將數(shù)學(xué)與藝術(shù)結(jié)合的丟勒

1、丟勒的數(shù)學(xué)與藝術(shù)把數(shù)學(xué)與藝術(shù)聯(lián)系起來可能在很多人看來是天方夜譚?？墒菐缀?、代數(shù)、為何計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)世界都為藝術(shù)家們提供了研究、提高、簡化和完善他們的工具。多少世紀(jì)以來，藝術(shù)家和他們的工作都由于了解和利用數(shù)學(xué)而受到過影響。其中有一位就是我們熟悉的大師丟勒。他覺得研究數(shù)學(xué)使藝術(shù)獲得提高，他還把他所用的數(shù)學(xué)寫成了書，他將數(shù)學(xué)與藝術(shù)結(jié)合起來了。數(shù)學(xué) 透視 藝術(shù)數(shù)學(xué)思想是想象力的虛構(gòu)物。數(shù)學(xué)的想法存在于另一世界中，數(shù)學(xué)的對象是由純邏輯和創(chuàng)造力產(chǎn)生的，而我們的世界所具體有的只是數(shù)學(xué)對象的代表物而已。所以，數(shù)學(xué)與藝術(shù)粗看起來是風(fēng)馬牛不相及的事，然而數(shù)學(xué)與藝術(shù)都是美麗的，而且是有內(nèi)在聯(lián)系的，數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家羅素說

2、，“數(shù)學(xué)，從正確的觀點(diǎn)來看，它不僅是真理，而且是至上的美麗一種嚴(yán)峻的美，雕刻的美，沒有向弱點(diǎn)做任何的遷就；沒有音樂和繪畫那樣的裝飾，而是令人驚異的純真，具有最偉大的藝術(shù)品所顯示的完美，”而藝術(shù)以美的形象、美好的事物、高雅的音律來激發(fā)人們的情感，陶冶我們的情操。它們之間純在著差別，也有著聯(lián)系。使得數(shù)學(xué)與藝術(shù)之間存在著一種關(guān)系數(shù)學(xué)抽象的思辨，嚴(yán)密的推理，邏輯的論證，精確的計(jì)算，總攬全局而又步步為營的思維方式，構(gòu)造起號稱為“思維的體操”的數(shù)學(xué)大廈。藝術(shù)：對哲學(xué)思想的變遷和藝術(shù)家們對多變的技術(shù)環(huán)境的反應(yīng)的最直接的表現(xiàn)形式。是浮想聯(lián)翩，瀟灑不羈，蔑視規(guī)律，跳躍的思維律動，彌漫出若即若離的藝術(shù)圖景。數(shù)學(xué)與

3、藝術(shù)有什么關(guān)系很多人都會覺得應(yīng)該是沒有的，但是，仔細(xì)考察人類歷史和現(xiàn)實(shí)，我們不難發(fā)現(xiàn)，幾乎人類的一切學(xué)科領(lǐng)域都或多或少用到數(shù)學(xué)，藝術(shù)也不例外。一個著名的藝術(shù)家丟勒為我們展現(xiàn)藝術(shù)與數(shù)學(xué)的關(guān)系。一、丟勒簡介作為一個文藝復(fù)興時期的人，丟勒相信藝術(shù)家必須要深入觀察自然和竭力發(fā)現(xiàn)宇宙的秘密，以揭示和阿爾布雷希特·丟勒（14711528）是一位多才多藝的藝術(shù)家。丟勒的父親有18個孩子，他希望其中繼承他的金匠職業(yè)的將是阿爾布雷希特。結(jié)果丟勒就成了邁爾克·沃爾杰默特的學(xué)徒，恰巧此人也是一位藝術(shù)家。丟勒當(dāng)了三年學(xué)徒后，遍游歐洲，遍工作邊學(xué)習(xí)繪畫、雕刻、印刷和木刻，所有這些都影響著他一生的工作

4、。他覺得研究數(shù)學(xué)使藝術(shù)獲得提高，特別是幾何、透視和一些射影幾何概念。他對人體比例也做了大量工作。此外，他還把他所用的數(shù)學(xué)寫成了書。他在數(shù)學(xué)方面的有些工作是原創(chuàng)而精確的，而其他工作和一些幾何結(jié)構(gòu)則是近似的，僅為他的藝術(shù)需要服務(wù)而已。他在這方面發(fā)展出一些有助于藝術(shù)家門采用透視畫法的機(jī)械工具。二、透視的數(shù)學(xué)原理構(gòu)圖他在意大利旅行時曾學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和透視；1506年，他在威尼斯購買了歐幾里得的幾何原本，在波倫亞學(xué)習(xí)透視藝術(shù)（很可能是向帕西沃里學(xué)的）?；氐聡螅瑏G勒于1525年以德文出版尺規(guī)測量藝術(shù)引論，論述介紹線性幾何、平面圖形、立體圖形的有關(guān)命題以及透視理論。他所從事的工作具有的數(shù)學(xué)色彩對他的藝術(shù)和其他創(chuàng)

