圓錐曲線的解題技巧和方法2017完美打印版

1、圓錐曲線的解題技巧三、常規(guī)七大題型：（1）中點弦問題 具有斜率的弦中點問題，常用設而不求法（點差法）：設曲線上兩點為，代入方程，然后兩方程相減，再應用中點關系及斜率公式（當然在這里也要注意斜率不存在的請款討論），消去四個參數。如：（1）與直線相交于A、B，設弦AB中點為M(x0,y0)，則有。 （2）與直線l相交于A、B，設弦AB中點為M(x0,y0)則有（3）y2=2px（p>0）與直線l相交于A、B設弦AB中點為M(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p. 典型例題 給定雙曲線。過A（2，1）的直線與雙曲線交于兩點 及，求線段的中點P的軌跡方程。（2）焦點三角形問題 橢圓或雙

2、曲線上一點P，與兩個焦點、構成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。 典型例題 設P(x,y)為橢圓上任一點，為焦點，。（1）求證離心率； （2）求的最值。（3）直線與圓錐曲線位置關系問題 直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程后利用判別式、根與系數的關系、求根公式等來處理，應特別注意數形結合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點，結合三大曲線的定義去解。典型例題 （1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點 （2）設直線與拋物線的交點為A、B，且OAOB，求p關于t的函數f(t)的表達式。（4）圓錐曲線的相關最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關最值

3、（范圍）問題，常用代數法和幾何法解決。 <1>若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質來解決。<2>若命題的條件和結論體現明確的函數關系式，則可建立目標函數（通常利用二次函數，三角函數，均值不等式）求最值。（1），可以設法得到關于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘邔表示為另一個變量的函數，利用求函數的值域求出a的范圍；對于（2）首先要把NAB的面積表示為一個變量的函數，然后再求它的最大值,即：“最值問題，函數思想”。最值問題的處理思路： 1、建立目標函數。用坐標表示距離，用方程消參轉化為一元二次函數的最值問題，關鍵是由方

4、程求x、y的范圍；2、數形結合，用化曲為直的轉化思想；3、利用判別式，對于二次函數求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線y2=2px(p>0)，過M（a,0）且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|2p（1）求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求NAB面積的最大值。（5）求曲線的方程問題1曲線的形狀已知-這類問題一般可用待定系數法解決。典型例題已知直線L過原點，拋物線C 的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。若點A（-1，0）和點B（0，8）關于L的對稱點都在C上，求直線L和拋物線C的方程。2曲線的形

5、狀未知-求軌跡方程典型例題MNQO已知直角坐標平面上點Q（2，0）和圓C：x2+y2=1, 動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數（>0）,求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。（6） 存在兩點關于直線對稱問題 在曲線上兩點關于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內。（當然也可以利用韋達定理并結合判別式來解決）典型例題 已知橢圓C的方程，試確定m的取值范圍，使得對于直線，橢圓C上有不同兩點關于直線對稱（7）兩線段垂直問題 圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用來處理或用向量的坐標運算來處理。典型例題 已知直線的斜率為，且過點

6、，拋物線，直線與拋物線C有兩個不同的交點（如圖）。 （1）求的取值范圍；（2）直線的傾斜角為何值時，A、B與拋物線C的焦點連線互相垂直。四、解題的技巧方面： 在教學中，學生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程，以及運用“設而不求”的策略，往往能夠減少計算量。下面舉例說明：（1）充分利用幾何圖形 解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數方程外，充分挖掘幾何條件，并結合平面幾何知識，這往往能減少計算量。 典型例題 設直線與圓相交于P、Q兩點，O為坐標原點，若，求的值。（2） 充分利用韋達定理及“設而不求”

7、的策略我們經常設出弦的端點坐標而不求它，而是結合韋達定理求解，這種方法在有關斜率、中點等問題中常常用到。典型例題 已知中心在原點O，焦點在軸上的橢圓與直線相交于P、Q兩點，且，求此橢圓方程。（3） 充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點，因此也可以減少計算。典型例題 求經過兩已知圓和0的交點，且圓心在直線：上的圓的方程。（4）充分利用橢圓的參數方程橢圓的參數方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關的求最值的問題這也是我們常說的三角代換法。典型例題 P為橢圓上一動點，A為長軸的右端點，B為短軸的上端點，求四邊形OAPB面積的最大值及此時點P的坐標。（5）線段長的幾種簡便計算方法 充分利用現成結果，減少運算過程 一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程代入圓錐曲線方程中，得到型如的方程，方程的兩根設為，判別式為，則，若直接用結論，能減少配方、開方等運算過程。例 求直線被橢圓所截得的線段AB的長。 結合圖形的特殊位置關系，減少運算在求過圓錐曲線焦點的弦長時，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點，結合