一種基于改進(jìn)型CORDIC算法的數(shù)控振蕩器

1、    一種基于改進(jìn)型CORDIC算法的數(shù)控振蕩器        朱冰蓮，羅正岳，陳 禧 時間:2008年07月03日     字 體: 大 中 小        關(guān)鍵詞:            摘 要：關(guān)鍵詞：   &

2、#160; 數(shù)控振蕩器(NCO)的作用是產(chǎn)生正交的正弦和余弦樣本，應(yīng)具有頻率分辨率高、頻率變化速度快、相位可連續(xù)線性變化及生成的正弦和余弦信號正交特性好等特點。傳統(tǒng)的數(shù)控振蕩器中，相位到幅度的轉(zhuǎn)化是通過查找表（LUT）的方式來實現(xiàn)的。這種方法實現(xiàn)簡單，但是如果要提高頻率分辨率，往往需要消耗大量的存儲資源。而且，由于受到RAM讀取速度的影響，使NCO輸出速率受到制約。CORDIC算法以其算法簡單、硬件實現(xiàn)方便等特點在很多方面得到了應(yīng)用，其中之一就是用于NCO的設(shè)計。本文在傳統(tǒng)CORDIC算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，并將其運用到一個NCO的設(shè)計當(dāng)中，具有運算速度快、資源占用少、易于擴(kuò)展等優(yōu)點。1 NC

3、O實現(xiàn)原理    NCO可以看成是由相位累加器(PA)和函數(shù)發(fā)生器(FG)兩部分組成，如圖1所示。其中相位累加器的設(shè)計較簡單，設(shè)計NCO的關(guān)鍵是設(shè)計正弦函數(shù)發(fā)生器。傳統(tǒng)的實現(xiàn)函數(shù)發(fā)生器的方法為查表法(LUT)，對于一個相位位數(shù)為n，輸出信號幅度位數(shù)為M的NCO，所需查找表的大小為M×2n。為了提高NCO的頻率分辨率，往往需要擴(kuò)大查找表的容量，這會造成存儲資源的大量消耗。而且，由于受到RAM讀取速度的影響，NCO的輸出速率受到制約?？梢钥闯鯨UT是NCO設(shè)計的瓶頸。為了避免使用大容量的存儲器，可以考慮通過計算來產(chǎn)生正余弦函數(shù)樣本?；谑噶啃D(zhuǎn)的CORDIC

4、算法正好滿足了這一需求。                                               2 CORDIC算法原理

5、0;   CORDIC算法最初是由J.Volder于1959年提出，1971年J.Walther提出了統(tǒng)一的CORDIC形式。用CORDIC算法求三角函數(shù)的基本原理如下：    如果P(x，y)是直角坐標(biāo)系中單位圓上一點, 為向量OP和X軸正向之間夾角, 則有x=cos，y=sin。因此若將單位向量OM(1，0)旋轉(zhuǎn)n次得到向量OP(x，y)，讓旋轉(zhuǎn)角度的總和等于輸入的角度?茲，則x，y即為所需輸出值cos和sin，這就是CORDIC算法實現(xiàn)正交三角函數(shù)cos和sin的基本思路。如圖2所示。    向量x1+jy1

6、旋轉(zhuǎn)角度到向量x2+jy2：     經(jīng)變換為：         為了便于硬件實現(xiàn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)n次，令每一次旋轉(zhuǎn)的角度為i，并且i滿足tani=2-i，則cosi，第i次的旋轉(zhuǎn)表示為：    其中，第i次旋轉(zhuǎn)后的角度變化為zi，每次旋轉(zhuǎn)的方向為i，由zi的符號位來決定；i=sign(zi)，即i=+1時，逆時針旋轉(zhuǎn)，i=-1時，順時針旋轉(zhuǎn)。為每一級的校正因子，也就是每一級旋轉(zhuǎn)時向量模長發(fā)生的變化，對于字長一定的運算，總的校正因子是一個常數(shù)。若總的旋轉(zhuǎn)級數(shù)為N，