5、作的幫做是無法計(jì)量的。并且，他認(rèn)為，創(chuàng)作一幅畫時，應(yīng)依據(jù)透視的數(shù)學(xué)原理進(jìn)行構(gòu)圖。例如丟勒的圣徒杰羅姆在書房，在這幅畫中就運(yùn)用了透視的數(shù)學(xué)原理：平行的直線在像平面的投影交于一點(diǎn)。所有的繪畫當(dāng)中都會用到透視的原理，這說明了透視是繪畫的基礎(chǔ)，由此可見數(shù)學(xué)在藝術(shù)中的運(yùn)用的重要性。三、比例研究丟勒的畫告訴我們，藝術(shù)的創(chuàng)作也是與數(shù)學(xué)分不開的。在繪畫中，人是非常重要的一個創(chuàng)作考慮的元素。由此丟勒開始了對人體比例的研究。丟勒是一位幾何學(xué)家。他尋求將人體的形狀歸結(jié)為數(shù)學(xué)原理，這在他的數(shù)以百計(jì)的素描中得到證明。他的這些比例說明，他企圖用科學(xué)的方法來人體。而在今天，我們可以清楚的認(rèn)識到人體結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)關(guān)系。人體結(jié)構(gòu)

6、中有許多的比例關(guān)系都接近0.618，近年來在研究黃金分割與人體關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)了人體結(jié)構(gòu)中的14個“黃金點(diǎn)”（物體短段與長段之比值為 0.618），12個“黃金矩形”（寬與長比值為 0.618的長方形）和2個“黃金指數(shù)”（兩物體間的比例關(guān)系為 0.618）。 黃金點(diǎn)：(1)肚臍：頭頂足底之分割點(diǎn)；(2)咽喉：頭頂肚臍之分割點(diǎn)；(3)、(4)膝關(guān)節(jié)：肚臍足底之分割點(diǎn)；(5)、(6)肘關(guān)節(jié)：肩關(guān)節(jié)中指尖之分割點(diǎn)；(7)、(8)乳頭：軀干乳頭縱軸上這分割點(diǎn)；(9)眉間點(diǎn)：發(fā)際頦底間距上1/3與中下2/3之分割點(diǎn)；(10)鼻下點(diǎn)：發(fā)際頦底間距下1/3與上中2/3之分

7、割點(diǎn)；(11)唇珠點(diǎn)：鼻底頦底間距上1/3與中下2/3之分割點(diǎn)；(12)頦唇溝正路點(diǎn)：鼻底頦底間距下1/3與上中2/3之分割點(diǎn)；(13)左口角點(diǎn)：口裂水平線左1/3與右2/3之分割點(diǎn)；(14) 右口角點(diǎn)：口裂水平線右1/3與左2/3之分割點(diǎn)。 面部黃金分割律 面部三庭五眼 黃金矩形：(1)軀體輪廓：肩寬與臀寬的平均數(shù)為寬，肩峰至臀底的高度為長；(2)面部輪廓：眼水平線的面寬為寬，發(fā)際至頦底間距為長；(3)鼻部輪廓：鼻翼為寬，鼻根至鼻底間距為長；(4)唇部輪廓：靜止?fàn)顟B(tài)時上下唇峰間距為寬，口角間距為長；(5)、(6)手部輪廓：手的橫徑為寬，五指并攏時取平均

8、數(shù)為長；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上頜切牙、側(cè)切牙、尖牙（左右各三個）輪廓：最大的近遠(yuǎn)中徑為寬，齒齦徑為長。在人體中有各種黃金指數(shù)：(1)反映鼻口關(guān)系的鼻唇指數(shù)：鼻翼寬與口角間距之比近似黃金數(shù)；(2)反映眼口關(guān)系的目唇指數(shù)：口角間距與兩眼外眥間距之比近似黃金數(shù)。不僅人體有著比例關(guān)系，其他的自然的事物也有著大自然所賦予的最美的比例。丟勒曾經(jīng)研究過畫馬的比例問題。比如在1505 年創(chuàng)作小馬的時候，丟勒就仔細(xì)研究了畫馬的時候采用什么樣的比例最好，小馬中的那匹馬就有著精確的比例塑造。四、透視畫法的機(jī)械工具既然在藝術(shù)創(chuàng)作中可以用到數(shù)學(xué)理論，可以看出藝術(shù)與數(shù)學(xué)的關(guān)系，那么我們是不

