圓的證明與計算專題講解

1、圓的證明與計算專題講解 圓的有關(guān)證明 一、圓中的重要定理:(1)圓的定義:主要是用來證明四點共圓.(2)垂徑定理:主要是用來證明弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.(3)三者之間的關(guān)系定理: 主要是用來證明弧相等、線段相等、圓心角相等.(4)圓周角性質(zhì)定理及其推輪: 主要是用來證明直角、角相等、弧相等.(5)切線的性質(zhì)定理:主要是用來證明垂直關(guān)系.(6)切線的判定定理: 主要是用來證明直線是圓的切線.(7)切線長定理: 線段相等、垂直關(guān)系、角相等. 2.圓中幾個關(guān)鍵元素之間的相互轉(zhuǎn)化:弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過相等來互相轉(zhuǎn)化.這在圓中的證明和計算中經(jīng)常用到.知識點一：判定切線的方法：（1）

2、若切點明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有：全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時可通過計算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；（2）若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點）；直線與半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線.例：方法一：若直線l過O上某一點A，證明l是O的切線，只需連OA，證明OAl就行了，簡稱“連半徑，證垂直”，難點在于如何證明兩線垂直.例1 如圖，在ABC中，AB=AC，以AB

3、為直徑的O交BC于D，交AC于E，B為切點的切線交OD延長線于F.求證：EF與O相切.例2 如圖，已知：AB是O的直徑，點C在O上，且CAB=300，BD=OB，D在AB的延長線上.求證：DC是O的切線例3 如圖，AB是O的直徑，CDAB，且OA2=OD·OP.求證：PC是O的切線.方法二：若直線l與O沒有已知的公共點，又要證明l是O的切線，只需作OAl，A為垂足，證明OA是O的半徑就行了，簡稱：“作垂直；證半徑”(一般用于函數(shù)與幾何綜合題）例1： 已知：如圖，AC，BD與O切于A、B，且ACBD，若COD=900.求證：CD是O的切線.知識點二：與圓有關(guān)的計算計算圓中的線段長或線段

4、比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識的結(jié)合，形式復(fù)雜，無規(guī)律性。分析時要重點注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的數(shù)學(xué)思想方法有：（1） 構(gòu)造思想：如：構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；構(gòu)建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所有線段長）；射影定理： 所謂射影，就是正投影。 其中，從一點到一條直線所作垂線的垂足，叫做這點在這條直線上的正投影。一條線段的兩個端點在一條直線上的正投影之間的線段，叫做這條線段在這直線上的正投影。 由三角

5、形相似的性質(zhì)：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。 公式RtABC中,BAC=90°,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下:：(1)(AD)2;=BD·DC, (2)(AB)2;=BD·BC , (3)(AC)2;=CD·BC 。 等積式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面積來證明)構(gòu)造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；構(gòu)造勾股定理模型（已知線段長度）；構(gòu)造三角函數(shù)(已知有角度的情況）;找不到，找相似 （2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)

6、現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程，解決問題。（3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關(guān)系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。范例講解：例題1：ABP中，ABP=90°，以AB為直徑作O交AP于C點，弧=，過C作AF的垂線，垂足為M，MC的延長線交BP于D.（1）求證：CD為O的切線；（2）連BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求的值。例題2：直角梯形ABCD中，BCD=90°，AB=AD+BC，AB為直徑的圓交BC于E，連OC、BD交于F.求證：CD為O的切線若，求的值例題3：如圖，AB為直

7、徑，PB為切線，點C在O上，ACOP。（1）求證：PC為O的切線。（2）過D點作DEAB，E為垂足，連AD交BC于G，CG=3，DE=4，求的值。例題4（2009調(diào)考）：如圖，已知ABC中，以邊BC為直徑的O與邊AB交于點D，點E為 的中點，AF為ABC的角平分線，且AFEC。（1）求證：AC與O相切；（2）若AC6，BC8，求EC的長家庭練習(xí)：1如圖，RtABC，以AB為直徑作O交AC于點D， ，過D作AE的垂線，F(xiàn)為垂足.（1）求證：DF為O的切線；（2）若DF=3，O的半徑為5，求的值.2如圖，AB為O的直徑，C、D為O上的兩點， ，過D作直線BC的垂線交直線AB于點E，F(xiàn)為垂足.（1）

8、求證：EF為O的切線；（2）若AC=6，BD=5，求的值.3如圖，AB為O的直徑，半徑OCAB，D為AB延長線上一點，過D作O的切線，E為切點，連結(jié)CE交AB于點F.（1）求證：DE=DF；（2）連結(jié)AE，若OF=1，BF=3，求的值.4如圖，RtABC中，C=90°，BD平分ABC，以AB上一點O為圓心過B、D兩點作O，O交AB于點一點E，EFAC于點F.（1）求證：O與AC相切；（2）若EF=3，BC=4，求的值.5如圖，等腰ABC中，AB=AC，以AB為直徑作O交BC于點D，DEAC于E.（1）求證：DE為O的切線；（2）若BC=，AE=1，求的值. 6如圖，BD為O的直徑，A

9、為 的中點，AD交BC于點E，F(xiàn)為BC延長線上一點，且FD=FE.（1）求證：DF為O的切線；（2）若AE=2，DE=4，BDF的面積為，求的值.7、如圖，AB是O的直徑，M是線段OA上一點，過M作AB的垂線交AC于點N，交BC的延長線于點E，直線CF交EN于點F，且ECF=E（1）求證：CF是O的切線；（2）設(shè)O的半徑為1，且AC=CE，求的長8、如圖，AB是O的直徑，BCAB，過點C作O的切線CE，點D是CE延長線上一點，連結(jié)AD，且AD+BC=CD.（1）求證：AD是O的切線；（2）設(shè)OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求線段BC的長.9、如圖，ABC中，AB=BC，以AB為直徑的O交AC于點D，且CD=BD.（1）求證：BC是O的切線；（2）已知點M、N分別是AD、CD的中點，BM延長線交O于E，EFAC，分別交BD、BN的延長線于H、F，若DH=2，求EF的長.10、如圖，AB是半O上的直徑，