7、則總校正因子用K表示為：         以16位為例，K=0.607252935。     可以先將輸入數(shù)據(jù)校正后再進(jìn)行運算，這樣每一級的運算可以簡化成：        由上式可以看出所有運算簡化成了加減法和移位操作。當(dāng)給定的初始輸入數(shù)據(jù)為x0=K，y0=0時，z0=，經(jīng)過n次迭代結(jié)果為：        考慮到迭代序列所能覆蓋的角度范圍：，若直接采用n(n

8、)級迭代序列：0，1，2，n-1，則能覆蓋到的角度范圍是-99.9°+99.9°，不能達(dá)到NCO角度覆蓋范圍-的要求。 因此，需要在初次迭代前增加一個特定的“起始”步驟來擴(kuò)大角度覆蓋范圍，即根據(jù)輸入相位的正負(fù)將向量先順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)90°，從而達(dá)到覆蓋要求。這個步驟的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：其中=sign(z0)。    采用CORDIC算法取代查找表能夠節(jié)省大量的RAM資源，但是同時卻帶來了更多的LE消耗，這就需要在設(shè)計中考慮如何減少LE的消耗。    對于小角度的正弦和余弦值，有：  &

9、#160;     而在CORDIC算法有限精度的迭代運算中，到一定級數(shù)的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)角度也是接近于0的小角度值。利用這個特性，可以對CORDIC算法進(jìn)行改進(jìn)。下面以16位輸出寬度的CORDIC算法為例介紹本文對CORDIC算法的改進(jìn)。    注意到迭代9次以后，余下的角度為：=0.003906，     其中，z8為迭代9次后所余下的角度。可以將前9次迭代采用常規(guī)的CORDIC算法，對于后面幾級，直接采用初始角度旋轉(zhuǎn)變化計算公式：      

10、60; 已知z8<2-8，對于16位輸出精度來說，cosz8=1，sinz8=z8，則上式可以寫成：            由此可知，對于16位輸出寬度的CORDIC運算，這里只需要9級迭代加1級初始的角度旋轉(zhuǎn)運算。這種結(jié)構(gòu)可以有效地提高CORDIC運算的效率，大量節(jié)約實現(xiàn)所需的資源。    圖3是用FPGA實現(xiàn)CORDIC算法的一個流水線結(jié)構(gòu)單元，由9個這樣的單元構(gòu)成前面9級的迭代流水線，如圖4所示。     

11、;                      對于(10)式中的乘法，可以通過并行加法來計算，這樣就將多級級聯(lián)加法運算變?yōu)榱艘患壓铣蛇M(jìn)位存儲加法器。合成進(jìn)位存儲加法器的表達(dá)式是：        當(dāng)8=1時，i為z8的第i位；8=-1時，i為z8二進(jìn)制反碼的第i位。結(jié)構(gòu)如圖5。      &

12、#160;                                加上預(yù)迭代，采用傳統(tǒng)CORDIC算法實現(xiàn)16位輸出寬度CORDIC算法需要17級流水線。而采用改進(jìn)后的CORDIC算法只需要9級流水線加1級進(jìn)位存儲加法器，改進(jìn)后的CORDIC算法總體結(jié)構(gòu)如圖6所示。這種流水線結(jié)構(gòu)正常工作時，

13、在初始延遲之后，每次新的循環(huán)完成就會生成一個新的輸出值，即只需一個時鐘周期就可輸出一個數(shù)據(jù)。                                       如需提高精度, 可以在增加輸出位寬的同時相應(yīng)地增加

14、流水線級數(shù)即可。4 仿真結(jié)果                                                                                    本文提出了基于改進(jìn)型CORDIC算法的NCO設(shè)計及硬件實現(xiàn)，其簡單的流水線結(jié)構(gòu)使得FPGA的資源耗費大為減少，能充分利用CORDIC算法的靈活性，具有較好的實用價值。參考文