9、是可以用數(shù)學(xué)的儀器來畫圖，來進(jìn)行藝術(shù)創(chuàng)作呢？丟勒就設(shè)計(jì)了三種橢圓作圖儀器，圖左所示齒輪儀器用于畫螺線和擺線；圖右所示儀器用于畫橢圓。丟勒的畫家手稿（The Painters Manual）（1538）中創(chuàng)造了許多德文數(shù)學(xué)術(shù)語，如稱橢圓為Eierlinie（蛋形線），稱雙曲線為Gabellinie（叉形線）。他稱拋物線為Brennlinie，指的拋物鏡的燃燒性質(zhì)。五、用機(jī)械方法作透視畫文藝復(fù)興時期的畫家們用現(xiàn)實(shí)主義手法將三維空間表現(xiàn)在二維的畫布上；他們的研究導(dǎo)致了攝影幾何學(xué)的復(fù)興。下圖是丟勒引論中的木刻畫，說明他發(fā)明的用以將三維物體轉(zhuǎn)化為二維畫的儀器：一位畫家坐在他的畫布前，畫布裝在用鉸鏈固定在

10、桌面上一個垂直的框架上。桌上放置一把琵琶。他的助手將畫布轉(zhuǎn)到一邊，并將線的自由端固定在琵琶的某個部位；畫家順著線觀看。線經(jīng)過框架上的某一點(diǎn)，畫家用水平和垂直的兩根線來固定它。然后松開直線移到琵琶的另一個部位，重復(fù)前面的程序。這樣，畫家漸漸獲得了琵琶輪廓的精確透視圖。例如丟勒在引論中用機(jī)械方法作透視畫。用機(jī)械方法作透視畫就表明藝術(shù)創(chuàng)作不僅僅是指表現(xiàn)在用純手工畫，也可以借助其他的外在的東西來畫。而丟勒運(yùn)用的機(jī)械方法則表明了數(shù)學(xué)的儀器在藝術(shù)創(chuàng)作中的直接運(yùn)用。六、丟勒的數(shù)學(xué)探究（1）多面體的平面展開除了發(fā)展出許多創(chuàng)新技術(shù)以外，丟勒的聲譽(yù)還由于他以非集中的形式把立體描繪在平面上。這里是丟勒對一個這樣的立

11、體的描繪，一個立體的八面體在經(jīng)過切割和集中后形成一個平面展開圖。（2）丟勒的圓錐曲線阿爾布雷希特·丟勒所作的這幅圖表明他對圓錐曲線的解釋。他的橢圓略帶蛋形，這意味著或者他相信截割圓錐的平面的傾角使橢圓在上端稍狹，或者他在計(jì)算時稍有錯誤。不管如何，看看他對橢圓的研究是有趣的。（3）最初的像素他利用這些基本構(gòu)件使哥特體字母的構(gòu)造系統(tǒng)化有些像在計(jì)算機(jī)的監(jiān)視器上利用像素作為構(gòu)件來形成字母那樣。（像素是圖像元素的縮略語。它是計(jì)算機(jī)監(jiān)視器上比特的視覺表示。比特代表二進(jìn)制數(shù)字，它是計(jì)算機(jī)所能擁有的最小信息單位。比特的值對應(yīng)于數(shù)字。）提出地形描繪的概念，可以說是丟勒的一項(xiàng)功績。在他的一本書里，他說明

12、了羅馬字母的幾何結(jié)構(gòu)。他為哥特體字母設(shè)計(jì)出了他自己的數(shù)學(xué)方法，即以正方形、三角形、梯形和/或平行四邊形的組合作成每一字母。七、丟勒作品憂郁美術(shù)史上，恐怕很少有畫作像德國畫家丟勒的憂郁那樣被視為難解之迷令后人猜測不已。憂郁的構(gòu)圖元素十分豐富：在一間不知是書齋還是作坊的小木屋外，高大健壯的生翼女子手持圓規(guī)，托腮苦思，身旁發(fā)呆的愛神，打盹兒的狗，散落的工具天秤、沙漏、鋸子、刨子、圓球、多面體、木梯林林總總，屋墻上那幅四階幻方是數(shù)學(xué)史上著名的“丟勒幻方”，最下一行中間兩格標(biāo)著1514，是丟勒母親去世的年份。這個憂郁的女子是誰？所有的一切，寓意何在？在流傳于世的研究材料中，沒有留下畫家只言片語的解釋。套

