一種混沌非線性系統(tǒng)的魯棒控制

1、一種混沌非線性系統(tǒng)的魯棒控制通過應(yīng)用反饋精確線性化方法給出了受控一類混沌系統(tǒng)的標準型,然后利用標準形將線性部分和非線性部分的分離特點進行了魯棒控制器的設(shè)計,由此設(shè)計出原混沌系統(tǒng)的非線性魯棒控制器。1、 受控混沌系統(tǒng)的標準型考慮一下一類混沌系統(tǒng)： （1）其中，未知。首先引入輸出信號，構(gòu)造如下受控混沌系統(tǒng)：其中是控制參變量，其它參數(shù)同系統(tǒng)（1）。本文中所采用方法的目的是根據(jù)系統(tǒng)（2）本身的特點來設(shè)計魯棒控制器，使得統(tǒng)一混沌系統(tǒng)（2）收斂到指定的平衡點處，顯然應(yīng)滿足下列方程： （3）式（2）減式（3）得 （4）其中。通過上述分析，要設(shè)計魯棒控制器使得混沌系統(tǒng)（2）收斂到指定的平衡點處，就是使受控統(tǒng)一

2、混沌系統(tǒng)（4）收斂到平衡點（0,0,0）處。為了敘述方便，將式（4）簡記為下列的式（5）： （5）其中用代替，代替以及用代替，記為：，混沌受控系統(tǒng)（5）為下列含參變量的非線性系統(tǒng)： （6）其中參數(shù)同系統(tǒng)（1）。當時，系統(tǒng)（6）的標稱系統(tǒng)具有的相對階為2。而事實上，因此系統(tǒng)（6）的標稱系統(tǒng)具有相對階為2，若將系統(tǒng)（6）化為標準型，只要找到一個滿足下式的即可?？扇　Ｄ敲磳ο到y(tǒng)（6）進行如下坐標變換： （7）則式（7）的逆變換為：因為：=則有：取狀態(tài)反饋為引入的新控制變量。則系統(tǒng)（8）可化為如下標準型：又因為=， ，故矩陣的秩因此由上述討論可知系統(tǒng)（6）與系統(tǒng)（9）是反饋等價系統(tǒng)。如果能構(gòu)造出系統(tǒng)（

3、9）的魯棒控制器，那么也就可以得到系統(tǒng)（6）的魯棒控制器了。3、非線性魯棒控制器的設(shè)計混沌系統(tǒng)的標準型（9）已將系統(tǒng)（6）的線性部分與非線性部分分離出來。這樣可以通過構(gòu)造線性魯棒控制器使得線性部分的漸近性來控制非線性部分的漸近性。對線性部分： （10）可以通過線性控制律使得子系統(tǒng)（10）的魯棒穩(wěn)定。定理1 如果線性控制律的參數(shù)滿足，則線性控制律使得子系統(tǒng)（10）的魯棒穩(wěn)定。證明 將線性控制律代入式（10）得 （11）設(shè)系統(tǒng)（11）的特征多項式為，則：當，又，則：故特征多項式方程的所有根的虛部為負，故系統(tǒng)（11）魯棒穩(wěn)定。對線性系統(tǒng)（11）來說，漸近穩(wěn)定意味指數(shù)穩(wěn)定。則由指數(shù)穩(wěn)定的定義知：有 （

4、12）對于非線性子系統(tǒng) （13）為討論問題的方便，現(xiàn)考慮平衡點的鎮(zhèn)定，此時，（13）式變?yōu)?（14）其他平衡點的討論類似。為了討論式（14）在一定條件下的穩(wěn)定性，現(xiàn)引入引理1。引理1若非負函數(shù)滿足下列不等式則證明 令，則：又=顯然當時式（15）不等式右端均指數(shù)趨于0。因此：證畢。現(xiàn)取Lyapunov函數(shù)，應(yīng)用式（12）及不等式可得 （16）將引理1應(yīng)用于式（16）可知，從而即式（14）子系統(tǒng)是指數(shù)收斂于原點。說明滿足定理1的控制器可使系統(tǒng)（9）魯棒鎮(zhèn)定到原點。通過以上分析可得到下列定理2定理2 如果非線性控制器取為其中，為系統(tǒng)（1）的平衡點。則系統(tǒng)（5）指數(shù)收斂于。4、仿真這里我們將舉例說明定理2的有效性。若取(這是未知參數(shù)即擾動項，為了仿真特取此值。此時，非線性魯棒控制器為，利用Simlink仿真,結(jié)果見圖1，系統(tǒng)（5）