標為為高，為底作小矩形，于是圖中曲線i之下矩形的面積依次為：， 求和 所有這些小矩形的面積之和為=+= = 取極限 【習題精練】1. 函數(shù)在區(qū)間上，（ ）A.的值變化很小 B.的值變化很大C. 的值不變化 D. 當n很大時，的值變化很小答案：D2. 當n很大時，函數(shù)在區(qū)間上的值，可以用下列函數(shù)值近似代替的是 （ ）A.

4、 B. C. D. 答案：C3. “以直代曲”中，函數(shù)在區(qū)間上的近似值等于（ ）A. 只能是左端點的函數(shù)值 B. 只能是右端點的函數(shù)值C. 可以是該區(qū)間內任一點的函數(shù)值（）D. 以上答案均正確答案：C4. 設在上連續(xù)，將n等分，在每個小區(qū)間上任取，則是（ ）A. B. C. D. 答案：B5. 設在上連續(xù)，則在上的平均值為（ ）A. B. C. D. 答案：D6. 已知和式當n+時，無限趨近于一個常數(shù)A，則A可用定積分表示為（ ）AB C D答案：B7. 下列定積分為1是（ ）A B C D答案：C8. 求由圍成的曲邊梯形的面積時，若選擇為積分變量，則積分區(qū)間為（ ）A0，B0，2 C1，2D

5、0，1答案：B9. 由y=cosx及x軸圍成的介于0與2之間的平面圖形的面積，利用定積分應表達為 答案：或。10. 計算= 。答案：。 提示：這是求單位圓落在第一象限內部分的面積。11. 利用定積分的幾何意義，判斷下列定積分的值是正是負？（1）； （2）； （3）答案： （1）正 (2)正 (3)負。利用定積分的幾何意義，比較下列定積分的大小， ， 。 答案： 。12. 計算下列定積分：； ； 。答案：(1)； (2) ；(3)0 ；(4)0。13. 利用定積分表示圖中四個圖形的面積：xOay = x2 (1)xO21y = x2 (2)yyy=(x-1)2 -1Ox12(3)xabOy =

6、1(4)yy 答案：(1) ； (2) ； (3) ；(4) 【課下練習】1. 設函數(shù)，則當時，定積分的符號（ ）A. 一定是正的 B. 一定是負的 C. 當時是正的，當時是負的D以上結論都不對答案：A2. 下列式子中不成立的是（ ）A. B. C. D. 答案：C3. =（ ）A0B. CD。答案：A4. 由直線，及軸所圍成平面圖形的面積為（ ）AB。CD。答案：C5. 和式當n+時，無限趨近于一個常數(shù)A，則A用定積分可表示為 。答案： 。6. 曲線，所圍成的圖形的面積可用定積分表示為答案：7. 計算曲邊三角形的面積的過程大致為：分割；以直代曲；作和；逼近。試用該方法計算由直線x=0，x=1，y=0和曲線y=x2所圍成的曲邊三角形的面積。（下列公式可供使用：12+22+n2=）答案：8. 求由曲線與所圍的圖形的面積.答案：69