13、用“一千個人眼中有一千個哈姆雷特”這句話，憂郁在觀賞者的眼中，怕也有一千鐘圖解吧。在占星家看來，畫中的天秤代表了木星的天秤星座，“暗示著木星會成為崇高探討的保護(hù)者”。 畫家從憂郁中看到了“銅版畫對透視技法完美的表達(dá)”。在數(shù)學(xué)家眼中，畫面中的丟勒幻方和那些復(fù)雜的多面體、球體，代表著神秘的數(shù)學(xué)世界。        憂郁中的多面體的表面似乎由兩個等邊三角形和六個不規(guī)則的多邊形構(gòu)成。有人據(jù)此還猜想：丟勒不是根據(jù)模型，而是根據(jù)一個大的方解石晶體來畫多面體的。還有人. 進(jìn)一步認(rèn)為，如果上述猜想是對的，那么晶體學(xué)歷史應(yīng)該向前推大約100年

14、。 丟勒構(gòu)造的歷史上第一個分形丟勒幻方憂郁中的幻方有以下性質(zhì)：(1) 每行、每列和每條對角線上的數(shù)字之和為34(2) 關(guān)于兩對角線交點(diǎn)對稱的任意兩數(shù)的和為17；(3) 每一象限（I、II、III、IV）的數(shù)字之和為34；(4) I、III象限的上行數(shù)字之和相等，且等于II、IV象限的下行數(shù)字之和；I、III象限下行數(shù)字之和相等，且等于II、IV象限的上行數(shù)字之和。(5) I、III象限的右列數(shù)字之和相等，且等于II、IV象限的左列數(shù)字之和；I、III象限左列數(shù)字之和相等，且等于II、IV象限的右列數(shù)字之和。八、量度四書丟勒在藝術(shù)上的成就也造就了他在數(shù)學(xué)上的發(fā)展。丟勒關(guān)于幾何學(xué)的著作名叫量度四書

15、（德語書名叫Underweysung der Messungmit dem Zirckel und Richtscheyt，英文書名可譯為使用圓規(guī)直尺的量度指南或者也被稱為量度藝術(shù)教程。）其中，第一部書集中研究線形幾何學(xué)。丟勒的幾何結(jié)構(gòu)包括螺旋線、蚌線和圓外旋輪線。他也吸收了阿波羅尼和約翰尼斯·維爾納1522年出版的'Libellus super viginti duobus elementis conicis'（德語）一書的內(nèi)容（這部書比丟勒的量度四書早三年出版。）第二部書進(jìn)行二維幾何，即正多邊形結(jié)構(gòu)的研究。在這部書里丟勒偏愛托勒密的方法超過歐幾里德的方法。第三部書

16、把這些幾何學(xué)原理應(yīng)用到建筑學(xué)、工程學(xué)和版式編排設(shè)計(jì)之中。關(guān)于建筑的部分，丟勒引用到了“維特魯威”但也詳細(xì)闡述了他自己的經(jīng)典設(shè)計(jì)和柱式。在編排設(shè)計(jì)部分，丟勒依據(jù)意大利范例描繪了拉丁字母的幾何結(jié)構(gòu)。然而，他的哥特字母結(jié)構(gòu)是基于完全不同的模塊式體系。第四部書結(jié)束了第一、第二系列而進(jìn)行三維結(jié)構(gòu)和多面體結(jié)構(gòu)的研究。其中丟勒討論了五面體和阿基米德半規(guī)則七面體，以及他自己的一些發(fā)明。在所有的這些內(nèi)容中，丟勒用網(wǎng)格的方式表現(xiàn)這些實(shí)體。最后，丟勒討論了倍立方問題，進(jìn)而還討論了“construzione legittima” （德語），一種通過直線透視法描繪一個立方體的方法。在博洛尼亞丟勒被傳授了（可能向盧卡·帕西奧理或者布拉曼特學(xué)習(xí)的）直線透視法原理，而且，這時，在一本未出版的皮耶羅·德拉·弗朗西斯卡的專著中，唯一一份被找到的關(guān)于這些原理的文字說明中，丟勒顯然對于這種運(yùn)用直線透視描繪立方體的方法已經(jīng)很精通了。他也熟悉了阿爾貝蒂所描述的“簡略結(jié)構(gòu)”，和投影幾何結(jié)構(gòu)，達(dá)·芬奇的一種技術(shù)。盡管丟勒在這些領(lǐng)域中并沒有革新，但他作為北歐地區(qū)，第一位運(yùn)用科學(xué)方法，并運(yùn)用對歐幾里德幾何學(xué)原理的認(rèn)識，論述視覺表現(xiàn)問題的人來說，是顯著的。除了這些幾