圓錐曲線最值問(wèn)題及練習(xí)

1、 圓錐曲線最值問(wèn)題及練習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)最值問(wèn)題遍及代數(shù)、三角，立體幾何及解析幾何各科之中，且與生產(chǎn)實(shí)際聯(lián)系密切，最值問(wèn)題有兩個(gè)特點(diǎn)：覆蓋多個(gè)知識(shí)點(diǎn)（如二次曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，各元素間關(guān)系，對(duì)稱性，四邊形面積，解二元二次方程組，基本不等式等）求解過(guò)程牽涉到的數(shù)學(xué)思想方法也相當(dāng)多（諸如配方法，判別式法，參數(shù)法，不等式，函數(shù)的性質(zhì)等）計(jì)算量大，能力要求高。1、回到定義例1、已知橢圓，A（4，0），B（2，2）是橢圓內(nèi)的兩點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，求：（1）求的最小值；（2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值。略解：（1）A為橢圓的右焦點(diǎn)。作PQ右準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，則由橢圓的第二定義，.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在橢圓上找一點(diǎn)P，使其到

2、點(diǎn)B和右準(zhǔn)線的距離之和最小，很明顯，點(diǎn)P應(yīng)是過(guò)B向右準(zhǔn)線作垂線與橢圓的交點(diǎn)，最小值為。（2）由橢圓的第一定義，設(shè)C為橢圓的左焦點(diǎn)，則|PA|=2a-|PC|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|)根據(jù)三角形中，兩邊之差小于第三邊，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與B、C成一條直線時(shí)，便可取得最大和最小值。即-|BC|PB| -|PC|BC|.當(dāng)P到P"位置時(shí)，|PB| -|PC|=|BC|，|PA|+|PB|有最大值，最大值為10+|BC|=；當(dāng)P到P"位置時(shí)，|PB| -|PC|=-|BC|，|PA|+|PB|有最小值，最小值為10-|BC|=。回到定義的最值

3、解法同樣在雙曲線、拋物線中有類似應(yīng)用。（2）中的最小值還可以利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)來(lái)解釋：從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)橢圓面反射后經(jīng)過(guò)另一焦點(diǎn)，而光線所經(jīng)過(guò)的路程總是最短的。2、利用閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的求法例2、在拋物線上求一點(diǎn)，使它到直線y=4x-5的距離最短。解：設(shè)拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)到直線4x-y-5=0的距離當(dāng)時(shí)，故所求點(diǎn)為。例3、已知一曲線，（）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求曲線上距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離 |PA|；（）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a,0）aR，求曲線上點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小值d，并寫(xiě)出d=f（a）的函數(shù)表達(dá)式。解：（1）設(shè)M（x,y）是曲線上任意一點(diǎn)，則 x0 所求P點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，0），相應(yīng)的

4、距離是（2）設(shè)M（x,y）是曲線上任意一點(diǎn)，同理有 綜上所述，有3、運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)例4、在ABC中，的對(duì)邊分別為a,b,c，且c=10, ，P為ABC內(nèi)切圓上動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離的平方和最大值與最小值。解：由ABC為Rt由C=10，且知a=6 b=8設(shè)ABC內(nèi)切圓半徑為r，如圖建立直角坐標(biāo)系，則RtABC的內(nèi)切圓M的方程為： 設(shè)圓M上動(dòng)點(diǎn)P（x,y）()，則P點(diǎn)到頂點(diǎn)A，B，C的距離的平方和為：88-4x點(diǎn)P在內(nèi)切圓M上，于是例5、直線m：y=kx+1和雙曲線x2-y2=1的左支交于A，B兩點(diǎn)，直線L過(guò)點(diǎn)P（-2，0）和線段AB的中點(diǎn)M，求L在y軸上的截距b的取值范圍。略解：設(shè)A

5、（x1,y1），B（x2,y2），M（x0,y0），將y=kx+1代入x2-y2=1得（1-k2)x2-2kx-2=0,由題意，>0且x1+x2<0,x1x2>0,解之得,且M,又由P（-2，0），M，Q（0，b）共線，得，即下面可利用函數(shù)f(k)=-2k2+k+2在上是減函數(shù)，可得。例6、已知P是橢圓在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，A（2，0），B（0，1），O為原點(diǎn)，求四邊形OAPB的面積的最大值。略解：設(shè)P（2cos,sin），(0<</2),點(diǎn)P到直線AB：x+2y=2的距離所求面積的最大值為 4、判別式法例7、定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，記線段AB的中

6、點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)。解：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，那么，由題意，得 ，又AB的中點(diǎn)M（x,y）到y(tǒng)軸的距離為，將 代入 整理得，為實(shí)數(shù)，故又x>0得，當(dāng)時(shí)，由解得，可得，由 ，可得，由即得相應(yīng)的，。故AB的中點(diǎn)M距y軸最短距離為，且相應(yīng)的中點(diǎn)坐標(biāo)為或。法二： 由得 得代入得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立。說(shuō)明：此法即為下面的基本不等式法。5、利用基本不等式例8、已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)。求：（1）|PF1|PF2|的最大值；（2）|PF1|2+|PF2|2的最小值。略解：設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則m+n=2a=4，|PF1|PF2|=mn=

7、4.|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|42-2×4=8參考練習(xí)：1、 過(guò)橢圓E：（a>b>0）上的動(dòng)點(diǎn)P向圓O：x2+y2=b2引兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)。求MON的面積的最小值。（）2、 設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為，已知點(diǎn)P（0，3/2）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，求這個(gè)橢圓方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)。（，所求點(diǎn)為）3、P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它與長(zhǎng)軸端點(diǎn)不重合，點(diǎn)F1和F2分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，=F1PF2,（1）求tg 的表達(dá)式；（用a及描述P位置的一個(gè)變量來(lái)表示）（2）當(dāng)a固定時(shí)求的最小值0；（3）當(dāng)a在區(qū)間上變化時(shí)，求0的取值范圍。（，）4、已知拋物線的方程為，點(diǎn)A、B及P（2,4）均在拋物線上，