定積分計(jì)算法

1、一、定積分計(jì)算基本方法1、 牛頓萊布尼茲公式：2、 定積分的換元法：設(shè)10 在上連續(xù)， 20 ， 30 在上連續(xù)，則。 注：條件3書上用較強(qiáng)的條件在上連續(xù)且當(dāng)時(shí)，的值域不超出來代替。實(shí)際上代換的值域可以超出，如上圖。3、定積分的分部積分法：注意事項(xiàng)：1、被積函數(shù)含絕對(duì)值記號(hào)。例1：解：當(dāng)；當(dāng) 。 （分界點(diǎn)x=1處）例2：解：例3：解： 2、廣義積分有推廣的牛頓萊布尼茲公式（1）如果在上連續(xù)，,原函數(shù)在上連續(xù)，則仍有（2）如果在上連續(xù)，的原函數(shù)適合存在記為則仍有。例1：計(jì)算解：當(dāng)時(shí)，在上，。當(dāng)時(shí)，是廣義積分?；蛘哂猛茝V的牛頓萊布尼茲公式。當(dāng)時(shí)， =。例2：解：。3、應(yīng)用換元法時(shí)注意換元條件在上連

2、續(xù)可導(dǎo)。有些不定積分的換元技巧在定積分的計(jì)算中失效。定積分由于積分區(qū)間的限制，求定積分不僅僅是求原函數(shù)問題。例1：分析：若令，而，在間斷。解：=+=+=+=。例2：分析：若令，在間斷。解法一：（令=（令） =解法二：= =+ =+（第一個(gè)積分令，第二個(gè)積分令） =注：三角函數(shù)周期是而不是2時(shí)，常用代換而不用半角代換。例3：解：令時(shí)取，時(shí)取。= 注：時(shí)若取，時(shí)取，則包含了（分母為0），所以不能這樣取。同理，也不能取。但可以如下解=（注意：在上。）4、改變被積函數(shù)在某一點(diǎn)的值不影響積分值。例：設(shè)，求解：因在0，3上有界，且只有一個(gè)第一類間斷點(diǎn)，所以存在。，而在上連續(xù)，故 。對(duì)于，若修改定義,則在1,3上也連續(xù)，且，故。所以+。二、間接計(jì)算法（不直接求原函數(shù)而計(jì)算定積分）1定積分的幾何意義例：(1)（原函數(shù)不容易求出，但幾何意義明顯）(2)(3)2對(duì)稱性(1) ,(2) ,(3),.例1：已知，求Fourier系數(shù).解:(具體計(jì)算).或者考慮到為奇函數(shù),.例2：解:或者利用對(duì)稱性,被積函數(shù)為偶函數(shù),故-.例3：解：.3三角函數(shù)積分的特定變形(1).(2).例1: I=解：因I=，故2I=，I=。注：類似的例子如I=（作代換，I=等。例2：I=解：因I=， 故2I= =. 所以I=.4、重要積分公式= =例1：解：令，則=4.例2：求與軸所圍成弓形繞軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)