圓系方程及其應(yīng)用

1、圓系方程及其應(yīng)用一、常見的圓系方程有如下幾種：1、以為圓心的同心圓系方程：與圓同心的圓系方程為：2、過直線與圓交點的圓系方程為：（）（）3、過兩圓:0，:交點的圓系方程為：（）0（-，此圓系不含:）特別地，當(dāng)時，上述方程為根軸方程兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程注：為了避免利用上述圓系方程時討論圓，可等價轉(zhuǎn)化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點的圓系方程:二、圓系方程在解題中的應(yīng)用：1、利用圓系方程求圓的方程：例1 求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程。解一：求出兩交點（-1,3）（-6,-2），再用待定

2、系數(shù)法：1用一般式； 2用標(biāo)準(zhǔn)式。（注：標(biāo)準(zhǔn)式中可先求圓心的兩個坐標(biāo)，而圓心正好在兩交點的中垂線上。）解二：用兩點的中垂線與直線的交點得圓心：1兩交點的中垂線與直線相交；2過圓心與公共弦垂直的直線與直線相交；3兩圓心連線與直線相交。解三：利用圓系方程求出圓心坐標(biāo)，圓心在直線方程上，代入直線方程求解。例、求經(jīng)過兩圓32和2交點和坐標(biāo)原點的圓的方程解：方法3：由題可設(shè)所求圓的方程為：（32）（2）（0，0）在所求的圓上，有2從而故所求的圓的方程為： 即7。2、利用圓系方程求最小面積的圓的方程：例2（1）：求過兩圓和的交點且面積最小的圓的方程。分析：本題若先聯(lián)立方程求交點，再設(shè)所求圓方程，尋求各變量

3、關(guān)系，求半徑最值，雖然可行，但運算量較大。自然選用過兩圓交點的圓系方程簡便易行。為了避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉(zhuǎn)化為求過兩圓公共弦及圓交點且面積最小的圓的問題。解：圓和的公共弦方程為過直線與圓的交點的圓系方程為，即依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上。即，則代回圓系方程得所求圓方程例（2）; 求經(jīng)過直線：24與圓：241的交點且面積最小的圓的方程解：設(shè)圓的方程為：241（24）即（14）則，當(dāng)時，最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程為：261237練習(xí)：1求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y

4、+7=0的兩個交點且過原點的圓的方程。（常數(shù)項為零）2求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個交點且圓心在x軸上的圓的方程。（圓心的縱坐標(biāo)為零）3求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個交點且面積最小的圓方程。（半徑最小或圓心在直線上）4求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個交點且與x軸相切的圓的方程；并求出切點坐標(biāo)。（圓心到x軸的距離等于半徑）3、利用圓系方程求參數(shù)的值：例3：已知圓與直線相交于P，Q兩點，O為坐標(biāo)原點，若，求實數(shù)m的值。分析：此題最易想到設(shè)出，由得到，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于m的方程，最后驗證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系，不難得出O在以PQ為直徑的圓上。而P，Q剛好為直線與圓的交點，選取過直線與圓交點的圓系方程，可極大地簡化運算過程。解：過直線與圓的交點的圓系方程為：，即 .依題意，O在以PQ 為直徑的圓上，則圓心顯然在直線上，則，解之可得又滿足方程，則，故。4、利用圓系方程判斷直線與圓的位置關(guān)系：例4 圓系2（410）1020（，-）中，任意兩個圓的位置關(guān)系如何？解：圓系方程可化為：1020（2410）與無關(guān)即易知圓心（，-）到直線25的距離恰等于圓的半徑故直線25與圓相切，即上述方程組有且只有一個解，從而圓系方程所表示的任意兩個圓有且只有一個